浙北四校2019届高三数学上学期12月模拟考试题（含解析）.docx

浙北四校2019年12月高考模拟考试数学试卷考生须知：1.本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷。参考公式：如果事件互斥，那么 柱体的体积公式 其中表示柱体的底面积，表示柱体的高如果事件相互独立，那么 锥体的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么 其中表示锥体的底面积，表示锥体的高次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 球的表面积公式台体的体积公式 球的体积公式其中表示球的半径其中，分别表示台体的上、下底面积，表 示台体的高 选择题部分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.为虚数单位，（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】复数的分子复杂，先化简，然后再化简整个复数，可得到结果【详解】，故选：D【点睛】本题考查复数的代数形式的运算，i的幂的运算，是基础题2.若，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用对数换底公式、对数函数的单调性即可得出【详解】logm2logn20，0，lgnlgm0，可得nm1故选：C【点睛】本题考查了对数换底公式、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3.若函数，则是A. 最小正周期为为奇函数 B. 最小正周期为为偶函数C. 最小正周期为为奇函数 D. 最小正周期为为偶函数【答案】A【解析】【分析】根据诱导公式，化简得函数=-sin2x，由此结合正弦函数的奇偶性和三角函数的周期公式进行计算，即可得到本题答案【详解】=-sin2x，f（x）=-sin2x，可得f（x）是奇函数，最小正周期T=故选：A【点睛】本题利用诱导公式化简三角函数式，着重考查了三角函数的图象与性质和三角函数的周期公式等知识，属于基础题4.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积 （单位：cm3）是A. 8 B. C. 16 D. 16【答案】B【解析】【分析】由题意三视图可知，几何体是等边圆柱斜削一半，求出圆柱体积的一半即可【详解】由三视图的图形可知，几何体是等边圆柱斜切一半，所求几何体的体积为：=8故选B【点睛】本题是基础题，考查几何体的体积的求法，有三视图推出几何体的形状是本题的关键5.若非空集合，满足，且不是的子集， 则“”是“”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】本题即判断“xA”“xC”和“xC”“xA”是否成立，由AB=C，且B不是A的子集易判【详解】因为AB=C，所以“xA”“xC”；反之，若“xC”，即“xAB”因为B不是A的子集，故不能得到xA，所以“xC”是“xA”的必要但不充分条件故选：B【点睛】本题考查充要条件的判断和集合之间的关系，属基本题型的考查6.如图，中，若以，为焦点的双曲线的渐近线经过点，则该双曲线的离心率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设AB=BC=2，取AB的中点为O，由题意可得双曲线的一条渐近线为直线OC，由余弦定理可得OC，cosCOB，求得tanCOB，即为渐近线的斜率，由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到【详解】设AB=BC=2，取AB的中点为O，由题意可得双曲线的一条渐近线为直线OC，在三角形OBC中，cosB=，OC2=OB2+BC22OBBCcosB=1+4212（）=7，OC=，则cosCOB=，可得sinCOB=，tanCOB=，可得双曲线的渐近线的斜率为，不妨设双曲线的方程为=1（a，b0），渐近线方程为y=x，可得=，可得e=故选：D【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线和离心率，考查学生的计算能力，属于中档题7.已知向量，满足，则的最小值是A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】【分析】由条件得到的范围，结合由绝对值向量三角不等式得到结果.【详解】因为，由绝对值向量三角不等式得：=1，故选A.【点睛】本题考查向量三角不等式的应用，考查向量数量积的运算及计算公式，属于中等题8.有6个人站成前后二排，每排3人，若甲、乙两人左右、前后均不相邻，则不同的站法种数为A. 384 B. 480 C. 768 D. 240【答案】A【解析】【分析】若甲站在边上甲有4个位置可选，乙有3个位置可选，其余的4人任意排，此时的排法种数为 43；如果甲站在中间，甲有2个位置可选，乙有2个位置可选，其余的4人任意排，此时的排法种数是22，把这两个结果相加即得所求【详解】如果甲站在边上甲有4个位置可选，乙有3个位置可选，其余的4人任意排，此时的排法种数为 43=288如果甲站在中间，甲有2个位置可选，乙有2个位置可选，其余的4人任意排，此时的排法种数是22=96根据分类计数原理，所有的不同的站法种数为288+96=384，故选：A【点睛】本题主要考查排列与组合及两个基本原理，排列数公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题9.若直线与不等式组表示的平面区域无公共点，则的取值范围是A. B. C. D. R【答案】C【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线ax+by=1与平面区域无公共点建立条件关系，即可得到结论【详解】不等式组表示的平面区域是由A（1，1），B（1，1），C（0，1）围成的三角形区域（包含边界）直线ax+by=1与表示的平面区域无公共点，a，b满足：或（a，b）在如图所示的三角形区域（除边界且除原点）设z=2a+3b，平移直线z=2a+3b，当直线经过点A1（0，1）时，z最大为z=3，当经过点B1时，z最小，由解得，即B1（2，1），此时z=43=7，故2a+3b的取值范围是（7，3）故选：C【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键10.已知数列是一个递增数列，满足，,，则=A. 4 B. 6 C. 7 D. 8【答案】B【解析】【分析】代入n=1，求得=1或=2或=3，由数列是一个递增数列，满足分类讨论求得结果.【详解】当n=1时，则=2，因为，可得=1或=2或=3，当=1时，代入得舍去；当=2时，代入得，即=2，又是一个递增数列，且满足当=3时，代入得不满足数列是一个递增数列，舍去.故选B.【点睛】本题考查数列递推式，考查学生的计算能力与逻辑推理能力，属于中档题非选择题部分二、填空题：本大题有7小题, 多空题每题6分，单空题每题4分，共36分把答案填在答题卷的相应位置11.已知，则_，_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】分别求出关于集合M，N的不等式，求出其范围，从而求出答案【详解】M=x|x24=x|2x2，N=x|2x1=x|x0，则MN=（0，2，而CUN=x|x0，MCUN=（，2，故答案为：(1). (2). 【点睛】本题考查了集合的运算，考查不等式问题，是一道基础题12.已知函数，分别由下表给出123131123321 则的值为 ；满足的的值是 【答案】1，2【解析】=；当x=1时，不满足条件，当x=2时，满足条件，当x=3时，不满足条件， 只有x=2时，符合条件。13.二项式的展开式的各项系数之和为_，的系数为_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】令x=1，可得各项系数和再利用通项公式即可得出【详解】令x=1，可得各项系数之和为：（1-）6=的通项公式：Tr+1=x2r-6，令2r6=2，解得r=4含x2项的系数=故答案为(1). (2). 【点睛】本题考查了二项式定理的展开式及其性质，考查了计算能力，属于基础题14.已知袋子中有大小相同的红球1个，黑球2个，从中任取2个设表示取到红球的个数，则_，_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】从袋中3个球中任取2个球，共有种取法，则其中的可能取值为0、1，利用古典概型的概率计算公式即可得出相应的概率，再由期望方差公式运算结果【详解】从袋中3个球中任取2个球，共有种取法，则其中的可能取值为0、1，且服从超几何分布，P（=0）=，P（=1）=0，=故答案为(1). (2). 【点睛】本题考查超几何分布概率公式的应用，关键是理解表示方法：如在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有M件次品，抽检n件时所得次品数X=k，XH（n，M，N），则P（X=k）=15.化简_【答案】【解析】【分析】将通分，进行恒等变换，计算结果.【详解】=-4，故答案为-4.【点睛】本题考查三角恒等变换，运用了二倍角公式及两角和差的正余弦公式，属于基本题.16.如图，已知分别是正方形的边的中点，现将正方形沿折成的二面角，则异面直线与所成角的余弦值是_【答案】【解析】【分析】设正方形ABCD的边长为2，则我们可以求出BDF中，DF，BF，BD的长，由于DFB即为异面直线FB与AE所成角，利用余弦定理，解三角形DFB即可得到答案【详解】如图所示：连接BD，AEDFDFB即为异面直线FB与AE所成角.由题意可知，DFC，所以三角形DFC为等边三角形，所以DC=DF=FC.设正方形ABCD的边长为2，则在BDF中，DF=1，BF=，BDcosDFB=故答案为：【点睛】本题考查异面直线及其所成的角，其中利用平移的方法，求出异面直线FB与AE所成角的平面角是解答本题的关键17.如图，已知,分别是椭圆的左，右焦点， 是椭圆上轴上方的三点，且（为坐标原点），则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】延长交椭圆于D,有对称性可知当CD垂直于x轴时，比值最小，当倾斜角为0时比值最大，但取不到【详解】延长交椭圆于D,有对称性可知当CD垂直于x轴时，最小，此时，当倾斜角为0时比值最大，此时=2，但取不到故答案为.【点睛】本题考查椭圆的对称性的运用，考查小题小做的技巧，是中档题三、解答题：本大题共5小题，满分74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在中，角的对边分别为 .（1）求的值； （2）求的面积.【答案】(1)(2)【解析】试题分析：(1)由可求得，借助于诱导公式可得到，借助于两角和的正弦公式可得其值；(2)由正弦定理可求得边，代入求得三角形面积试题解析：(1) （2）由得 考点：正弦定理解三角形；三角函数基本公式19.如图，三棱柱的各棱长均为2，侧面 底面，侧棱与底面所成的角为（）求直线与底面所成的角；（）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）。【解析】试题分析：（1）根据题意建立空间直角坐标系，然后表示平面的法向量和直线的斜向量，进而利用向量的夹角公式得到线面角的求解。（2）假设存在点满足题意，然后利用向量的垂直关系，得到点的坐标。解：（1）作于，侧面 平面，则,又底面的法向量4分设直线与底面所成的角为，则,所以，直线与底面所成的角为 6分（2）设在线段上存在点，设=，,则7分设平面的法向量令9分设平面的法向量令10分要使平面平面，则12分考点：本题主要是考查线面角的求解，以及面面垂直的探索性命题的运用。点评：解决该试题的关键是合理的建立空间直角坐标系，正确的表示点的坐标，得到平面的法向量和斜向量，进而结合数量积的知识来证明垂直和求解角的问题。20.已知数列满足，（）（）证明数列为等差数列，并求的通项公式；（）设数列的前项和为，若数列满足，且对任意的恒成立，求的最小值【答案】（）证明见解析，；（）.【解析】【分析】（）通过对（n+1）an+1（n+2）an=2变形、裂项可知=2（），进而利用累加法、并项相加，计算即得结论；（）通过（I）可知bn=n，通过令f（x）=x，求导可知函数f（x）先增后减，进而计算可得结论【详解】（n+1）an+1（n+2）an=2，=2（），又=1，当n2时，=+（）+（）+（）=1+2（+）=，又=1满足上式，=，即an=2n，数列an是首项、公差均为2的等差数列；（）解：由（I）可知=n+1，bn=n=n，令f（x）=x，则f（x）=+xln，令f（x）=0，即1+xln=0，解得：x04.95，则f（x）在(0, x0)上单调递增，在(x0,+单调递减.0f（x）maxf（4），f（5），f（6），又b5=5=，b4=4=，b6=6=，M的最小值为【点睛】本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法、累加法的逆用等基础知识，考查利用导数研究函数的单调性，注意解题方法的积累，属于中档题21.如图，已知直线分别与抛物线交于点，与轴的正半轴分别交于点，且，直线方程为（）设直线，的斜率分别为，求证：；（）求的取值范围【答案】（）见解析；（）.【解析】【分析】（）联立，解得且知，由题意可设， ，利用斜率公式直接带入即可得证.（）设A点到PB的距离为，C点到PB的距离为由题意得，利用点到直线的距离代入求的解析式，有反比例函数图象得范围.【详解】（）联立，解得，由图象可知， 易知，由题意可设， （），, , 故 （）由（）得， 联立，得:，同理，得 设A点到PB的距离为，C点到PB的距离为， ， 因为 ，所以 的取值范围是【点睛】题考查了直线与抛物线相交转化为方程联立，可得交点的坐标，利用了斜率计算公式、点到直线间的距离公式、函数的单调性，属于难题22.设，已知函数（）求函数的单调区间； （）求函数在上的最小值；（）若, 求使方程有唯一解的的值【答案】（），则在上递增，则在在上递减，上递增，（）（）.【解析】【分析】（1）令大于0、