高中全程复习方略配套课件：6.7数学归纳法.ppt

第七节 数学归纳法,三年3考 高考指数: 1.了解数学归纳法的原理； 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.,1.归纳猜想证明仍是高考的重点； 2.常与函数、数列、不等式、平面几何等知识结合，在知识交汇处命题； 3.题型以解答题为主，难度中等偏上.,1.数学归纳法 数学归纳法是用来证明某些与_有关的数学命题的一 种方法.它的基本步骤是： (1)验证：_时,命题成立； (2)在假设当_时命题成立的前提下，推出当_ 时，命题成立. 根据(1)(2)可以断定命题对_都成立.,正整数n,n=1,n=k(k1),n=k+1,一切正整数n,【即时应用】 判断下列各说法是否正确.(请在括号中填写“”或“”) (1)用数学归纳法验证第一个值n0,则n0必定为1. ( ) (2)数学归纳法的两个步骤是缺一不可的. ( ) (3)应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 n(n-3)条时， 第一步是检验n等于3. ( ) (4)用数学归纳法证明“1+2+22+2n+2=2n+3-1”时，验证 n=1时,左边式子应为1+2+22. ( ),【解析】(1)错误.有些数学归纳法证明题，第一步验证初始值不是1，可能为2，3，4等. (2)正确.数学归纳法的两个步骤缺一不可，第一步是归纳奠基，第二步是归纳递推. (3)正确.第一步检验n=3,即三角形的对角线条数为0. (4)错误.验证n=1时，左边式子应为1+2+22+23. 答案：(1) (2) (3) (4),2.数学归纳法的框图表示,所有的正整数n,归纳递推,归纳奠基,n=k+1时命题也成立,【即时应用】 (1)已知n为正偶数，用数学归纳法证明 时，若已假设n=k(k2且k为偶数) 时命题为真，则还需要用归纳假设再证n=_时等式成立. (2)凸k边形的内角和为f(k)，则凸k+1边形的内角和为f(k+1)=f(k)+_.,【解析】(1)因为假设n=k(k2且k为偶数)，故下一个偶数为k+2. (2)从k边形到k+1边形，实际是多了一个三角形，故内角和比k时多,即f(k+1)=f(k)+. 答案：(1)k+2 (2),用数学归纳法证明等式 【即时应用】用数学归纳法证明等式的规则 (1)数学归纳法证明等式要充分利用定义，其中两个步骤缺一不可，缺第一步，则失去了递推基础，缺第二步，则失去了递推依据.,(2)证明等式时要注意等式两边的构成规律，两边各有多少项，并注意初始值n0是多少,同时第二步由n=k到n=k+1时要充分利用假设，不利用n=k时的假设去证明，就不是数学归纳法. 【提醒】用数学归纳法证明等式问题的关键在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少.,【例1】(2012烟台模拟)是否存在常数a,b,c，使得等式(n2-12)+2(n2-22)+n(n2-n2)=an4+bn2+c对一切正整数n都成立？若存在，求出a,b,c的值；若不存在，说明理由. 【解题指南】本题是开放式、存在性的问题，一般是先假设存在，利用特值求得a,b,c的值，而后用数学归纳法证明.,【规范解答】假设存在a,b,c使得所给等式成立. 令n=1,2,3代入等式得 解得 以下用数学归纳法证明等式(n2-12)+2(n2-22)+n(n2-n2) 对一切正整数n都成立. (1)当n=1时，由以上可知等式成立;,(2)假设当n=k(kN*)时，等式成立，即(k2-12)+2(k2-22)+ +k(k2-k2)= 则当n=k+1时， (k+1)2-12+2(k+1)2-22+k(k+1)2-k2+(k+1)(k +1)2-(k+1)2 =(k2-12)+2(k2-22)+k(k2-k2)+(2k+1)+2(2k+1)+k(2k+1) = = 由(1)、(2)知，等式对一切正整数n都成立.,【反思感悟】1.对于开放式的与n有关的等式证明问题，一般是先假设结论成立，利用n的前几个取值求参数，而后用数学归纳法证明. 2.在使用数学归纳法的第二步进行证明时，事实上，“归纳假设”已经成了已知条件，“n=k+1时结论正确”则是求证的目标，可先用分析法的思路，借助已学过的公式、定理或运算法则进行恒等变形，把待证的目标拼凑出归纳假设的形式，再把运用归纳假设后的式子进行变形、证明.,【变式训练】已知nN*，证明： = 【证明】(1)当n=1时，左边= 右边= ，等式成立; (2)假设当n=k(kN*)时等式成立，即有: 那么当n=k+1时，,左边 右边,所以当n=k+1时等式也成立. 综合(1)、(2)知对一切nN*，等式都成立.,用数学归纳法证明不等式问题 【方法点睛】应用数学归纳法证明不等式应注意的问题 (1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法. (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立，推证n=k+1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明.,【例2】由下列不等式： 你能得到一个怎样的一般不等式？并 加以证明. 【解题指南】由已知条件不难猜想到一般不等式，关键是证明，证明时由n=k到n=k+1时可采用放缩法. 【规范解答】根据给出的几个不等式可以猜想第n个不等式，即一般不等式为： 用数学归纳法证明如下：,(1)当n=1时，1 ,猜想成立； (2)假设当n=k(kN*)时，猜想成立，即 则当n=k+1时， 即当n=k+1时，猜想也正确，所以对任意的nN*，不等式都成立.,【反思感悟】1.本例在由n=k到n=k+1这一步变化中，不等式 左边增加了 即增加了2k项，这 一点很关键，若项数写不正确，该题的证明将无法正确得出. 2.当n=k+1时的证明中采用了放缩法，即将已知式子分母变大， 从而所得结果变小，顺利地与要证的式子接轨从而得以证明， 此种方法是证明不等式的常用方法，应用时要注意是放大还是 缩小.,【变式训练】证明不等式 【证明】(1)当n=1时，左边=1,右边=2，不等式成立. (2)假设当n=k(kN*)时，不等式成立，即 那么当n=k+1时，,方法一:分析法 要证 只需证 01显然成立,方法二：综合法(放缩法),方法三:综合法(基本不等式法) 这就是说，当n=k+1时，不等式也成立. 由(1)、(2)可知，原不等式对任意正整数n都成立.,归纳猜想证明类问题 【方法点睛】归纳猜想证明类问题的解题步骤 (1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性，这种思维方式是推动数学研究和发展的重要方式. (2)“归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.,【例3】(2012南京模拟)已知数列an满足Sn+an=2n+1. (1)写出a1,a2,a3,并推测an的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论. 【解题指南】(1)利用Sn=a1+a2+an,且Sn+an=2n+1,代入n=1,2,3得a1,a2,a3，从而猜想an. (2)应用数学归纳法证明时，要利用n=k的假设去推证n=k+1时成立.,【规范解答】(1)将n=1,2,3分别代入可得 猜想 (2)由(1)得n=1时，命题成立； 假设n=k(kN*)时，命题成立，即 那么当n=k+1时，a1+a2+ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1, 且a1+a2+ak=2k+1-ak, 2k+1-ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3, 即当n=k+1时，命题也成立. 根据、得,对一切nN*,an=2- 都成立.,【互动探究】若本例中Sn+an=2n+1变为Sn+an=2n，其余不变，又将如何求解? 【解析】(1)将n=1,2,3分别代入已知可得 猜想,(2)当n=1时，a1=1,猜想显然成立; 假设当n=k(k1且kN*)时，猜想成立, 即ak= ,Sk=a1+a2+ak=2k-ak, 那么,当n=k+1时， ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-(2k-ak), 当n=k+1时猜想也成立. 综合、知，当nN*时猜想成立.,【反思感悟】“归纳猜想证明”是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，此种方法在解探索性问题、存在性问题时起着重要的作用，特别是在数列中求an,Sn时更是应用频繁.,【变式备选】数列an中，a1=1,a2= ,且 求a3,a4,猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想. 【解析】因为a1=1，a2= ，且 所以 同理可求得 归纳猜想， 下面用数学归纳法证明猜想正确. (1)当n=1时，易知猜想正确.,(2)假设当n=k(kN*)时，猜想正确，即 那么当n=k+1时， 即当n=k+1时，猜想也正确. 由(1)、(2)可知，猜想对任意正整数都正确.,用数学归纳法证明整除性问题或与 平面几何有关的问题 【方法点睛】数学归纳法的综合应用 (1)应用数学归纳法证明整除性问题主要分为两类： 是整除数，是整除代数式.这两类证明最关键的问题是“配凑”要证的式子(或是叫做“提公因式”)，即当n=k+1时，将n=k时假设的式子提出来，再变形，可证.,(2)应用数学归纳法证明与平面几何有关的命题，其关键是从前几项的情形中归纳出一个变化过程，用f(k+1)-f(k)就可以得到增加的部分，然后理解为何是增加的，就可以从容解题了.,【例4】证明下列问题： (1)已知n为正整数，aZ,用数学归纳法证明： an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除. (2)有n个圆，任意两个都相交于两点，任意三个不交于同一点，求证：这n个圆将平面分成f(n)=n2-n+2个部分(nN*). 【解题指南】(1)当n=k+1时，把ak+2+(a+1)2k+1提出ak+1+(a+1)2k-1的形式是解题的关键. (2)当n=k+1时，第k+1个圆与前k个圆相交，平面区域增加了2k个部分是解题的关键.,【规范解答】(1)当n=1时，an+1+(a+1)2n-1=a2+a+1,能被a2+a+1整除. 假设当n=k(kN*)时，ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除，那么当n=k+1时， ak+2+(a+1)2k+1 =(a+1)2ak+1+(a+1)2k-1+ak+2-ak+1(a+1)2 =(a+1)2ak+1+(a+1)2k-1-ak+1(a2+a+1)能被a2+a+1整除,即当n=k+1时，命题也成立. 根据、可知，对于任意nN*，an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除.,(2)当n=1时，1个圆将平面分成两部分. f(1)=2,12-1+2=2,n=1时，命题成立. 假设当n=k(k1,kN*)时,k个圆把平面分成f(k)=k2-k+2个部分. 当n=k+1时，在k个圆的基础上再增加一个圆与原k个圆都相交，圆周被分成2k段弧，增加了2k个平面区域. f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2,即当n=k+1时，命题也成立. 综上知，对任意nN*，命题都成立.,【互动探究】将本例(2)中的圆变为直线，任意两条都相交于 一点,任意三条不交于同一点,求证这n条直线将平面分成f(n) = (n2+n+2)个部分(nN*)，又将如何证明？ 【证明】(1)当n=1时，一条直线将平面分成两部分，f(1)= (1+1+2)=2，命题成立. (2)假设当n=k(kN*)时,命题成立，即f(k)= (k2+k+2), 那么当n=k+1时，第k+1条直线被前k条直线分成(k+1)段，而每一段将它们所在区域一分为二，故增加了k+1个区域.,即f(k+1)=f(k)+k+1= (k2+k+2)+k+1 即当n=k+1时，命题也成立. 由(1)、(2)可知，对任意nN*,都有f(n)= (n2+n+2)成立.,【反思感悟】1.用数学归纳法证明整除问题，P(k)P(k+1)的整式变形是个难点，找出它们之间的差异，然后将P(k+1)进行分拆，配凑成P(k)的形式，也可运用结论：“P(k)能被p整除且P(k+1)-P(k)能被p整除P(k+1)能被p整除.” 2.证明与平面几何有关的问题，其着眼点是找规律，由前几项可找到规律，进行应用即可.,【变式备选】用数学归纳法证明42n+1+3n+2能被13整除，其中n为正整数. 【证明】(1)当n=1时，421+1+31+2=91能被13整除. (2)假设当n=k(kN*)时，42k+1+3k+2能被13整除， 则当n=k+1时， 方法一：42(k+1)+1+3k+3=42k+142+3k+23-42k+13+42k+13 =42k+113+3(42k+1+3k+2)， 42k+113能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除. 42(k+1)+1+3k+3能被13整除.,方法二：42(k+1)+1+3k+3 -3(42k+1+3k+2) =(42k+142+3k+23)-3(42k+1+3k+2)=42k+113, 42k+113能被13整除，42(k+1)+1+3k+3-3(42k+1+3k+2)能被13整除，即42(k+1)+1+3k+3能被13整除,当n=k+1时，命题也成立, 由(1)、(2)知，对任意nN*，42n+1+3n+2都能被13整除.,【满分指导】数学归纳法解题的规范解答 【典例】(12分)(2012九江模拟)设数列an的前n项和为 Sn,并且满足 (1)猜想an的通项公式，并用数学归纳法加以证明. (2)设x0,y0,且x+y=1,证明：,【解题指南】(1)将n=1,2,3代入已知等式得a1,a2,a3，从而可猜想an,并用数学归纳法证明. (2)利用分析法，结合x0,y0,x+y=1,利用基本不等式可证. 【规范解答】(1)分别令n=1,2,3,得 an0,a1=1,a2=2,a3=3.,猜想：an=n.2分 由2Sn= +n 可知，当n2时，2Sn-1= +(n-1) -,得 即 3分 ()当n=2时， a20,a2=2. 4分 ()假设当n=k(k2)时，ak=k,那么当n=k+1时，,ak+1-(k+1)ak+1+(k-1)=0, ak+10,k2,ak+1+(k-1)0, ak+1=k+1. 即当n=k+1时也成立. 6分 an=n(n2). 显然n=1时，也成立，故对于一切nN*，均有an=n. 7分,(2)要证 只要证 8分 即 将x+y=1代入，得 即只要证 即4xy1. 10分 x0,y0,且x+y=1, 即xy ,故4xy1成立，所以原不等式成立. 12分,【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：,1.(2012南阳模拟)用数学归纳法证明等式1+2+3+(n+3) (nN*)时，第一步验证n=1时，左边应取的项 是( ) (A)1 (B)1+2