2018_2019学年高中数学第三章导数及其应用3.4生活中的优化问题举例讲义（含解析）新人教A版.docx

3.4 生活中的优化问题举例5某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x_吨解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n，总运费与总存储费之和f(x)4n4x4x，令f(x)40，解得x20，x20(舍去)，x20是函数f(x)的最小值点，故当x20时，f(x)最小答案：206.一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示)当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为_ m时，帐篷的体积最大解析：设OO1为x m，底面正六边形的面积为S m2，帐篷的体积为V m3. 则由题设可得正六棱锥底面边长为(m)，于是底面正六边形的面积为S6()2(82xx2)帐篷的体积为V(82xx2)(x1)(82xx2)(82xx2)(1612xx3)，V(123x2)令V0，解得x2或x2(不合题意，舍去)当1x2时，V0；当2x4时，V0.所以当x2时，V最大答案：27某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件如果降低价格，销售量将会增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0x21)的平方成正比已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解：(1)若商品降低x元，则一个星期多卖出的商品为kx2件由已知条件，得k2224，解得k6.若记一个星期的商品销售利润为f(x)，则有f(x)(30x9)(4326x2)6x3126x2432x9 072，x0,21(2)由(1)得，f(x)18x2252x432.令f(x)0，得x2或x12.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表所示：x0(0,2)2(2,12)12(12,21)21f(x)00f(x)9 072极小值极大值0所以当x12时，f(x)取得极大值因为f(0)9 072，f(12)11 664，f(21)0，所以定价为301218(元)，能使一个星期的商品销售利润最大8两县城A和B相距20 km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧AB上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y.统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在A的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.(1)将y表示成x的函数f(x)；(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断A上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由解：(1)根据题意ACB90，|AC| x km，|BC| km，且建在C处的垃圾处理厂对城A的影响度为，对城B的影响度为，因此，总影响度y(0x20)又垃圾处理厂建在A的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065，故有0.065，解得k9，故yf(x)(0x20)(2)f(x).令f(x)0，解得x4或x4(舍去)所以当x(0,4)时，f(x)0，y为减函数；当x(4，20)时，f(x)0，y为增函数故在x4处，函数f(x)取得极小值，也是最小值即垃圾场离城A的距离为4 m时，对城A和城B的总影响最小 (时间： 120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若f(x)sin cos x，则f(x)等于()Asin xBcos xCcos sin x D2sin cos x解析：选A函数是关于x的函数，因此sin 是一个常数2曲线yf(x)x33x21在点(2，3)处的切线方程为()Ay3x3 By3x1Cy3 Dx2解析：选C因为yf(x)3x26x，则曲线yx33x21在点(2，3)处的切线的斜率kf(2)322620，所以切线方程为y3.3函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )A1个B2个C3个D4个解析：选A设极值点依次为x1，x2，x3且ax1x2x3b，则f(x)在(a，x1)，(x2，x3)上递增，在(x1，x2)，(x3，b)上递减，因此，x1，x3是极大值点，只有x2是极小值点4函数f(x)x2ln x的单调递减区间是()A. B.C. ，D.，解析：选Af(x)2x，当0x时，f(x)0，故f(x)的单调递减区间为.5函数f(x)3x4x3(x0,1)的最大值是()A1 B. C0 D1解析：选Af(x)312x2，令f(x)0，则x(舍去)或x，f(0)0，f(1)1，f1，f(x)在0,1上的最大值为1.6函数f(x)x3ax23x9，已知f(x)在x3处取得极值，则a()A2 B3 C4 D5解析：选Df(x)3x22ax3，f(3)0.3(3)22a(3)30，a5.7已知物体的运动方程是S(t)t2(t的单位：s，S的单位：m)，则物体在时刻t2时的速度v与加速度a分别为()A. m/s， m/s2 B. m/s， m/s2C. m/s， m/s2 D. m/s， m/s2解析：选AS(t)2t，vS(2)22 (m/s)令g(t)S(t)2t，g(t)22t3，ag(2) (m/s2)8.已知函数f(x)的导函数f(x)a(xb)2c的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是()解析：选D由导函数图象可知，当x0时，函数f(x)递减，排除A、B；当0x0，函数f(x)递增因此，当x0时，f(x)取得极小值，故选D.9定义域为R的函数f(x)满足f(1)1，且f(x)的导函数f(x)，则满足2f(x)x1的x的集合为()Ax|1x1 Bx|x1Cx|x1 Dx|x1解析：选B令g(x)2f(x)x1，f(x)，g(x)2f(x)10，g(x)为单调增函数，f(1)1，g(1)2f(1)110，当x1时，g(x)0，即2f(x)2130，f(2)f(1)f(3)，即cab.答案：ca0)(1)若a1，求函数f(x)的单调区间；(2)若以函数yf(x)(x(0,3)图象上任意一点P(x0，y0)为切点的切线的斜率k恒成立，求实数a的最小值解：(1)当a1时，f(x)ln x，定义域为(0，)，f(x)，当x(0,1)时，f(x)0，所以f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，)(2)由(1)知f(x)(0x3)，则kf(x0)(0x03)恒成立，即amax.当x01时，xx0取得最大值，所以a，所以a的最小值为.19(本小题满分12分)已知某厂生产x件产品的成本C25 000200xx2(单位：元)(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，则应生产多少产品？解：(1)设平均成本为y元，则y200，y，令y0，得x1 000或x1 000(舍去)当在x1 000附近左侧时y0，当在x1 000附近右侧时y0，故当x1 000时，函数取得极小值，由于函数只有一个点使y0，且函数在该点有极小值，故函数在该点取得最小值，因此，要使平均成本最低，应生产1 000件产品(2)利润函数L500x300x25 000.L300，令L0，解得x6 000.当在x6 000附近左侧时L0，当在x6 000附近右侧时L0，故当x6 000时，函数取得极大值，由于函数只有一个使L0的点，且函数在该点有极大值，故函数在该点取得最大值因此，要使利润最大，应生产6 000件产品20(本小题满分12分)设函数f(x)exx2x.(1)若k0，求f(x)的最小值；(2)若k1，讨论函数f(x)的单调性解：(1)k0时，f(x)exx，f(x)ex1.当x(，0)时，f(x)0，f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，故f(x)的最小值为f(0)1.(2)若k1，则f(x)exx2x，定义域为R.f(x)exx1，令g(x)exx1，则g(x)ex1，由g(x)0得x0，g(x)在0，)上单调递增，由g(x)0得x0，g(x)在(，0)上单调递减，g(x)ming(0)0，即f(x)min0，故f(x)0.f(x)在R上单调递增21(本小题满分12分)已知函数f(x)x2aln x(xR)(1)求f(x)的单调区间；(2)当x1时，x2ln xx3是否恒成立，并说明理由解：(1)f(x)的定义域为(0，)，由题意得f(x)x(x0)，当a0时，f(x)0恒成立，f(x)的单调递增区间为(0，)当a0时，f(x)x，当0x时，f(x)0；当x时，f(x)0.当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(，)，单调递减区间为(0，)(2)当x1时，x2ln xx3恒成立，理由如下：设g(x)x3x2ln x(x1)，则g(x)2x2x0，g(x)在(1，)上是增函数，g(x)g(1)0.即x3x2ln x0，x2ln xx3，故当x1时，x2ln xx3恒成立22(本小题满分12分)若函数f(x)ax3bx4，当x2时，函数f(x)有极值.(1)求函数的解析式；(2)若方程f(x)k有3个不同的根，求实数k的取值范围解：(1)f(x)3ax2b.由题意