大学概率论与数理统计习题及参考答案.ppt

1,概率论与数理统计作业1（1.11.4）,设样本点 表示抛掷一颗骰子，出现i点数，i1,2,3,4,5,6. 则样本空间,解,2,3,（）,（）,4,五、电话号码由7个数字组成，每个数字可以是0、1、2、9中的任一个 （但第一个数字不能为0），求电话号码是由完全不相同的数字组成的概率。,六、把十本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率。,七、将C、C、E、E、I、N、S等7个字母随机的排成一行，求恰好排成 英文单词SCIENCE的概率。,解:,解:,解:,5,解:,设事件 A 表示“最强的两队被分在不同的组内”，则,基本事件总数为：,事件 A 含基本事件数为：,或,6,九、掷3枚硬币, 求出现3个正面的概率.,解:,十、10把钥匙中有3把能打开门, 今任取两把, 求能打开门的概率.,解:,7,十一、两封信随机地投入四个邮筒, 求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个 邮筒内只有一封信的概率.,解:,设事件 A 表示“前两个邮筒内没有信”，设事件 B 表示“及第一个邮筒内只有一封信”，则,8,4设A、B为随机事件，并且 则,概率论与数理统计作业2（1.51.7）,一、填空题,2某市有50住户订日报，65住户订晚报，85住户至少订这两种报纸中 的一种，则同时订这两种报纸的住户所占的百分比是 30 。,3设A、B、C是三个随机事件，,则：,（1）A、B、C中至少有一个发生的概率为 0.625 ；,（2）A、B、C中都发生的概率为 0 ；,（3）A、B、C都不发生的概率为 0.375 。, ,5. 设 且 则,9,二、 设P (A) 0， P (B) 0 ，将下列四个数： P (A) 、P (AB) 、P (AB) 、P (A) + P (B) 用“”连接它们，并指出在什么情况下等号成立.,解,10,三、为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A与B, 每种系统单独使用时, 其有 效的概率系统A为0.92，系统B为0.93, 在A失灵的条件下, B有效的概率为0.85, 求,（1）发生意外时, 这两个报警系统至少有一个有效的概率； （2） B失灵的条件下, A有效的概率.,解法1,设事件A表示“报警系统A有效”，事件B表示“报警系统B有效”，由已知,则,故,从而所求概率为,解法2,由 得,11,三、为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A与B, 每种系统单独使用时, 其有 效的概率系统A为0.92，系统B为0.93, 在A失灵的条件下, B有效的概率为0.85, 求,（1）发生意外时, 这两个报警系统至少有一个有效的概率； （2） B失灵的条件下, A有效的概率.,解,设事件A表示“报警系统A有效”，事件B表示“报警系统B有效”，由已知,则,故,(2)所求概率为,12,四、两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现 废品的概率为0.02，已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，加 工出来的零件放在一起，求任意取出的零件是合格品的概率。,解:,设 A 表示任意取出的零件是合格品,Bi 表示“取得零件是第i台车床加工的，,i =1，2。,事件 ABi 表示“取出的零件是第i台车床加工的合格品”，,i =1，2。,13,解:,设 Bi 表示事件“第一次取出了 i 个新球”,i =0,1,2,3.,则,设 A 表示事件“第二次取到的都是新球”,五、袋中有12个乒乓球，其中有9个是新的。第一次比赛从中任取3个来用， 比赛后仍放回盒中，第二次比赛再从盒中任取3个，求第二次取出的球都是 新球的概率。,14,六、袋中有a个白球与b个黑球，每次从袋中任取一个球，取出后不再放回。 求第二次取出的球与第一次取出的球颜色相同的概率。,解:,设 C 表示“第二次取出的球与第一次相同”，则,15,（1）当收报台收到信号“”时，发报台确实发出信号“”的概率；,解,设 表示发报台发出信号“”，,设 表示发报台发出信号“-”。,-(0.2),(0.8),-(0.9),(0.1), (0.6),16,B 表示收报台收到信号“”，,C 表示收报台收到信号“-”，,则,（1）,解,设 表示发报台发出信号“”，,设 表示发报台发出信号“-”。,-(0.2),(0.8),-(0.9),(0.1), (0.6),（2）,17,八、有两个口袋, 甲袋中盛有两个白球, 一个黑球, 乙袋中盛有一个白球两个 黑球. 由甲袋中任取一个球放入乙袋, 再从乙袋中取出一个球, 求取到白球的 概率.,设A“从乙袋中任取一球是白球”；B1“从甲袋放入乙袋的是白球”；B2“从甲袋放入乙袋的是黑球”；,解,?,18,九、上题中若发现从乙袋中取出的是白球, 问从甲袋中取出放入乙袋的球, 黑白哪种颜色可能性大?,解,19,1一个工人看管台同一类型的机器，在一段时间内每台机器需要工人维修 的概率为p(0p1)则： （1）n台机器都不需要维修的概率是 ； （2）恰有一台机器需要维修的概率是 ； (3）至少有一台机器需要维修的概率是 。,概率论与数理统计作业3（1.81.10）,一、填空题, ,2.三个人独立地猜一谜语，他们能够猜破的概率都是0.25，则此谜语 被猜破的概率是 0.578 。,二、单项选择题,20,证明,即,故事件A,B相互独立.,21,四、计算题,1.电路由电池a与两个并联的电池b及c串联而成。设电池a、b、c损坏的概率分别 是0.3、0.2、0.2，求电路发生间断的概率。,解,设事件A、B、C分别表示电池a，b，c“损坏，D表示电路发生间断.则,则,故,22,2射击运动中，一次射击最多能得10环。设某运动员在一次射击中得10环 的概率为0.4，得9环的概率为0.3，得8环的概率为0.2，求该运动员在五次 独立射击中得到不少于48环的概率 。,解,设事件A表示在五次独立射击中不少于48环，,A1=“5次均击中10环”,A2=“有4次击中10环，1次击中8环”,A3=“有4次击中10环，1次击中9环”,A4=“有3次击中10环，2次击中9环”,23,解,设事件A为3个灯泡在使用1000小时后,最多只有一个坏了； B=“3个灯泡在使用1000小时后,只有一个坏了”； C=“3个灯泡在使用1000小时后,一个未坏”；,24,解,（1）,（2）,概率论与数理统计作业6（2.82.11）,25,二、2.设随机变量,的概率密度为,求随机变量函数,的概率密度。,解,或,其反函数为,26,二、3.设随机变量 X 服从0，2上的均匀分布，求 在(0,4)内的概率密度函数。,解,27,上式两边对 y 求导数，即得Y 的概率密度,28,二、4 一批产品中有a件合格品与b件次品，每次从这批产品中任取一件，取两次，方式为：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。设随机变量,及,写出上述两种情况下二维随机变量(X,Y)的概率分布及边缘分布,分别表示第一次及第二次取出的次品数，,并说明X与Y是否独立。,（1）放回抽样,解,（2）不放回抽样,X与Y相互独立.,X与Y不独立.,29,二、5.把三个球随机地投入三个盒子中，每个球投入盒子的可能性 是相同的。设随机变量X及Y分别表示投入第一个及第二个盒子 球的个数，求(X,Y )的概率分布及边缘分布,解,由此得(X,Y)的二维概率分布如下：,30,二、6.随机地掷一颗骰子两次，设随机变量 X 表示第一次出现 的点数,Y 表示两次出现的点数的最大值，求(X,Y)的概率分 布及Y 的边缘分布。,解,即,X，Y 的所有可能的取值为1，2，6.,X2 表示第二次出现的点数,31,Y 的边缘分布为：,32,二、7. 设二维随机变量（X,Y）在矩形域,上服从均匀分布，求（X,Y）的概率密度及边缘概率密度。,X与Y是 否独立？,解,（X,Y）的概率密度,X边缘概率密度,Y边缘概率密度,故X与Y是 相互独立。,33,解,解得,要使X,Y独立需满足,34,二、9：设 (X,Y）的分布函数为：,（1）确定常数A, B, C；,（2）求(X,Y）的概率密度；,（3）求边缘分布函数及边缘概率密度。X、Y是否独立？,解,对任意的x与y，有,（1）,35,（2）,X与Y 的边缘密度函数为：,Y的边缘分布函数为：,X与Y是相互独立的。,36,二、10.设 (X,Y）的密度函数为：,求：（1）常数A；,（4）求(X,Y)落在区域R：,（2）分布函数F(x, y)；,解,（1）,（2）,内的概率。,（3）边缘密度函数；,显然，F(x,y)=0,37,（3 ）,同理：,38,（4） 所求的概率为：,39,概率论与数理统计作业7（2.12）,问三天销售总量 这个随机变量可以取那些值？如果 进货45件，不够卖的概率是多少？如果进货40件，够卖的概 率是多少？,40,解：,Y可以取40,41,42,43,44,45,46.,进货45件，不够卖的概率为,进货40件，够卖的概率是,2.袋中装有标上号码1，2，2的3个球，从中任取一个并且不再 放回，然后再从袋中任取一球，以X,Y分别记为第一次，二次 取到球上的号码数，求X+Y的概率分布律。,解：,41,(X ,Y)只取下列数组中的值 且相应 的概率依次为 列出(X ,Y)的概率分布表，并求出 X-Y的分布律。,解：,42,43,4. 设随机变量X与Y独立，且X在区间0,1内服从均匀分布：,Y在区间,内服从辛普生分布：,求随机变量,的概率密度.,解,44,(1)当 z 0 时,(2)当 时,(3)当 时,45,的概率密度为,(4)当 时,(5)当 z 3 时,46,的概率密度为,47,5. 电子仪器由六个相互独立的部件,如图，设各个部件的使用寿命,服从相同的指数分布,求仪器使用寿命的概率密度。,组成，,解,各部件的使用寿命,的分布函数,先求三个并联组的寿命,的分布函数,的分布函数,48,再求仪器使用寿命Z 的分布函数,Z的分布函数,进而,49,解,二、,概率统计作业11（ch4-3-5）,50,三、,解,已知一本300页的书中每页印刷错误的个数服从P(0.2)，求 这本书的印刷错误总数不多于70的概率.,由列维定理知, 所求的概率,51,(1),解,E(Y)=np =80，,(1) 任一时刻有70至86台机床在工作的概率；,四： 已知100台机床彼此独立地工作者，每台机床的实际工作时间占全部工作时间的80%，求：,(2) 任一时刻有80台以上机床在工作的概率；,(2),设 Y 表示任一时刻正在工作的机床数，则,52,解,样本均值,样本方差,样本二阶中心矩,计算样本均值、样本方差及样本二阶中心矩的观测值。,5.1 设抽样得到样本观测值如下：,15.8，24.2，14.5，17.4，13.2，20.8， 17.9，19.1，21.0，18.