2018_2019高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.2综合法和分析法教案新人教A版.docx

2.2综合法和分析法一、教学目标1了解综合法与分析法证明不等式的思考过程与特点2会用综合法、分析法证明简单的不等式二、课时安排1课时三、教学重点了解综合法与分析法证明不等式的思考过程与特点四、教学难点会用综合法、分析法证明简单的不等式五、教学过程（一）导入新课已知a0，b0,2cab，求证：ca.【证明】要证ca，只需证明ca，即证ba2，当ba0时，显然成立；当ba0时，只需证明b2a22ab4c24ab，即证(ab)24c2，由2cab知上式成立所以原不等式成立（二）讲授新课教材整理1综合法一般地，从 出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做 ，又叫或 教材整理2分析法证明命题时，我们还常常从要证的 出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为 或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做 ，这是一种执果索因的思考和证明方法（三）重难点精讲题型一、用综合法证明不等式例1已知a，b，c是正数，求证：abc.【精彩点拨】由a，b，c是正数，联想去分母，转化证明b2c2c2a2a2b2abc(abc)，利用x2y22xy可证或将原不等式变形为abc后，再进行证明【自主解答】法一a，b，c是正数，b2c2c2a22abc2，b2c2a2b22ab2c，c2a2a2b22a2bc，2(b2c2c2a2a2b2)2(abc2ab2ca2bc)，即b2c2c2a2a2b2abc(abc)又abc0，abc.法二a，b，c是正数，22c.同理2a，2b，22(abc)又a0, b0，c0，b2c2a2c2a2b2abc(abc)故abc.规律总结：1综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间、不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式(切入点)，这是证明的关键2综合法证明不等式的主要依据：(1)不等式的基本性质；(2)基本不等式及其变形；(3)三个正数的算术几何平均不等式等再练一题1已知a0，b0，c0，且abc2.求证：(1a)(1b)(1c)8.【证明】a0，b0，c0，1a2，当且仅当a1时，取等号，1b2，当且仅当b1时，取等号，1c2，当且仅当c1时，取等号abc2，a，b，c不能同时取1，“”不同时成立(1a)(1b)(1c)88.即(1a)(1b)(1c)8.题型二、综合法与分析法的综合应用例2设实数x，y满足yx20，且0a1，求证：loga(axby)loga2.【精彩点拨】要证的不等式为对数不等式，结合对数的性质，先用分析法探路，转化为要证明一个简单的结论，然后再利用综合法证明【自主解答】由于0a1，则tlogax(x0)为减函数欲证loga(axay)loga2，只需证axay2a.yx20,0a1，xyxx2.当且仅当x时，(xy)max，axya，a.又axay2(当且仅当xy取等号), axay2a.由于，等号不能同时成立，式等号不成立，即axay2a成立故原不等式loga(axay)loga2成立规律总结：1通过等式或不等式运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明体现了分析法与综合法之间互为前提、互相渗透、相互转化的辩证关系2函数与不等式综合交汇，应注意函数性质在解题中的运用再练一题2已知a，b，c都是正数，求证：23.【证明】法一要证23，只需证ab2abc3，即2c3，移项，得c23.由a，b，c都为正数，得c2c3，原不等式成立法二a，b，c都是正数，c33，即c23，故2c3，ab2abc3，23.题型三、分析法证明不等式例3已知ab0，求证：.【精彩点拨】本题要证明的不等式显得较为复杂，不易观察出怎样由ab0得到要证明的不等式，因而可以用分析法先变形要证明的不等式，从中找到证题的线索【自主解答】要证原不等式成立，只需证ab2，即证()2.只需证，即1，即1.只需证1.ab0，1成立原不等式成立规律总结：1解答本题的关键是在不等式两边非负的条件下，利用不等式的开方性质寻找结论成立的充分条件，采用分析法是常用方法证明过程一要注意格式规范，二要注意逻辑关系严密、准确2当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或条件与结论之间的关系不明显时，可用分析法来寻找证明途径常常利用移项、去分母、平方、开方等方法进行分析探路再练一题3已知a0，求证： a2.【证明】因为a0，要证原不等式成立，只需证2a，即证a24422，只需证a，即证2a22，只需证a22.由基本不等式知a22显然成立，所以原不等式成立（四）归纳小结综合法与分析法（五）随堂检测1已知a0，1b0，则()Aaabab2 Bab2abaCabaab2 D.abab2a【解析】1b0，1b20b.又a0，abab2a.【答案】D2下列三个不等式：a0b；ba0；b0a.其中能使成立的充分条件有()A BC D.【解析】a0b；ba0；b0a.故选A.【答案】A3已