2020高考数学大一轮复习第八章解析几何第四节椭圆检测理新人教A版.docx

第四节 椭圆限时规范训练(限时练夯基练提能练)A级基础夯实练1(2018太原一模)已知椭圆1(ab0)的一个焦点是圆x2y26x80的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为()A(3，0)B(4，0)C(10，0) D(5，0)解析：选D.圆的标准方程为(x3)2y21，圆心坐标为(3，0)，c3.又b4，a5.椭圆的焦点在x轴上，椭圆的左顶点为(5，0)2(2018湖北武汉模拟)已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是()A.1 B1或1C.1 D1或1解析：选B.因为a4，e，所以c3，所以b2a2c21697.因为焦点的位置不确定，所以椭圆的标准方程是1或1.3(2018湖北八校联考)设F1，F2分别为椭圆1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为()A. BC. D解析：选B.由题意知a3，b，c2.设线段PF1的中点为M，则有OMPF2，因为OMF1F2，所以PF2F1F2，所以|PF2|.又因为|PF1|PF2|2a6，所以|PF1|2a|PF2|，所以，故选B.4(2018湖南百校联盟联考)已知椭圆1(ab0)的右顶点和上顶点分别为A、B，左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切，且该圆与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线交椭圆于M、N两点若四边形FAMN是平行四边形，则该椭圆的离心率为()A. BC. D解析：选A.因为圆O与直线BF相切，所以圆O的半径为，即OC，因为四边形FAMN是平行四边形，所以点M的坐标为，代入椭圆方程得1，所以5e22e30，又0e1，所以e.故选A.5(2018四川凉山州模拟)以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点，则该椭圆的离心率是()A. BC. D解析：选D.不妨令椭圆方程为1(ab0)因为以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点，所以2b，即a3b，则c2b，则该椭圆的离心率e.故选D.6(2018贵阳模拟)若椭圆1(ab0)的离心率为，短轴长为4，则椭圆的标准方程为_解析：由题意可知e，2b4，得b2，所以解得所以椭圆的标准方程为1.答案：17设F1，F2是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|PF2|43，则PF1F2的面积为_解析：因为|PF1|PF2|14，又|PF1|PF2|43，所以|PF1|8，|PF2|6.因为|F1F2|10，所以PF1PF2.所以SPF1F2|PF1|PF2|8624.答案：248(2018海南海口模拟)已知椭圆1(ab0)的左焦点为F1(c，0)，右顶点为A，上顶点为B，现过A点作直线F1B的垂线，垂足为T，若直线OT(O为坐标原点)的斜率为，则该椭圆的离心率为_解析：因为椭圆1(ab0)，A，B和F1点坐标分别为(a，0)，(0，b)，(c，0)，所以直线BF1的方程是yxb，OT的方程是yx.联立解得T点坐标为，直线AT的斜率为.由ATBF1得，1，3b24acc2，3(a2c2)4acc2，4e24e30，又0e1，所以e.答案：9分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程(1)与椭圆1有相同的离心率且经过点(2，)；(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5，3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为t1或t2(t1，t20)，因为椭圆过点(2，)，所以t12，或t2.故所求椭圆的标准方程为1或1.(2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为1(ab0)或1(ab0)，由已知条件得解得a4，c2，所以b212.故椭圆方程为1或1.10(2018兰州市诊断考试)已知椭圆C：1(ab0)经过点(，1)，且离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设M，N是椭圆上的点，直线OM与ON(O为坐标原点)的斜率之积为.若动点P满足2，求点P的轨迹方程解：(1)因为e，所以，又椭圆C经过点(，1)，所以1，解得a24，b22，所以椭圆C的方程为1.(2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由2得xx12x2，yy12y2，因为点M，N在椭圆1上，所以x2y4，x2y4，故x22y2(x4x1x24x)2(y4y1y24y)(x2y)4(x2y)4(x1x22y1y2)204(x1x22y1y2)设kOM，kON分别为直线OM与ON的斜率，由题意知，kOMkON，因此x1x22y1y20，所以x22y220，故点P的轨迹方程为1.B级能力提升练11(2018湖北八校第一次联考)如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(5，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|OF|且|PF|6，则椭圆C的方程为()A.1 B1C.1 D1解析：选C.由题意可得c5，设右焦点为F，连接PF，由|OP|OF|OF|知，PFFFPO，OFPOPF，PFFOFPFPOOPF，FPOOPF90，即PFPF.在RtPFF中，由勾股定理，得|PF|8，由椭圆定义，得|PF|PF|2a6814，从而a7，得a249，于是b2a2c2725224，所以椭圆C的方程为1，故选C.12(2018河南郑州质量预测)椭圆1的左焦点为F，直线xa与椭圆相交于点M，N，当FMN的周长最大时，FMN的面积是()A. BC. D解析：选C.设椭圆的右焦点为E，由椭圆的定义知FMN的周长为L|MN|MF|NF|MN|(2|ME|)(2|NE|)因为|ME|NE|MN|，所以|MN|ME|NE|0，当直线MN过点E时取等号，所以L4|MN|ME|NE|4，即直线xa过椭圆的右焦点E时，FMN的周长最大，此时SFMN|MN|EF|2，故选C.13(2018陕西部分学校一检)已知P为椭圆1(ab0)上一点，F1，F2是其左、右焦点，F1PF2取最大值时，cosF1PF2，则椭圆的离心率为_解析：易知F1PF2取最大值时，点P为椭圆1与y轴的交点，由余弦定理及椭圆的定义得2a24c2，即ac，所以椭圆的离心率e.答案：14(2018河南师大附中模拟)椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，若F关于直线xy0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为_解析：设F为椭圆的右焦点，则AFAF，AFF，|AF|AF|，|FF|2|AF|，因此椭圆C的离心率为1.答案：115已知A(x0，0)，B(0，y0)两点分别在x轴和y轴上运动，且|AB|1，若动点P(x，y)满足2.(1)求动点P的轨迹C的标准方程；(2)直线l：xty1与曲线C交于A，B两点，E(1，0)，试问：当t变化时，是否存在一条直线l，使ABE的面积为2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解：(1)因为2，即(x，y)2(x0，0)(0，y0)(2x0，y0)，所以x2x0，yy0，所以x0x，y0y，又|AB|1，所以xy1，即1，即1，所以动点P的轨迹C的标准方程为1.(2)由方程组得(3t24)y26ty90，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y20，所以|y1y2|.因为直线xty1过点F(1，0)，所以SABE|EF|y1y2|2，令2，则t2，不成立，故不存在满足题意的直线l.16(2018湖北部分重点中学起点考试)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，左焦点为F(1，0)，过点D(0，2)且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点(1)求椭圆C的标准方程；(2)在y轴上，是否存在定点E，使恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由解：(1)由已知可得可得a22，b21，所以椭圆C的标准方程为y21.(2)设过点D(0，2)且斜率为k的直线l的方程为ykx2，由消去y整理得(12k2)x28kx60，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.又y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4，y1y2(kx12)(kx22)k(x1x2)4.设存在点E(0，m)，则(x1，my1)，(x2，my2)，所以x1x2m2m(y1y2)y1y2m2m.要使t(t为常数)，只需t，从而(2m222t)k2m24m10t0，即解得m，从而t，故存在定点E，使恒为定值.C级素养加强练17已知椭圆1(ab0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e，直线l交椭圆于M，N两点(1)若直线l的方程为yx4，求弦MN的长；(2)如果BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式解：(1)由已知得b4，且，即，解得a220，椭圆方程为1.则4x25y280与yx4联立，消去y得9x240x0，x10