2018_2019学年高中数学第3章复数的四则运算（第二课时）复数的乘方与除法运算讲义.docx

第二课时复数的乘方与除法运算问题1：在实数中，若abc(a0)，则b.反之，若b，则abc.那么在复数集中，若z1z2z3，有z1(z20)成立吗？提示：成立问题2：若复数z1abi，z2cdi(a，b，c，dR，cdi0)，则如何运算？提示：通常先把(abi)(cdi)写成的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数cdi，化简后可得结果，即i(cdi0)对任意复数z，z1，z2和m，nN*，有 (z)m(z)n(z)mn；(zm)nzmn；(z1z2)nzz.2虚数单位in(nN*)的周期性i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i.3复数的除法运算及法则把满足(cdi)(xyi)abi(cdi0)的复数xyi(x，yR)叫做复数abi除以复数cdi的商且xyii.由i，可以看出复数除法的运算实质是将分母化为实数的过程即分母实数化虚数单位i的幂的周期性例1求1ii2i2 014的值思路点拨利用in的性质计算，i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，还可以利用等比数列求和来解精解详析法一：1ii2i2 014i.法二：inin1in2in30(nN*)，1ii2i2 0141(ii2i3i4)(i5i6i7i8)(i2 009i2 010i2 011i2 012)i2 013i2 0141i1i.一点通等差、等比数列的求和公式在复数集C中仍适用，i的周期性要记熟，即inin1in2in30(nN*)1若z，则z2 014z102_.解析：z22i，z2 014z102(i)1 007(i)51(i)1 004(i)3(i)48(i)3ii2i.答案：2i2设z1i4i5i6i12，z2i4i5i6 i12，则z1与z2的关系为z1_z2(用“”或“”填)解析：z11，z2i45612ii72(i4)181，z1z2.答案：复数的除法例2计算：(1)(5i2)2；(2).思路点拨解答较为复杂的复数相乘、除时，一个方面要利用复数乘、除的运算法则、运算律，另一方面要注意观察式子中数据的特点，利用题目中数据的特点简化运算精解详析(1)原式(5i2)2i51ii4i4.(2)原式(2i)2i4i.一点通复数的除法就是分子，分母同乘以分母的共轭复数，从而使分母实数化，熟悉以下结论对简化运算很有帮助bai(abi)(i)，bai(abi)i.3设复数z，则复数z2的实部与虚部的和为_解析：zi1，z2(1i)212i12i.实部为0，虚部为2.因此，实部与虚部的和为2.答案：24若复数z满足z(2i)117i(i为虚数单位)，则z_.解析：z(2i)117i，z35i.答案：35i5化简：_.解析：原式3ii2i.答案：2i1复数除法的运算技巧在实际进行的复数除法运算中，每次都按乘法的逆运算进行计算将十分麻烦我们可以用简便方法操作：先把两个复数相除写成分式形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”，最后再化简2注意复数计算中常用的整体(1)i的性质：i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN*)；(2)(1i)22i，i，i；(3)设i，则31，210，2，31.一、填空题1(新课标全国卷改编)设复数z满足(1i)z2i，则z_.解析：z1i.答案：1i2设i是虚数单位，复数的虚部为_解析：3i.答案：13如果z123i，z2，则_.解析：z123i，z2，i(2i)2(34i)i43i.答案：43i4(浙江高考)已知 i是虚数单位，计算 _.解析： i.答案：i5i是虚数单位，i2i23i38i8_.解析：设Si2i23i38i8则iSi22i37i88i9得(1i)Sii2i3i88i98i8i.S44i.答案：44i二、解答题6计算220.解：2202i10(1i)2i1012i.7复数z，若z20，求纯虚数a.解：z1i.a为纯虚数，设ami(m0)，则z2(1i)22ii0，m4.a4i.8已知1i是实系数方程x2axb0的一个根(1)求a、b的值；(2)试判断1i是否是方程的根解：(1)1i是方程x2axb0的根，(1i)2a