空间向量与立体几何典型例题.doc

空间向量与立体几何典型例题一、选择题：1(2008全国卷理)已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（ C ）AB CD1.解：C由题意知三棱锥为正四面体，设棱长为，则，棱柱的高（即点到底面的距离），故与底面所成角的正弦值为.另解：设为空间向量的一组基底，的两两间的夹角为长度均为，平面的法向量为,则与底面所成角的正弦值为.二、填空题：1(2008全国卷理)等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于 1题图（1）1.答案：.设，作，则，为二面角的平面角，结合等边三角形与正方形可知此四棱锥为正四棱锥，则,1题图（2）故所成角的余弦值另解：以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则点,则,故所成角的余弦值.三、解答题：1（2008安徽文）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的 菱形，, , ,为的中点。（）求异面直线AB与MD所成角的大小；（）求点B到平面OCD的距离。1方法一（综合法）（1） 为异面直线与所成的角（或其补角）作连接，所以 与所成角的大小为（）点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作 于点Q，又 , 线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，所以点B到平面OCD的距离为方法二(向量法)作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,(1)设与所成的角为, , 与所成角的大小为(2) 设平面OCD的法向量为,则即 取,解得设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值, , .所以点B到平面OCD的距离为2（2008安徽理）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点。（）证明：直线；（）求异面直线AB与MD所成角的大小； （）求点B到平面OCD的距离。2 方法一（综合法） （1）取OB中点E，连接ME，NE又 （2） 为异面直线与所成的角（或其补角）作连接， 所以 与所成角的大小为（3）点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作 于点Q，又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，所以点B到平面OCD的距离为方法二(向量法)作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,(1)设平面OCD的法向量为,则即 取,解得(2)设与所成的角为, , 与所成角的大小为(3)设点B到平面OCD的交流为,则为在向量上的投影的绝对值, 由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为3（2008北京文）如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，ACB=90，AP=BP=AB，PCAC.（）求证：PCAB；（）求二面角B-AP-C的大小.3解法一：（）取AB中点D，连结PD，CD.AP=BP，PDAB.AC=BC.CDAB.PDCDD.AB平面PCD.PC平面PCD，PCAB.（）AC=BC,AP=BP,APCBPC.又PCAC，PCBC.又ACB90，即ACBC，且ACPC=C，ABBP，BEAP.EC是BE在平面PAC内的射影，CEAP.BEC是二面角B-AP-C的平面角.在BCE中，BCE=90,BC=2,BE=，sinBEC=二面角B-AP-C的大小为aresin解法二：（）AC=BC,AP=BP,APCBPC.又PCAC.PCBC.ACBC=C,PC平面ABC.AB平面ABC，PCAB. ()如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.设P（0，0，t）,PB=AB2，t=2,P(0,0,2).取AP中点E，连结BE，CE.AC=PC,AB=BP,CEAP,BEAP.BEC是二面角B-AP-C的平面角.E(0,1,1),cosBEC=二面角B-AP-C的大小为arccosACBDP4（2008北京理）如图，在三棱锥中，（）求证：；（）求二面角的大小；（）求点到平面的距离4解法一：（）取中点，连结，平面平面，ACBEP（），又，又，即，且，平面取中点连结，是在平面内的射影，是二面角的平面角在中，ACBDPH二面角的大小为（）由（）知平面，平面平面过作，垂足为平面平面，平面的长即为点到平面的距离由（）知，又，且，平面平面，在中， 点到平面的距离为解法二：（），又，平面平面，（）如图，以为原点建立空间直角坐标系ACBPzxyHE则设，取中点，连结，是二面角的平面角，二面角的大小为（），在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离如（）建立空间直角坐标系，点的坐标为 点到平面的距离为5 (2008福建文) 如图，在四棱锥中，侧面PAD底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形，其中BCAD,ABCD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点。（1）求证：PO平面ABCD;（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；（3）求点A到平面PCD的距离5.解：如图，A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1)所以所以异面直线所成的角的余弦值为：(2)设平面PCD的法向量为，所以 ；令x=1,则y=z=1,所以 又则，点A到平面PCD的距离为：6(2008福建理) 如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD底面ABCD，侧棱PA=PD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.（）求证：PO平面ABCD；（）求异面直线PD与CD所成角的大小；（）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.6本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分.解法一：（）证明：在PAD中PA=PD,O为AD中点，所以POAD,又侧面PAD底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面PAD，所以PO平面ABCD.（）连结BO，在直角梯形ABCD中、BCAD，AD=2AB=2BC,有ODBC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形，所以OBDC.由（）知，POOB,PBO为锐角，所以PBO是异面直线PB与CD所成的角.因为AD=2AB=2BC=2,在RtAOB中，AB=1,AO=1,所以OB，在RtPOA中，因为AP，AO1，所以OP1，在RtPBO中，tanPBO所以异面直线PB与CD所成的角是.（）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为.设QDx，则，由（）得CD=OB=，在RtPOC中， 所以PC=CD=DP, 由Vp-DQC=VQ-PCD,得2，所以存在点Q满足题意，此时.解法二：()同解法一.()以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1), 所以所以异面直线PB与CD所成的角是arccos， ()假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为，由()知设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0).则所以即，取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).设由，得解y=-或y=(舍去)，此时，所以存在点Q满足题意，此时.7、(2008海南、宁夏理)如图，已知点P在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上，PDA=60。（1）求DP与CC1所成角的大小；（2）求DP与平面AA1D1D所成角的大小。7解：如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系则，连结，在平面中，延长交于设，由已知，由可得ABCDPxyzH解得，所以（）因为，所以即与所成的角为（）平面的一个法向量是因为，所以可得与平面所成的角为8. (2008湖北文)如图，在直三棱柱中，平面侧面 （）求证： （）若，直线AC与平面所成的角为， 二面角8.本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角、二面角等有关知识，考查空间想象能力和推理论证能力.（满分12分） ()证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作ADA1B于D，则由平面A1BC侧面A1ABB1,且平面A1BC侧面A1ABB1A1B，得AD平面A1BC.又BC平面A1BC所以ADBC.因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱,则AA1底面ABC,所以AA1BC.又AA1AD=A,从而BC侧面A1ABB1,又AB侧面A1ABB1，故ABBC. ()证法1：连接CD,则由()知ACD就是直线AC与平面A1BC所成的角，ABA1就是二面角A1BCA的颊角，即ACD，ABA1=j. 于是在RtADC中，sin=,在RtADA1中，sinAA1D, sin=sinAA1D,由于与AA1D都是锐角，所以AA1D. 又由RtA1AB知，AA1DjAA1Bj，故j. 证法2：由()知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=c（ca，则B(0,0,0)，A(0,c,0)，C(),A1(0,c,a)，于是，（0，c,a）,=(0,c,a)设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z),则由可取n（0，a，c），于是n=ac0，与n的夹角b为锐角,则b与q互为余角.sinq=cosb=,cosj=所以sinq=cosj=sin(),又0q，j，所以q+j=.9. (2008湖北理)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC侧面A1ABB1.（）求证：ABBC；（）若直线AC与平面A1BC所成的角为,二面角A1-BC-A的大小为的大小关系，并予以证明.9.本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力.（满分12分）（）证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作ADA1B于D，则由平面A1BC侧面A1ABB1,且平面A1BC侧面A1ABB1=A1B,得AD平面A1BC,又BC平面A1BC，所以ADBC.因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，则AA1底面ABC，所以AA1BC.又AA1AD=A,从而BC侧面A1ABB1，又AB侧面A1ABB1，故ABBC.（）解法1：连接CD，则由（）知是直线AC与平面A1BC所成的角，是二面角A1BCA的平面角，即于是在RtADC中，在RtADB中，由ABAC，得又所以解法2：由（）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1=a,AC=b,AB=c,则 B(0,0,0), A(0,c,0), 于是设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z)，则由得可取n=(0,-a,c)，于是与n的夹角为锐角，则与互为余角.所以于是由cb，得即又所以10. (2008湖南理)如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD60，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA2. （）证明：平面PBE平面PAB;（）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.10解: 解法一 （）如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且BCD=60知，BCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BECD,又ABCD,所以BEAB.又因为PA平面ABCD，平面ABCD，所以PABE.而AB=A,因此BE平面PAB.又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.（）延长AD、BE相交于点F，连结PF.过点A作AHPB于H，由（）知平面PBE平面PAB,所以AH平面PBE.在RtABF中，因为BAF60，所以，AF=2AB=2=AP.在等腰RtPAF中，取PF的中点G，连接AG.则AGPF.连结HG，由三垂线定理的逆定理得，PFHG.所以AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）.在等腰RtPAF中， 在RtPAB中， 所以，在RtAHG中， 故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是解法二: 如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2）,（）因为，平面PAB的一个法向量是，所以共线.从而BE平面PAB.又因为平面PBE，故平面PBE平面PAB. ()易知 设是平面PBE的一个法向量，则由得所以 设是平面PAD的一个法向量，则由得所以故可取 于是， 故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是11(2008湖南文) 如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，E是CD的中点，PA底面ABCD，。（I）证明：平面PBE平面PAB；（II）求二面角ABEP和的大小。11解：解法一（I）如图所示, 连结由是菱形且知，是等边三角形. 因为E是CD的中点，所以又所以又因为PA平面ABCD，平面ABCD，所以而因此 平面PAB.又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.（II）由（I）知，平面PAB, 平面PAB, 所以 又所以是二面角的平面角在中, 故二面角的大小为解法二：如图所示,以A为原点，建立空间直角坐标系则相关各点的坐标分别是（I）因为平面PAB的一个法向量是所以和共线.从而平面PAB. 又因为平面PBE，所以平面PBE平面PAB.（II）易知设是平面PBE的一个法向量,则由得 所以故可取而平面ABE的一个法向量是于是,故二面角的大小为12(2008江苏)记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记当为钝角时，求的取值范围12解：由题设可知，以、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则有, 由，得，所以 显然不是平角，所以为钝角等价于 ，则等价于即 ，得因此，的取值范围是13(2008江西文、理) 如图，正三棱锥的三条侧棱、两两垂直，且长度均为2、分别是、的中点，是的中点，过的平面与侧棱、或其延长线分别相交于、，已知（1）求证：面；（2）求二面角的大小13解 ：（1）证明：依题设，是的中位线，所以，则平面，所以。 又是的中点，所以，则。 因为，所以面，则，因此面。（2）作于，连。因为平面，根据三垂线定理知， 就是二面角的平面角。 作于，则，则是的中点，则。设，由得，解得，在中，则，。所以，故二面角为。解法二：（1）以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则 所以所以 所以平面 由得，故：平面 (2)由已知设则由与共线得:存在有得同理: 设是平面的一个法向量,则 令得 又是平面的一个法量 所以二面角的大小为 ABCDEFPQHG14(2008辽宁文)如图，在棱长为1的正方体中，AP=BQ=b（0b1），截面PQEF，截面PQGH（）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；（）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值；（）若，求与平面PQEF所成角的正弦值14本小题主要考查空间中的线面关系和面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维能力满分12分解法一：（）证明：在正方体中，又由已知可得，所以，所以平面所以平面和平面互相垂直4分（）证明：由（）知，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是，是定值8分ABCDEFPQHGN（）解：设交于点，连结，因为平面，所以为与平面所成的角因为，所以分别为，的中点可知，所以12分解法二：以D为原点，射线DA，DC，DD分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系Dxyz由已知得，故ABCDEFPQHyxzG，（）证明：在所建立的坐标系中，可得，因为，所以是平面PQEF的法向量因为，所以是平面PQGH的法向量因为，所以，所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直4分（）证明：因为，所以，又，所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形在所建立的坐标系中可求得，所以，又，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为，是定值8分（）解：由（）知是平面的法向量由为中点可知，分别为，的中点所以，因此与平面所成角的正弦值等于12分ABCDEFPQHG15(2008辽宁理)如图，在棱长为1的正方体中，AP=BQ=b（0b1），截面PQEF，截面PQGH（）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；（）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值；（）若与平面PQEF所成的角为，求与平面PQGH所成角的正弦值ABCDEFPQHGNM15本小题主要考查空间中的线面关系，面面关系，解三角形等基础知识， 考查空间想象能力与逻辑思维能力。满分12分解法一：（）证明：在正方体中，又由已知可得，所以，所以平面所以平面和平面互相垂直4分（）证明：由（）知，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是，是定值8分（III）解：连结BC交EQ于点M因为，所以平面和平面PQGH互相平行，因此与平面PQGH所成角与与平面所成角相等与（）同理可证EQ平面PQGH，可知EM平面，因此EM与的比值就是所求的正弦值设交PF于点N，连结EN，由知因为平面PQEF，又已知与平面PQEF成角，所以，即，解得，可知E为BC中点所以EM=，又，故与平面PQCH所成角的正弦值为12分解法二：以D为原点，射线DA，DC，DD分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系Dxyz由已知得，故，ABCDEFPQHyxzG，（）证明：在所建立的坐标系中，可得，因为，所以是平面PQEF的法向量因为，所以是平面PQGH的法向量因为，所以，所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直4分（）证明：因为，所以，又，所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形在所建立的坐标系中可求得，所以，又，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为，是定值8分（）解：由已知得与成角，又可得 ，即，解得所以，又，所以与平面PQGH所成角的正弦值为12分ABCDEA1B1C1D116(2008全国卷文、理) 如图，正四棱柱中，点在上且（）证明：平面；（）求二面角的大小16解法一：依题设，（）连结交于点，则ABCDEA1B1C1D1FHG由三垂线定理知，3分在平面内，连结交于点，由于，故，与互余于是与平面内两条相交直线都垂直，所以平面6分（）作，垂足为，连结由三垂线定理知，故是二面角的平面角8分，又，ABCDEA1B1C1D1yxz所以二面角的大小为-12分 解法二：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系依题设，-3分（）因为，故，又，所以平面6分（）设向量是平面的法向量，则，故，令，则，9分等于二面角的平面角，所以二面角的大小为12分17(2008全国卷文)（四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，（）证明：；（）设侧面为等边三角形，求二面角的大小17解：（1）取中点，连接交于点，又面面，面，即，面，（2）在面内过点做的垂线，垂足为，面，则即为所求二面角，则，18(2008全国卷理) 四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，（）证明：；（）设与平面所成的角为，求二面角的大小18解：（1）取中点，连接交于点，又面面，面，18题图，即，面，（2）在面内过点作的垂线，垂足为，面，则即为所求二面角的平面角，则，即二面角的大小19 (2008山东理)如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点.（）证明：AEPD; （）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的 正切值为，求二面角EAFC的余弦值。19（）证明：由四边形ABCD为菱形，ABC=60，可得ABC为正三角形.因为 E为BC的中点，所以AEBC. 又 BCAD，因此AEAD.因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE.而 PA平面PAD，AD平面PAD 且PAAD=A，所以 AE平面PAD，又PD平面PAD.所以 AEPD.（）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH.由（）知 AE平面PAD，则EHA为EH与平面PAD所成的角.在RtEAH中，AE=，所以 当AH最短时，EHA最大，即 当AHPD时，EHA最大.此时 tanEHA=因此 AH=.又AD=2，所以ADH=45，所以 PA=2.解法一：因为 PA平面ABCD，PA平面PAC， 所以 平面PAC平面ABCD. 过E作EOAC于O，则EO平面PAC， 过O作OSAF于S，连接ES，则ESO为二面角E-AF-C的平面角， 在RtAOE中，EO=AEsin30=，AO=AEcos30=, 又F是PC的中点，在RtASO中，SO=AOsin45=, 又 在RtESO中，cosESO= 即所求二面角的余弦值为解法二：由（）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以E、F分别为BC、PC的中点，所以A（0，0，0），B（，-1，0），C（C，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），所以 设平面AEF的一法向量为则因此取因为 BDAC，BDPA，PAAC=A，所以 BD平面AFC，故 为平面AFC的一法向量.又 =（-），所以 cosm, =因为 二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为A1AC1B1BDC20(2008陕西理)三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，平面，（）证明：平面平面；（）求二面角的大小20解法一：（）平面平面，在中，A1AC1B1BDCFE（第20题，解法一），又，即又，平面，平面，平面平面（）如图，作交于点，连接，由已知得平面是在面内的射影由三垂线定理知，为二面角的平面角过作交于点，则，在中，A1AC1B1BDCzyx（第20题，解法二）在中，即二面角为解法二：（）如图，建立空间直角坐标系，则，点坐标为，又，平面，又平面，平面平面（）平面，取为平面的法向量，设平面的法向量为，则，如图，可取，则，即二面角为A1AC1B1BDC21.(2008陕西文) 三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，平面，为中点（）证明：平面平面；（）求二面角的大小21解：22(2008四川文) 如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，分别为的中点（）证明：四边形是平行四边形；（）四点是否共面？为什么？（）设，证明：平面平面；22【解1】：（）由题意知，所以又，故所以四边形是平行四边形。（）四点共面。理由如下：由，是的中点知，所以由（）知，所以，故共面。又点在直线上所以四点共面。（）连结，由，及知是正方形故。由题设知两两垂直，故平面，因此是在平面内的射影，根据三垂线定理，又，所以平面由（）知，所以平面。由（）知平面，故平面，得平面平面【解2】：由平面平面，得平面，以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系（）设，则由题设得所以于是又点不在直线上所以四边形是平行四边形。（）四点共面。理由如下：由题设知，所以又，故四点共面。（）由得，所以又，因此即又，所以平面故由平面，得平面平面【点评】：此题重点考察立体几何中直线与直线的位置关系，四点共面问题，面面垂直问题，考察了空间想象能力，几何逻辑推理能力，以及计算能力；【突破】：熟悉几何公理化体系，准确推理，注意逻辑性是顺利进行解法1的关键；在解法2中，准确的建系，确定点坐标，熟悉向量的坐标表示，熟悉空间向量的计算在几何位置的证明，在有关线段，角的计算中的计算方法是解题的关键。23(2008四川理) 如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，（）证明：四点共面；（）设，求二面角的大小；23【解1】：（）延长交的延长线于点，由得 延长交的延长线于同理可得 故，即与重合因此直线相交于点，即四点共面。（）设，则，取中点，则，又由已知得，平面故，与平面内两相交直线都垂直。所以平面，作，垂足为，连结由三垂线定理知为二面角的平面角。故所以二面角的大小【解2】：由平面平面，得平面，以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系（）设，则故，从而由点，得故四点共面（）设，则， 在上取点，使，则从而又在上取点，使，则从而故与的夹角等于二面角的平面角，所以二面角的大小【点评】：此题重点考察立体几何中四点共面问题和求二面角的问题，考察空间想象能力，几何逻辑推理能力，以及计算能力；【