高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示练习.docx

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示A基础达标1已知O、A、B、C为空间四点，且向量，不能构成空间的一个基底，则()A.，共线B.，共线C.，共线DO、A、B、C四点共面解析：选D.由，不能构成基底知、三向量共面，所以一定有O、A、B、C四点共面2已知a，b，c是空间一组基底，pab，qab，一定可以与向量p，q构成空间另一组基底的是()Aa BbCc D.p2q解析：选C.因为a，b，c不共面，所以p，q，c不共面若存在x，yR，使cxpyq(xy)a(xy)b成立，则a，b，c共面，这与已知a，b，c是空间一组基底矛盾，故p，q，c不共面3已知A(1，2，1)关于平面xOy的对称点为B，而B关于x轴的对称点为C，则()A(0，4，2) B(0，4，0)C(0，4，2) D.(2，0，2)解析：选C.易知B(1，2，1)，C(1，2，1)，所以(0，4，2)4.如图，梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，点O为空间内任意一点，设a，b，c，则向量可用a，b，c表示为()Aab2cBab2cCabcD.abc解析：选D.()abc.5设i，j，k是单位正交基底，已知向量p在基底a，b，c下的坐标为(8，6，4)，其中aij，bjk，cki，则向量p在基底i，j，k下的坐标是()A(12，14，10) B(10，12，14)C(14，12，10) D.(4，3，2)解析：选A.依题意，知p8a6b4c8(ij)6(jk)4(ki)12i14j10k，故向量p在基底i，j，k下的坐标是(12，14，10)6在长方体ABCDA1B1C1D1中，若3i，2j，5k，则向量在基底i，j，k下的坐标是_解析：3i2j5k，所以向量在基底i，j，k下的坐标是(3，2，5)答案：(3，2，5)7已知空间的一个基底a，b，c，mabc，nxaybc，若m与n共线，则x_，y_解析：因为m与n共线，所以存在实数，使mn，即abcxaybc，于是有解得答案：118正方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若0(R)，则_解析：如图，连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上，易知EF綊A1D，所以，即0，所以.答案：9.如图所示，在三棱锥OABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA1，OB2，OC3，E，F分别为AC，BC的中点，建立以，方向上的单位向量为正交基底的空间坐标系Oxyz，求EF中点P的坐标解：令Ox，Oy，Oz轴方向上的单位向量分别为i，j，k，因为()()()i2j3kijk，所以P点的坐标为.10已知平行六面体OABCOABC，且a，b，c.(1)用a，b，c表示向量；(2)设G，H分别是侧面BBCC和OABC的中心，用a，b，c表示.解：(1)bca.(2)()()(abcb)(abcc)(cb)B能力提升11如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1.若xyz，则xyz()A1 B0C. D.1解析：选C.因为()，所以x1，y1，z，所以xyz.12已知i，j，k是空间直角坐标系Oxyz中x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，且向量pi3jk，则p的坐标为_答案：13(选做题)(2018黑龙江哈师大附中高二(上)期末考试)已知e1，e2，e3为空间的一个基底，且2e1e23e3，e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3.(1)判断P，A，B，C四点是否共面；(2)能否以，作为空间的一个基底？若能，试以这一基底表示；若不能，请说明理由解：(1)假设P，A，B，C四点共面，则存在实数x，y，z，使xyz，且xyz1，即2e1e23e3x(e12e2e3)y(3e1e22e3)z(e1e2e3)比较对应的系数，得到关于x，y，z的方程组解得，与xyz1矛盾，故P，A，B，C四点不共面(2)若，共面，则存在实数m，n，使mn，同(1)可证，不共面，因此，可以作为空间