2018年秋高中数学1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程1.5.3定积分的概念学案新人教A版.docx

15定积分的概念151曲边梯形的面积152汽车行驶的路程153定积分的概念学习目标：、1.了解定积分的概念(难点).2.理解定积分的几何意义(重点、易错点).3.通过求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程，了解“以直代曲”“以不变代变”的思想(难点).4.能用定积分的定义求简单的定积分(重点)自 主 预 习探 新 知1曲边梯形的面积和汽车行驶的路程(1)曲边梯形的面积曲线梯形：由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图151所示)求曲边梯形面积的方法把区间a，b分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图151所示)图 图图151求曲边梯形面积的步骤：分割，近似代替，求和，取极限(2)求变速直线运动的(位移)路程如果物体做变速直线运动，速度函数vv(t)，那么也可以采用分割，近似代替，求和，取极限的方法，求出它在atb内所作的位移s.2定积分的概念如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)作和式f(i)x f(i)，当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx.其中a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式思考：f(x)dx是一个常数还是一个变量？f(x)dx与积分变量有关系吗？提示由定义可得定积分f(x)dx是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即f(x)dxf(t)dtf(u)du.3定积分的几何意义与性质(1)定积分的几何意义由直线xa，xb(ab)，x轴及一条曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积设为S，则有：图152在区间a，b上，若f(x)0，则Sf(x)dx，如图152所示，即f(x)dxS.在区间a，b上，若f(x)0，则Sf(x)dx，如图152所示，即f(x)dxS.若在区间a，c上，f(x)0，在区间c，b上，f(x)0，则Sf(x)dxf(x)dx，如图152所示，即(SA，SB表示所在区域的面积)(2)定积分的性质kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)；f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx；f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)基础自测1思考辨析(1)f(x)dxf(t)dt.()(2)f(x)dx的值一定是一个正数()(3)2xdx2xdx()答案(1)(2)(3)2在“近似代替”中，函数f(x)在区间xi，xi1上的近似值()A只能是左端点的函数值f(xi)B只能是右端点的函数值f(xi1)C可以是该区间内任一点的函数值f(i)(ixi，xi1)D以上答案均正确C作近似计算时，xxi1xi很小，误差可忽略，所以f(x)可以是xi，xi1上任一值f(i)3图153中阴影部分的面积用定积分表示为()图153A.2xdxB.(2x1)dxC.(2x1)dxD.(12x)dxB根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为2xdx1dx(2x1)dx.4已知x2dx，x2dx，1dx2，则(x21)dx_. 【导学号：31062080】 解析x2dx，x2dx，1dx2，(x21)dxx2dxx2dx1dx22. 答案合 作 探 究攻 重 难求曲边梯形的面积求由直线x0，x1，y0和曲线yx(x1)围成的图形面积图154解(1)分割将曲边梯形分割成n个小曲边梯形，用分点，把区间0,1等分成n个小区间：，简写作(i1,2，n)每个小区间的长度为x.过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：S1，S2，Si，Sn.(2)近似代替用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，在小区间上任取一点i(i1,2，n)，为了计算方便，取i为小区间的左端点，用f(i)的相反数f(i)为其一边长，以小区间长度x为另一边长的小矩形对应的面积近似代替第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示为Sif(i)x(i1,2，n)(3)求和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形面积S的近似值，即SSi(i)x021222(n1)2012(n1)n(n1)(2n1).(4)取极限当分割无限变细，即x趋向于0时，n趋向于，此时趋向于S.从而有S .所以由直线x0，x1，y0和曲线yx(x1)围成的图形面积为.规律方法求曲边梯形的面积(1)思想：以直代曲(2)步骤：分割近似代替求和取极限(3)关键：近似代替(4)结果：分割越细，面积越精确(5)求和时可用到一些常见的求和公式，如123n，122232n2，132333n32.跟踪训练1求由抛物线yx2与直线y4所围成的曲边梯形的面积. 【导学号：31062081】 解yx2为偶函数，图象关于y轴对称，所求曲边梯形的面积应为抛物线yx2(x0)与直线x0，y4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S阴影由得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线x0，x2，y0和曲线yx2围成的曲边梯形的面积(1)分割将区间0,2n等分，则x，取i.(2)近似代替求和Sn 2122232(n1)2. (3)取极限SSn .所求平面图形的面积为S阴影24.2S阴影，即抛物线yx2与直线y4所围成的图形面积为.求变速直线运动的路程已知汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)t22t(单位：km/h)，求它在1t2这段时间行驶的路程是多少？解将时间区间1,2等分成n个小区间，则第i个小区间为，在第i个时间段的路程近似为sivt，i1,2，n.所以snsi (n1)2(n2)2(n3)2(2n)2(n1)(n2)2n3，ssn ，所以这段时间行驶的路程为 km.规律方法求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解.求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限.应特别注意变速直线运动的时间区间.跟踪训练2一物体自200 m高空自由落下，求它在开始下落后的第3秒至第6秒之间的距离(g9.8 m/s2) 【导学号：31062082】解自由落体的下落速度为v(t)gt.将3,6等分成n个小区间，每个区间的长度为.在第i个小区间(i1,2，n)上，以左端点函数值作为该区间的速度所以snv 9g9gg.所以ssn 9gg9.8132.3(m)故该物体在下落后第3 s至第6 s之间的距离是132.3 m.利用定积分的性质及几何意义求定积分探究问题1在定积分的几何意义中f(x)0，如果f(x)0，f(x)dx表示什么？提示：如果在区间a，b上，函数f(x)0，那么曲边梯形位于x轴的下方(如图所示)，由于xi0，f(i)0，故f(i)xi0，从而定积分f(x)dx0，这时它等于图中所示曲边梯形面积的相反数，即f(x)dxS或Sf(x)dx.2dx的几何意义是什么？提示：是由直线x0，x2，y0和曲线y所围成的曲边梯形面积，即以原点为圆心，2为半径的圆的面积即dx.3若f(x)为a，a上的偶函数，则f(x)dx与f(x)dx存在什么关系？若f(x)为a，a上的奇函数，则f(x)dx等于多少？提示：若f(x)为偶函数，则f(x)dx2f(x)dx；若f(x)为奇函数，则f(x)dx0.说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值(1)2dx；(2)xdx；(3) dx.解(1)2dx表示的是图中阴影部分所示的长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以2dx2.(2)xdx表示的是图中阴影部分所示的梯形的面积，由于这个梯形的面积为，所以xdx.(3) dx表示的是图中阴影部分所示的半径为1的半圆的面积，其值为，所以dx.母题探究：1.(变条件)将例3(3)改为利用定积分的几何意义求dx.解dx表示的是图中阴影部分所示半径为1的圆的的面积，其值为，dx.2(变条件)将例3(3)改为利用定积分的几何意义求dx.解dx表示的是图中阴影部分所示半径为1的圆的面积，其值为，dx.3(变条件)将例3(3)改为利用定积分的几何意义求 (x)dx.解由定积分的性质得， (x)dx xdxdx.yx是奇函数，xdx0.由例3(3)知dx. (x)dx.当 堂 达 标固 双 基1把区间1,3n等分，所得n个小区间中每个小区间的长度为()A.B.C.D.B区间长度为2，n等分后每个小区间的长度都是，故选B.2定积分f(x)dx的大小()A与f(x)和积分区间a，b有关，与i的取法无关B与f(x)有关，与区间a，b以及i的取法无关C与f(x)以及i的取法有关，与区间a，b无关D与f(x)、积分区间a，b和i的取法都有关A由定积分的定义可知A正确3由ysin x，x0，x，y0所围成图形的面积写成定积分的形式是_. 【导学号：31062083】解析0x，sin x0.ysin x，x0，x，y0所围成图形的面积写成定积分的形式为sin xdx.答案 sin xdx4已知某物体运动的速度为vt，t0,10，若把区间10等分，取每个小区