江苏省南京金陵中学2019届高三数学上学期期中试题（含解析）.docx

2019届江苏省南京金陵中学高三第一学期期中考试数学试题此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、填空题1设集合A，B1，0，1，2，4，则AB_2已知复数，其中i是虚数单位，则的值是_3已知一组数据2，4，5，6，8，那么这组数据的方差是_4从2男3女共5名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等）作为代表，则这2名代表都是女同学的概率为_5如图是一个算法的流程图，则输出a的值是_6在平面直角坐标系xOy中，若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则实数p的值为_7已知，则_8设a0，若an且数列an是递增数列，则实数a的范围是_9在平面直角坐标系xOy中，若曲线(a，b为常数)过点P(2，5)，且该曲线在点P处的切线与直线2x-7y+3=0垂直，则2a3b的值是_10若函数在t,t+1上不单调，则t的取值范围是_11如下图，在中， 若，则_12已知函数，则关于x的方程ff(x)=3的解的个数为_13已知正数a，b，c满足，则的最大值为_14若存在正数x，y，使得，其中e为自然对数的底数，则实数s的取值范围是_二、解答题15如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD平面ABCD，M为PC中点求证：（1）PA平面MDB；（2）PDBC16已知伪鈭?0，蟺)，（1）求tan2尾的值；（2）求伪的值17如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(管道构成RtFHE，H是直角项点)来处理污水管道越长，污水净化效果越好设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上已知AB20米，AD米，记BHE胃（1）试将污水净化管道的长度L表示为胃的函数，并写出定义域；（2）当胃取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度L18在平面直角坐标系xOy中，圆O：与坐标轴分别交于A1，A2，B1，B2(如图)（1）点Q是圆O上除A1，A2外的任意点(如图1)，直线A1Q，A2Q与直线y+3=0交于不同的两点M，N，求线段MN长的最小值；（2）点P是圆O上除A1，A2，B1，B2外的任意点(如图2)，直线B2P交x轴于点F，直线A1B2交A2P于点E设A2P的斜率为k，EF的斜率为m，求证：2mk为定值（图1） （图2）19设函数，其中x0，k为常数，e为自然对数的底数（1）当k0时，求f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在区间(1，3)上存在两个极值点，求实数k的取值范围；（3）证明：对任意给定的实数k，存在()，使得f(x)在区间(，)上单调递增20若数列同时满足：对于任意的正整数n，恒成立；若对于给定的正整数k，对于任意的正整数n(nk)恒成立，则称数列是“R(k)数列”（1）已知，判断数列是否为“R(2)数列”，并说明理由；（2）已知数列是“R(3)数列”，且存在整数p(p1)，使得，成等差数列，证明：是等差数列21二阶矩阵M对应的变换将点(1，1)与(2，1)分别变换成点(1，1)与(0，2)（1）求矩阵M的逆矩阵；（2）设直线l在变换M作用下得到了直线m：2x-y=4，求l的方程22在极坐标系中，设圆蟻=3上的点到直线的距离为d，求d的最大值23如图，已知三棱锥OABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA1，OBOC2，E是OC的中点（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；（2）求二面角ABEC的余弦值24已知，（1）若，求g(x)中含x2项的系数；（2）若是展开式中所有无理项的系数和，数列是由各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：2019届江苏省南京金陵中学高三第一学期期中考试数学试题数学 答 案参考答案11，2【解析】【分析】先化简集合A，然后求交集即可.【详解】集合A，又B1，0，1，2，4AB1，2【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查对数函数的单调性，是基础题2【解析】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【详解】复数z=（1+i）（1+3i）=13+4i=2+4i，|z|=故答案为：【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题34【解析】【分析】先求出这组数据的平均数，再求这组数据的方差【详解】一组数据2，4，5，6，8，这组数据的平均数=5，这组数据的方差S2=（25）2+（45）2+（55）2+（65）2+（85）2=4故答案为：4【点睛】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差公式的合理运用4【解析】【分析】计算从2男3女共5名同学中任选2名学生和选出的2名都是女同学的选法种数，利用古典概型概率公式计算可得答案【详解】从2男3女共5名同学中任选2名学生有=10种选法；其中选出的2名都是女同学的有=3种选法，2名都是女同学的概率为故答案为：【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，解题的关键是求得符合条件的基本事件个数510【解析】【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案【详解】当a=1，b=12时，不满足ab，故a=4，b=10，当a=4，b=10时，不满足ab，故a=7，b=8，当a=7，b=8时，不满足ab，故a=10，b=6，当a=10，b=6时，满足ab，故输出的a值为10，故答案为：10【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答62【解析】【分析】先根据椭圆方程求出椭圆的右焦点坐标，因为抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，所以抛物线的焦点坐标可知，再根据抛物线中焦点坐标为（，0），即可求出p值【详解】 中a2=4，b2=3，c2=1，c=1右焦点坐标为（1，0）抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，根据抛物线中焦点坐标为（，0），则p=2故答案为：2【点睛】本题主要考查了椭圆焦点与抛物线焦点的求法，属于圆锥曲线的基础题7【解析】【分析】利用sin2x=-cos（2x+）=2sin2（x+）-1即可得到结果.【详解】，sin2x=-cos（2x+）=2sin2（x+）-1=1=，故答案为：【点睛】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键82a3【解析】由an是递增数列，得解得2a398【解析】【分析】由曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，5），且该曲线在点P处的切线与直线2x7y+3=0垂直，可得y|x=2=5，且y|x=2=，解方程可得答案【详解】直线2x7y+3=0的斜率k=，切线的斜率为，曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，5），且该曲线在点P处的切线与直线2x7y+3=0垂直，y=2ax，解得：a=1，b=2，故2a3b =8，故答案为：8【点睛】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=5，且y|x=2=，是解答的关键100t1鎴?t0时, ,等号成立的条件是k=1当k0都成立.所以，当x3时，；当0x3时，所以，的单调递减区间为（0,3），单调递增区间为.（2）由函数在区间（1,3）上存在两个极值点，得在区间（1,3）上至少有两个解，即在区间（1,3）至少有两个解.令，则所以，当1x2时，gx0；当2x0，所以在区间（1,2）上单调递减，在区间（2,3）上单调递增.又，所以，且，即.此时，存在x1(1,2), x2(2,3)使得且当x(1,x1)时，当x(x1,x2)时，当x(x2,，3)，满足条件.所以k的取值范围为(3)令，得，当x鈮?时，当且仅当x=3时等号成立，所以，在上单调递增，所以，当x3时，及，当x3时，.设为3和中较大的数，则当时，所以对任意给定的实数k，存在，式得在区间上单调递增.20（1）是（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据定义验证两个条件是否成立，由于函数为分段函数，所以分奇偶分别验证（2）根据定义数列隔项成等差，再根据单调性确定公差相等，最后求各项通项，根据通项关系得数列通项，根据等差数列证结论试题解析：（1）当n为奇数时，所以. .当n为偶数时，所以. .所以，数列是“R(2)数列”.（2）由题意可得：，则数列，是等差数列，设其公差为，数列，是等差数列，设其公差为，数列，是等差数列，设其公差为.因为，所以，所以，所以，.若，则当时，不成立；若，则当时，不成立；若，则和都成立，所以.同理得：，所以，记.设 ，则.同理可得：，所以.所以是等差数列.【另解】 ， ， ，以上三式相加可得：3位=2d，所以，所以 ， ， ，所以，所以，所以，数列是等差数列.21（1）；（2）x+4=0。【解析】【分析】（1），由已知二阶矩阵M对应的变换将点（1，1）与（2，1）分别变换成点（1，1）与（0，2）可构造关于a，b，c，d的四元一次方程组，解方程组可得矩阵M，进而得到矩阵M的逆矩阵M1；（2）由（1）中矩阵M及直线l在变换M作用下得到了直线m：2xy=4，构造关于x，y的关系式，整理后可得l的方程【详解】（1）设，则有，所以，解得所以，从而. （2）因为，且m:2x-y=4，所以，即x+4=0，这就是直线l的方程。【点睛】本题主要考查了逆矩阵与投影变换，以及直线的一般式方程等基础知识，属于基础题224【解析】将极坐标方程3化为普通方程，得圆：x2y29.极坐标方程(cossin)2化为普通方程，得直线：xy2.在x2y29上任取一点A(3cos，3sin)则点A到直线的距离为d，所求d的最大值为4.23（1）；（2）。【解析】【分析】（1）先以O为原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系设出点的坐标，求出直线直线BE与AC的方向向量，最后利用向量的夹角公式计算即得异面直线BE与AC所成的角的余弦值；（2）先分别求得平面ABE的法向量和平面BEC的一个法向量，再利用夹角公式求二面角的余弦值即可【详解】（1）以O为原点，OB，OC，OA分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则有，.，. . 由于异面直线BE与AC所成的角是锐角，故其余弦值是. （2）.设平面ABE的法向量为，则由，得取.同理可得平面BEC的一个法向量为， .