2019高考数学复习第四章基本初等函数Ⅱ（三角函数）4.3三角函数的最值与综合应用练习理.docx

4.3三角函数的最值与综合应用考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.三角函数的最值了解三角函数的最值(值域);理解三角函数取最值的条件理解2017课标全国,14;2017江苏,16;2015陕西,3选择题填空题解答题2.三角函数的图象和性质的综合应用结合三角函数的性质,会求形如函数y=Asin(x+)(A0,0)的综合问题掌握2015安徽,10;2014四川,16选择题填空题解答题分析解读1.求三角函数最值时,一般要进行一些代数变换和三角变换,要注意函数有意义的条件及正、余弦函数的有界性.2.借助辅助角公式将函数y=asin x+bcos x化为y=sin(x+)的形式,求最值是高考热点.3.本节在高考中分值为5分或12分,属于中低档题.五年高考考点一三角函数的最值1.(2016课标全国,12,5分)已知函数f(x)=sin(x+),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在单调,则的最大值为() A.11B.9C.7D.5答案B2.(2015陕西,3,5分)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为() A.5B.6C.8D.10答案C3.(2017课标全国,14,5分)函数f(x)=sin2x+cos x-的最大值是.答案14.(2017江苏,16,14分)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-),x0,.(1)若ab,求x的值;(2)记f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解析(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-),ab,所以-cos x=3sin x.若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x0.于是tan x=-.又x0,所以x=.(2)f(x)=ab=(cos x,sin x)(3,-)=3cos x-sin x=2cos.因为x0,所以x+,从而-1cos.于是,当x+=,即x=0时, f(x)取到最大值3;当x+=,即x=时, f(x)取到最小值-2.教师用书专用(58)5.(2015天津,15,13分)已知函数f(x)=sin2x-sin2,xR.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.解析(1)由已知,有f(x)=-=-cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin.所以, f(x)的最小正周期T=.(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数, f =-, f =-, f =.所以, f(x)在区间上的最大值为,最小值为-.6.(2015北京,15,13分)已知函数f(x)=sincos-sin2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间-,0上的最小值.解析(1)因为f(x)=sin x-(1-cos x)=sin-,所以f(x)的最小正周期为2.(2)因为-x0,所以-x+.当x+=-,即x=-时, f(x)取得最小值.所以f(x)在区间-,0上的最小值为f=-1-.7.(2013辽宁,17,12分)设向量a=(sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x.(1)若|a|=|b|,求x的值;(2)设函数f(x)=ab,求f(x)的最大值.解析(1)由|a|2=(sin x)2+(sin x)2=4sin2x,|b|2=(cos x)2+(sin x)2=1及|a|=|b|,得4sin2x=1.又x,从而sin x=,所以x=.(6分)(2)f(x)=ab=sin xcos x+sin2x=sin 2x-cos 2x+=sin+,当x=时,sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.(12分)8.(2013陕西,16,12分)已知向量a=,b=(sin x,cos 2x),xR,设函数f(x)=ab.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在上的最大值和最小值.解析f(x)=(sin x,cos 2x)=cos xsin x-cos 2x=sin 2x-cos 2x=cossin 2x-sincos 2x=sin.(1)f(x)的最小正周期为T=,即函数f(x)的最小正周期为.(2)0x,-2x-.由正弦函数的性质,当2x-=,即x=时, f(x)取得最大值1.当2x-=-,即x=0时, f(0)=-,当2x-=,即x=时, f=,f(x)的最小值为-.因此, f(x)在上的最大值是1,最小值是-.考点二三角函数的图象和性质的综合应用1.(2015安徽,10,5分)已知函数f(x)=Asin(x+)(A,均为正的常数)的最小正周期为,当x=时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是()A. f(2) f(-2) f(0)B. f(0) f(2) f(-2)C. f(-2) f(0) f(2)D. f(2) f(0) f(-2)答案A2.(2014安徽,11,5分)若将函数f(x)=sin的图象向右平移个单位,所得图象关于y轴对称,则的最小正值是.答案解析根据题意设g(x)=f(x-)=sin,则g(x)的图象关于y轴对称,g(0)=1,即sin=1,-2+=k+(kZ),=-(kZ).当k=-1时,的最小正值为.3.(2014四川,16,12分)已知函数f(x)=sin.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若是第二象限角, f=coscos 2,求cos -sin 的值.解析(1)因为函数y=sin x的单调递增区间为,kZ.由-+2k3x+2k,kZ,得-+x+,kZ.所以,函数f(x)的单调递增区间为,kZ.(2)由已知,有sin=cos(cos2-sin2),所以sin cos+cos sin=(cos2-sin2).即sin +cos =(cos -sin )2(sin +cos ).当sin +cos =0时,由是第二象限角,知=+2k,kZ.此时,cos -sin =-.当sin +cos 0时,有(cos -sin )2=.由是第二象限角,知cos -sin 0,此时cos -sin =-.综上所述,cos -sin =-或-.教师用书专用(48)4.(2013江西,10,5分)如图,半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1,l2之间,ll1,l与半圆相交于F,G两点,与三角形ABC两边相交于E,D两点.设弧的长为x(0x),y=EB+BC+CD,若l从l1平行移动到l2,则函数y=f(x)的图象大致是()答案D5.(2015福建,19,13分)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cos x的图象经如下变换得到:先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移个单位长度.(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程;(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在0,2)内有两个不同的解,.(i)求实数m的取值范围;(ii)证明:cos(-)=-1.解析(1)将g(x)=cos x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cos x的图象,再将y=2cos x的图象向右平移个单位长度后得到y=2cos的图象,故f(x)=2sin x.从而函数f(x)=2sin x图象的对称轴方程为x=k+(kZ).(2)(i)f(x)+g(x)=2sin x+cos x=sin(x+).依题意知,sin(x+)=在0,2)内有两个不同的解,当且仅当1,故m的取值范围是(-,).(ii)证法一:因为,是方程sin(x+)=m在0,2)内的两个不同的解,所以sin(+)=,sin(+)=.当1m时,+=2,即-=-2(+);当-m1时,+=2,即-=3-2(+),所以cos(-)=-cos2(+)=2sin2(+)-1=2-1=-1.证法二:因为,是方程sin(x+)=m在0,2)内的两个不同的解,所以sin(+)=,sin(+)=.当1m时,+=2,即+=-(+);当-m1时,+=2,即+=3-(+).所以cos(+)=-cos(+).于是cos(-)=cos(+)-(+)=cos(+)cos(+)+sin(+)sin(+)=-cos2(+)+sin(+)sin(+)=-+=-1.6.(2014湖北,17,11分)某实验室一天的温度(单位:)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-cost-sint,t0,24).(1)求实验室这一天的最大温差;(2)若要求实验室温度不高于11 ,则在哪段时间实验室需要降温?解析(1)f(t)=10-2=10-2sin,因为0t24,所以t+11时,实验室需要降温.由(1)得f(t)=10-2sin,故有10-2sin11,即sin-.又0t24,因此t+,即10t0.从而g()=1-cos =1-=1-=.(2)f(x)g(x)等价于sin x1-cos x,即sin x+cos x1.于是sin.从而2k+x+2k+,kZ,即2kx2k+,kZ.故使f(x)g(x)成立的x的取值集合为x2kx2k+,kZ.三年模拟A组20162018年模拟基础题组考点一三角函数的最值1.(2018云南玉溪模拟,6)当-x时,函数f(x)=sin(2+x)+cos(2-x)-sin的最大值和最小值分别是() A.,-B.,C.,-D.,-答案A2.(2017广东惠州第三次调研,8)函数y=cos 2x+2sin x的最大值为() A.B.1C.D.2答案C3.(2016河北衡水中学二调,15)函数y=sin x-cos x-sin xcos x的最大值为.答案+解析令sin x-cos x=t-,则t2=1-2sin xcos x,函数y=t-=t2+t-=(t+1)2-1,故当t=时,函数y取得最大值+.考点二三角函数的图象和性质的综合应用4.(2018广东五校联考,8)将曲线C1:y=sin上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2:y=g(x),则g(x)在-,0上的单调递增区间是()A.B.C.D.答案B5.(2017河南焦作二模,5)将函数y=cos图象上的点P向右平移m(m0)个单位长度后得到点P,若P在函数y=cos 2x的图象上,则()A.t=-,m的最小值为B.t=-,m的最小值为C.t=-,m的最小值为D.t=-,m的最小值为答案D6.(2017广东海珠上学期高三综合测试(一),12)已知函数f(x)=|cos x|sin x,给出下列四个说法:函数f(x)的周期为;若|f(x1)|=|f(x2)|,则x1=x2+k,kZ;f(x)在区间上单调递增;f(x)的图象关于点中心对称.其中正确说法的个数是()A.3B.2C.1D.0答案CB组20162018年模拟提升题组(满分:55分时间:50分钟)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018辽宁庄河高级中学、沈阳第二十中学第一次联考,6)已知函数f(x)=asin x+cos x(a为常数,xR)的图象关于直线x=对称,则函数g(x)=sin x+acos x的图象() A.关于点对称B.关于点对称C.关于直线x=对称D.关于直线x=对称答案C2.(2018河南洛阳尖子生第一次联考,11)已知函数f(x)=sin(sin x)+cos(sin x),xR,则下列说法正确的是()A.函数f(x)是周期函数,且最小正周期为B.函数f(x)是奇函数C.函数f(x)在区间上的值域为1,D.函数f(x)在上是增函数答案C3.(2017江西抚州七校联考,9)将函数f(x)=2sin的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数g(x)的图象.若g(x1)g(x2)=9,且x1,x2-2,2,则2x1-x2的最大值为() A.B.C.D.答案A4.(2016河南南阳期中,6)如图所示,M,N是函数y=2sin(x+)(0)的图象与x轴的交点,点P在M,N之间的函数图象上运动,若当MPN面积最大时,=0,则=()A.B.C.D.8答案A5.(人教A必4,一,1-6,例2,变式)函数f(x)=|sin x|+2|cos x|的值域为()A.1,B.1,2C.2,D.,3答案A二、填空题(共5分)6.(2018江苏盐城期中,10)设函数f(x)=Asin(x+)其中A,为常数且A0,0,-,f(x)的部分图象如图所示,若f()=,则f的值为.答案三、解答题(共25分)7.(2018湖北荆州一模,17)已知函数f(x)=2sin xcos x+2sin2x.(1)若f(x)=0,x,求x的值;(2)将函数f(x)的图象先向左平移个单位,再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,若函数y=h(x)与y=g(x)的图象关于直线x=对称,求函数h(x)在上的值域.解析f(x)=2sin xcos x+2sin2x=sin 2x+1-cos 2x=2sin+1.(1)由f(x)=0,得2sin+1=0,sin=-.2x-=-+2k或2x-=-+2k,kZ,x=k或x=-+k,kZ,又x,x=0或-或.(2)将函数f(x)的图象先向左平移个单位,可得函数图象的解析式为y=2sin+1=2sin+1=2cos 2x+1,再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数图象的解析式为g(x)=2cos x+1.函数y=h(x)与y=g(x)的图象关于直线x=对称,h(x)=g=2sin x+1.x,sin x.故函数h(x)的值域为(0,3.8.(2017湖北百所重点校高三联考,20)已知函数f(x)=sin-2sincos.(1)求函数f(x)的最小正周期T和单调递增区间;(2)若x,且F(x)=-4f(x)-cos的最小值是-,求实数的值.解析(1)f(x)=sin-2sincos=cos 2x+si