高中数学知识梳理与解题指要.ppt

高中数学知识梳理 与解题指要,二五年四月九日,尤善培,一、数学高考介绍,二、数学知识梳理,三、数学试题简析,四、数学解题指要,(99全国)向高为H的水瓶中注水， 注满为止，如果注水量V与水深h的 函数关系的图象如右图所示，那么 水瓶的形状是（ ）,一、高考数学命题的特点与要求,高考数学命题的特点,B,位置数值,h,H,V,V0,O,f( )= =,f ( x )+f ( )=1.,（2002 全国）已知函数f (x)= 则 f( 1 )+f( 2 )+f( )+f( 3 )+f( )+f( 4 )+ f ( )= .,结构特征,高考数学是考查数学基础的考试,基础知识 基本技能 基本数学思想方法 、数形结合（转换策略） 、函数与方程（分析策略） 、分类讨论（分解策略） 、等价转换（分析策略）,在高考数学命题中，经历了“以知识立意”到以“问题立意”，再发展为“以能力立意”的过程。 以能力立意命题，保障了高考突出能力与学习 潜能考查的要求。 以能力立意命题拓展了命题思路。 以能力立意命题于题型设计，易于形成综合自 然、新颖脱俗的试题。 以能力立意命题在全卷的整合时，对试题的整体布局、层次安排有高屋建瓴之势。 以能力立意命题促进了高考改革的深入发展。,高考数学注重能力考查,3+4+6+6=19,高考数学对难度和速度均有要求,木 桶 原 理,知识要求 了解 理解和掌握 灵活和综合运用 能力要求 思维能力 运算能力 空间想像能力 实践能力 创新意识 个性品质要求,高考数学的要求,二、高考数学知识梳理与复习,高考数学知识梳理,平面向量,理解向量的概念，掌握向量的几何表， 了解共线向量的概念。,掌握向量的加法与减法。,掌握实数与向量的积，理解两个向量 共线的充要条件。,了解平面向量的基本定理，理解平面向量 的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。 掌握平面向量的数量积及其几何意义，了 解用平面向量的数量积可以处理有关长度、 角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。 掌握平面两点间的距离公式，以及线段的 定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运 用、掌握平移公式。,理解集合、子集、补集、交集、并集的 概念。了解空集和全集的意义。了解属 于、包含、相等关系的意义。掌握有关 的术语和符号，并会用它们正确表示一 些简单的集合。 理解逻辑联结词“或”、“且”、“非” 的含义。理解四种命题及其相互关系，掌 握充分条件、必要条件及充要条件的意 义。,集合、简易逻辑,函数,了解映射的概念，理解函数的概念。 了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判 断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法。 了解反函数的概念及互为反函数的函数图 像间的关系，会求一些简单函数的反函数。 理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂 的运算性质。掌握指数函数的概念、图象 和性质。,理解对数的概念，掌握对数的运算性质， 掌握对数函数的概念、图像和性质。 能够运用函数的性质、指数函数和对数函 数的性质解决某些简单的实际问题。,理解不等式的性质及其证明。 掌握两个（不扩展到三个）正数的算术 平均数不小于它们的几何平均数的定 理，并会简单的应用。 掌握分析法、综合法、比较法证明简单 的不等式。 掌握简单不等式的解法。 理解不等式 a- ba+ba+b,不等式,理解任意角的概念、弧度的意义，能正 确地进行弧度与角度的换算。 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定 义。了解余切、正割、余割的定义 ，掌 握同角三角函数的基本关系式： sin2+cos2=1， ，tancot=1。 掌握正弦、余弦的诱导公式。了解周期 函数与最小正周期的意义。 掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切 公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。,三角函数,能正确运用三角公式，进行简单的三角函 数式的化简、求值和恒等式证明。 了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图 像和性质，会用“五点法”画正弦函数、 余弦函数和函数y=Asin（x+）的简图， 理解A、的物理意义。 会由已知三角函数值求角，并会用符号 arcsinx、arccosx、arctanx表示。 掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用 它们解斜三角形。,理解数列的概念，了解数列通项公式的 意义，了解递推公式是给出数列的一种 方法，并能根据递推公式写出数列的前 几项。 理解等差数列的概念，掌握等差数列的 通项公式与前n项和公式，并能解决简单 的实际问题。 理解等比数列的概念，掌握等比数列的 通项公式与前n项和公式，并能解决简单 的实际问题。,数列,理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过 两点的直线的斜率公式。掌握直线方程的 点斜式、两点式、一般式，并能根据条件 熟练地求出直线方程。 掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直 线所成的角和点到直线的距离公式。能够 根据直线的方程判断两条直线的位置关 系。 了解二元一次不等式表示平面区域。,直线和圆的方程,了解线性规划的意义，并会简单的应用。 了解解析几何的基本思想，了解坐标法。 掌握圆的标准方程和一般方程，理解圆的 参数方程。,掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简 单几何性质。理解椭圆的参数方程。 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线 的简单几何性质。 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线 的简单几何性质。 了解圆锥曲线的初步应用。,圆锥曲线方程,掌握平面的基本性质，会作斜二测的画 法画水平放置的平面图形的直观图；能 够画出空间两条直线、直线和平面的各 种益关系的图形，能够根据图形想像它 们的位置关系。 掌握直线和平面平行的判定定理和性质 定理；掌握直线和平面垂直的判定定 理；掌握三垂线定理及其逆定理。 理解空间向量的概念，掌握空间向量的 加法、减法和数乘。,直线、平面、简单几何体,了解空间向量的基本定理；理解空间向量 坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算。 掌握空间向量的数量积的定义及其性质； 掌握用直角坐标计算空间向量数量积的 公式；掌握空间两点间距离公式。 理解直线的方向向量、平面的法向量、向 量在平面内的射影等概念。 掌握直线和直线、直线和平面、平面和平 面所成的角、距离的概念。,了解多面体、凸多面体的概念，了解正多 面体的概念。 了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画 直棱柱的直观图。 了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会 画正棱锥的直观图。 11了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的 表面积、体积公式,掌握分类计数原理与分步计数原理，并 能用它们分析和解决一些简单的应用问 题。 理解排列的意义，掌握排列数计算公 式，并能用它解决一些简单的应用问题。 理解组合的意义，掌握组合数计算公式和 组合数的性质，并能用它们解决一些简单 的应用问题。 掌握二项式定理和二项展开式的性质，并 能用它们计算和证明一些简单的问题。,排列、组合、二项式定理,了解随机事件的发生存在着规律性的随 机事件概率的意义。 了解等可能性事件的概率的意义，会用 排列组合的基本公式计算一些等可能性 事件的概率。 了解互斥事件与相互独立事件的意义， 会用互斥事件的概率加法公式与相互独 立事件的概率乘法公式计算一些事件的 概率。 会计算事件在n次独立重复试验中恰好发 生k次概率。,概率,了解随机抽样，了解分层抽样的意义， 会用它们对简单实际问题进行抽样。 会用样本频率分布估计总体分布。 会用样本估计总体期望值和方差。,统计,了解导数概念的实际背景。 理解导数的几何意义。 掌握函数y=c（C为常数）、y=xn（nN+） 的导数公式，会求多项式函数的导数。 理解极大值、极小值、最大值、最小值的 概念，并会用导数求多项式函数的单调区 间、极大值、极小值及闭区间上的最大值 和最小值。 会利用导数求某些简单实际问题的最大 值和最小值。,导数,设函数f(x)的导数为f (x), 且 f(x)=x3+2x f (1) 则 f (0)= ( ) A. 0 B. -3 C. -6 D. 6,理解 f (1)是常量, f (x)=3x2+2f (1), f (0)=2f (1). ,又 f (1)=3+2f (1), f (1)=-3.,代入 式,得 f (0)=-6.,高考复习“四字诀”,深层次挖掘教材 如：an为等差数列，a1、a2、a9成等比数列 则 题目的来源：选择特殊数列为背景，最常 见、最先想到的是自然数列，易知它满足条 件，所以选an=n。 再如函数这一部分，复习时可对y= 和 y=logax的图象和性质进行研究。,广：天高任鸟飞 全面复习，知识和能力并重 学会学习,新：万变不离其宗 “旧题”新解，追求优美 例如：过抛物线y2=x上一点（4，2），作倾 角互补的两条直线AB、AC交抛物线 B、C，求证：直线BC的斜率为定值。,思考： 按照与作图步骤相吻合的思路来求解。,解：设KAB=K，则，KAC=-K，AB的方程为 y=k（x-4）+2 因此，A（4，2），B（XB，YB）是方程组,可求得KBC=,再思考：在解题过程中，求B点坐标的计算量比较 大，应该想办法改进。,我们还再回顾一下原来的解题程序。,设KAB写直线AB、AC的方程解出B、C表示KBC,改进：先设B、C坐标。 改进后的程序为： 设B、C坐标求出KAB、KAC表示KBC 设B（ ，t2），C（ ，t2）（t1t2） 这时KAB= ， KAC= KAB=-KAC，即,x,0,A,B,C,y,化简得：t1+2= -（t2+2） 下面怎么办？似乎迷失了方向。我们还是 应该明确一下本题的目标。要证明KBC是 一个定值，于是不妨先求出KBC KBC=,这就好了，原来是要证明t1+t2是定值。 这样，就自然想到将t1+2=-（t2+2）变形为 t1+t2= - 4 本题圆满获得解决。,再改进：设B、C坐标表示KBC求出KAB、KAC,看透本质，新题通法。,“知识与技能”突出思想和智慧 程序性 主干性 这里的技能特性也有两点： 独立操作性：由重复再现过渡到独立 完成； 迁移性：通过联系的思想与转换的手 段达到灵活运用、举一反三和触类旁 通的目的。,三、去年高考数学试题的亮点,例1 （高考第一题第6小题）某校为了了解学生的课外 阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某 一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用图形 表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每 人的课外阅读时间为 A、0.6小时 B、0.9小时 C、1.0小时 D、1.5小时 解析 一天平均每人课外阅读时间为 =0.9（小时） 故选B。,时间（小时）,0 0.5 1.0 1.5 2.0 x,y 20 15 10 5,人数（人）,例2（高考第一题第8小题）设k1，f（x）=k（x-1） （xR）。在平面直角坐标系xOy中，函数 y=f(x)的图象与x轴变于A点，它的反函数 y=f-1(x)的图象与y轴交于B点，并且这两个函 数的图象交于P点，已知四边形OAPB的面积是 3，则k等于（ ） A、 3 B、 C、 D、,0 1 A x,y 1 B,p,解析:依题意A（1，0），B（0，1）， y=f（x）与y=f-1（x）的交点必在 直线y=x上。 由 y=k（x-1）， y=x 解得：x= 因为S四边形OAPB=2SOPA=2 OAxp= =3， 所以k= 。 故此选B,“过程与方法”重视价值和策略 例3 (高考第二题第16小题)平面向量a、b 中，已知a=(4，-3)，b=1且ab=5 则向量b= 。,方法1 设a与b夹角为。 则由ab=5abcos=5 51cos=5 cos=1 =0 所以b与a共线且方向相同， b=（ ，- )。,解析 解决本题至少可从这样两个角度思考,方法2 设b=（x，y） x2+y2=1 x= 4x-3y=5 y= - 或利用直线4x-3y=5与圆x2+y2=1相切的特征，借助几何图形，利用几何方法，求得切点坐标为（ ，- ） b=（ ，- ）,则 ,“情感、态度与价值观”体现感悟和动力 例4（高考第六大题）制订投资计划时， 不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考 虑可能出现的亏损。 某投资人打算投资甲、乙两个项目，根 据预测，甲、乙项目可能的最大利率分别 为100%为50%，可能的最大亏损率分别为 30%和10%，投资人计划投资金额超过10 万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8 万元。问投资人对甲、乙两个项目各投资 多少万元，才能使可能的盈利最大？,解析 设投资人分别用x万元，y万元投资甲、乙两个项目，由题意知 x+y10， 0.3X+0.1y1.8, x0, y0. 目标函数z=x+0.5y. 上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域。 作直线L：x+0.5y=0，并作平行于直线L的一组直线。 X+0.5y=z，zR，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x+0.5y=0的距离最大，这里M点是直线x+y=10和0.3x+0.1y=1.8的交点。,Y 18 10,0 6 10 x 0.3x+0.1y=1.8 x+0.5y=0,M(4,6) x+y=10,L,解方程组 x+y=10 0.3x+0.1y=1.8 得x=4，y=6 此时z=14+0.56=7（万元） 因为70， 所以x=4，y=6时z取最大值。 答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投 资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8 万元的前提下，使可能的盈利最大。,多思善想 思联系，网络知识，夯实基础 例1 、是两个不同的平面，m、n是 平面及之外的两条不同直线，给 出四个论断：mn， n，m，以其中三个论 断作为条件，余下一个论断作为结 论，写出你认为正确的一个命题 。,四、高考数学复习解题指要,思路1：题目结构中a、b、c具有轮换对称性， 可将右式分为三个部分，用综合法易证： （a+b）， （b+c）， （a+c），三式相加即得。,例2 已知a0，b0，c0，求证： （a+b+c）,思多解，多方出击，培养思维的发散性,是三角函数的特殊值，联系三角知识，可从右边证到左边。,思路2：,（a+b）=asin,+bcos,=,sin（,+）,（a+c）,三式相加即得。,（b+c）,B a b A c,同理： （a+c） 三式相加即得。,思路3 观察左边三个根式，联系立几知识，它们 是以a、b、c为三度的长方体的三个面的对 角线长度，可构造长方体来证明，如图:,AB= ， a+b=ABsin+ABcos = （sin+cos） = sin（+ ） 所以 （a+b）,思规律，找变化，触类旁通,例3 试证以过椭圆的焦点的弦为直径的圆必 和椭圆相应的准线相离。 例4 已知异面直线a和b所成的角为50，P为 空间任一定点，则P点且与a、b所成的 角都是30的直线有且仅有 （ ） A、1条 B、2条 C、3条 D、4条 在本题中50和30的设置对答案起着重 要作用。因此，可通过改变50和30的 大小来深化对这类题目的理解。,（1）若将50改为25，其余条件不变，则答 案是 。 （2）若将50改为65，其余条件不变，则答 案 。 （3）若将30改为70，其余条件不变，则答 案是 。 （4）若将50改为x，30改为y，且答案为A， 则x、y的关系式为 ；若答案为B，则 x、y的关系为 ；若答案为C，则x、 y的关系为 ；若答案为D，则x、y的 关系为 。,例5 求和S=（x+ ）+（x2+ ）+（xn+ ） 错解： S=（x+x2+x3+xn）+( + + + ) = + 这是应用等比数列求和公式时很容易出现的 问题,按照等比数列求和公式,当公式q是一个不确 定的