[经济学]28函数的连续性.ppt

课堂文明的基本要求,1. 文明着装, 不穿拖鞋; 2. 不迟到(至少提前 5 分钟到教室), 不旷课, 不早退, 不带食品到教室; 3. 上课前关闭手机, 取下耳机; 4. 遵守课堂纪律, 上课时不睡觉, 不做小动作 ( 不吃东西、玩游戏、 随意走动、接电话、玩手机等 ). 你的文明举止为课堂增彩，谢谢你！,暨南大学电气信息学院苏保河主讲,建 议,(1) 高数难,须下功夫1 : 3;,(4) 及时做作业,尽量独立完成;,(2) 感觉讲课快者请课前预习;,(3) 记忆应该记忆的内容；,(5) 不懂的理论和习题,要及时问同学或老师。,暨南大学电气信息学院苏保河主讲,复习,1. 极限存在的 2 个准则,如果 (1),(2),则,定理 1 (数列极限存在的夹逼准则),定理 2 (函数极限存在的夹逼准则),暨南大学电气信息学院苏保河主讲,复习,定理 3 单调有界数列必有极限.,单调增有上界的数列必有极限.,单调减有下界的数列必有极限.,暨南大学电气信息学院苏保河主讲,2. 两个重要极限,复习,暨南大学电气信息学院苏保河主讲,3. 无穷小的比较,设 , 为同一变化过程的无穷小, 且, 是 的低阶无穷小, 是 的同阶无穷小, 是 的等价无穷小,复习, 是 的高阶无穷小,暨南大学电气信息学院苏保河主讲,4. 等价无穷小替换定理,定理. 设,且,存在 ,注:,x 可理解为“口”.,则,常用等价无穷小 :,复习,暨南大学电气信息学院苏保河主讲,二、函数的间断点,一、函数连续性的定义,2.8 函数的连续性,第二章 极限与连续,暨南大学电气信息学院苏保河主讲,三、连续函数的运算法则,四、初等函数的连续性,主要内容,五、闭区间上连续函数的性质,0、增量(改变量),定义 0,设有函数,差 u2 - u1 称为 u 的增量,设变量 u 由初值 u1 变到终值 u2,例 0,终值,函数 y 的增量为,记为,终值与初值之,如果自变量 x 由初值 x0 变到,暨南大学电气信息学院苏保河主讲,一、函数连续性的定义,定义 1,在,的某邻域内有定义,则称函数,(1),(2) 极限,(3),设函数,存在 ;,且,暨南大学电气信息学院苏保河主讲,例1.,证.,暨南大学电气信息学院苏保河主讲,在点,对自变量的增量,有函数的增量,左连续,右连续,由此可知函数,连续有下列等价命题:,暨南大学电气信息学院苏保河主讲,例 2. 研究下列函数在 x = 1 的连续性:,解.,因为,所以该函数在 x = 1 连续.,暨南大学电气信息学院苏保河主讲,定义 2,则称它在该区间上连续 ,或称它为该区间上的连续函数 .,例 3.,证.,暨南大学电气信息学院苏保河主讲,例 4. 证明,在,内连续.,( 有理整函数 ),证 : (自证),暨南大学电气信息学院苏保河主讲,例 5. 证明有理分式函数,在其定义区间 I 内连续.,证 : (自证),所以 R ( x ) 在其定义区间 I 内连续.,暨南大学电气信息学院苏保河主讲,左连续,右连续,注,f (x) 在左端点 a 连续是指在 a 右连续;,f (x) 在右端点 b 连续是指在 b 左连续.,如果区间包括端点,例如 a, b,定义 2,则称它在该区间上连续 ,或称它为该区间上的连续函数 .,暨南大学电气信息学院苏保河主讲,二、函数的间断点,不存在,存在,则在下列情,形下,暨南大学电气信息学院苏保河主讲,间断点分类,第一类间断点:,若,若,第二类间断点:,若其中有一个为振荡 ,若其中有一个为,暨南大学电气信息学院苏保河主讲,为其第二类间断点 ,x = 0 为其第二类间断点 ,为其第一类间断点 ,例如:,也是可去间断点.,也是振荡间断点.,也是无穷间断点.,暨南大学电气信息学院苏保河主讲,为其第一类间断点,(4),(5),为其第一类间断点,也是可去间断点.,也是跳跃间断点.,暨南大学电气信息学院苏保河主讲,例6. 讨论函数,所以 x = 2 是 f (x) 第二类间断点, 也是无穷间断点 .,间断点的类型.,解:,(2) 当 x = 2 时. (自算),所以 x = 1 是 f (x) 的第一类间断点,也是可去间断点.,(1) 当 x = 1 时.,得间断点,暨南大学电气信息学院苏保河主讲,时,提示:,为,连续函数.,例7. 填空:,暨南大学电气信息学院苏保河主讲,在其定义区间内连续,三、连续函数的运算法则,定理 1,( 利用极限的四则运算法则和连续的定义可以证明),商(分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数.,例如,在某点连续的有限个函数经有限次和, 差, 积,暨南大学电气信息学院苏保河主讲,注: 可以证明:,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,定理 2,(递减).,(证明不要求),递增,(递减),也连续单调,连续单调递增 函数的反函数,基本初等函数在其定义区间内连续.,定理 3,注:,条件：,连续函数的复合函数是连续的.,(证明不要求),暨南大学电气信息学院苏保河主讲,上也连续单调递增.,例如,是由连续函数,因此,分别在,内连续 .,复合而成 ,暨南大学电气信息学院苏保河主讲,四、初等函数的连续性,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,由常数和基本初等函数,定义区间:,包含在定义域内的区间.,例如, 对于函数,是定义区间;,是定义区间;,不是定义区间;,不是定义区间.,初等函数:,经过有限次四则,运算和复合步骤所构成,并可用一个式子表示的函数.,暨南大学电气信息学院苏保河主讲,例 8. 填空.,的连续区间为,的连续区间为,一切初等函数在定义区间内连续.,(1),(2),暨南大学电气信息学院苏保河主讲,例 9.,一切初等函数在定义区间内连续.,解,注 连续函数求极限用代入法.,暨南大学电气信息学院苏保河主讲,例10. 求,解:,原式,例11. 求,解:,则,原式,条件：,注:,暨南大学电气信息学院苏保河主讲,例 12. 讨论函数,的连续性.,解: 间断点,为函数 f (x) 的,故,为 f (x) 的第一类间断点,(2) 当 x = 0 时.,(3) 当 x = 1 时.,第二类间断点,也是跳跃间断点.,连续.,(1) 由初等函数的连续性可知,分别在区间,也是无穷间断点;,暨南大学电气信息学院苏保河主讲,五、闭区间上连续函数的性质,定理 4,即: 设,则,使,最大值和最小值.,在该区间上一定有,(证明略),在闭区间上连续的函数,推论: 在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,暨南大学电气信息学院苏保河主讲,定理 5 ( 零点定理 ),则至少存在一点,且,使,( 证明略 ),暨南大学电气信息学院苏保河主讲,定理 6 ( 介值定理 ),证:,则,且,由零点定理知, 至少有一点,作辅助函数,则,不妨设,暨南大学电气信息学院苏保河主讲,例13. 证明方程,至少有一个根 .,证:,由零点定理, 至少存在一点,在区间,故原方程在 (0, 1) 内至少有一个根.,暨南大学电气信息学院苏保河主讲,作 业,P90 习题二 (A) 29(1); 30(2,4,6); 33; 34(1); 35; 37(1,2,3); 38; 39; 41. (B) 25; 27; 29.,下次课内容,2.9 第二章小结与习题课,自看: P89 例9,暨南大学电气信息学院苏保河主讲,左右极限至少 有一个不存在,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点:,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点:,无穷间断点,振荡间断点,在点,间断的类型,暨南大学电气信息学院苏保河主讲,若函数,3.,在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数 .,注. 如果区间包括端点, 例如 a, b,f (x) 在右端点 b 连续是指在 b 左连续.,f (x) 在左端点 a 连续是指在 a 右连续;,内容小结,暨南大学电气信息学院苏保河主讲,4. 初等函数的连续性,初等函数在定义区间内连续.,注:,条件：,内容小结,暨南大学电气信息学院苏保河主讲,5. 闭区间 a, b 上连续函数 f