2018版高考数学复习第十章计数原理0.2排列与组合试题理北师大版.docx

第十章 计数原理 10.2 排列与组合试题 理 北师大版1排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组2.排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示3排列数、组合数的公式及性质公式(1)An(n1)(n2)(nm1)(2)C性质(1)0！1；An！(2)CC；CCC_【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列()(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序()(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同()(4)(n1)！n！nn！.()(5)AnA.()(6)kCnC.()1(2016四川)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A24 B48C60 D72答案D解析由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1,3,5；分为两步：先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有C种情况，再将剩下的4个数字排列得到A种情况，则满足条件的五位数有CA72(个)故选D.26把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A144 B120 C72 D24答案D解析“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A43224.3(教材改编)用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位数，其中偶数的个数为()A8 B24 C48 D120答案C解析末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，共有AA48(种)4某高三毕业班有40人，同学这间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了_条毕业留言(用数字作答)答案1 560解析依题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A40391 560(条)留言5某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有_种答案14解析分两类：有1名女生：CC8.有2名女生：CC6.不同的选派方案有8614(种)题型一排列问题例1(1)3名男生，4名女生，选其中5人排成一排，则有_种不同的排法(2)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有_种答案(1)2 520(2)216解析(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有A2 520(种)排法(2)当最左端排甲时，不同的排法共有A种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有CA种故不同的排法共有ACA12096216(种)引申探究1本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“排成前后两排，前排3人，后排4人”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？解前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A5 040(种)排法2本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，男、女各站在一起”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？解相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有A种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法根据乘法原理，共有AAA288(种)排法. 3本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，男生不能站在一起”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？解不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A种排法，男生在4个女生隔成的5个空中安排共有A种排法，故共有AA1 440(种)排法4本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，甲不站排头也不站排尾”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？解先安排甲，从除去排头和排尾的5个位置中安排甲，有A5(种)排法；再安排其他人，有A720(种)排法所以共有AA3 600(种)排法思维升华排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法. 由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数字的自然数求：(1)有多少个含2,3，但它们不相邻的五位数？(2)有多少个含数字1,2,3，且必须按由大到小顺序排列的六位数？解(1)先不考虑0是否在首位，0,1,4,5先排三个位置，则有A个，2,3去排四个空档，有A个，即有AA个；而0在首位时，有AA个，即有AAAA252(个)含有2,3，但它们不相邻的五位数(2)在六个位置先排0,4,5，先不考虑0是否在首位，则有A个，去掉0在首位，即有AA个，0,4,5三个元素排在六个位置上留下了三个空位，1,2,3必须由大到小进入相应位置，并不能自由排列，所以有AA100(个)六位数题型二组合问题例2(1)若从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法的种数是()A60 B63C65 D66(2)要从12人中选出5人去参加一项活动，A，B，C三人必须入选，则有_种不同选法答案(1)D(2)36解析(1)因为1,2,3，9中共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数或全为偶数或2个奇数和2个偶数，故有CCCC66(种)不同的取法(2)只需从A，B，C之外的9人中选择2人，即有C36(种)不同的选法引申探究1本例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人都不能入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？解由A，B，C三人都不能入选只需从余下9人中选择5人，即有CC126(种)不同的选法2本例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人只有一人入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？解可分两步，先从A，B，C三人中选出1人，有C种选法，再从余下的9人中选4人，有C种选法，所以共有CC378(种)不同的选法3本例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人至少一人入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？解可考虑间接法，从12人中选5人共有C种，再减去A，B，C三人都不入选的情况C种，共有CC666(种)不同的选法思维升华组合问题常有以下两类题型变化(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货现从35种商品中选取3种(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C561(种)，某一种假货必须在内的不同取法有561种(2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或者CCC5 984(种)某一种假货不能在内的不同取法有5 984种(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有CC2 100(种)恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种(4)选取2件假货有CC种，选取3件假货有C种，共有选取方式CCC2 1004552 555(种)至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种(5)选取3件的总数为C，因此共有选取方式CC6 5454556 090(种)至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种题型三排列与组合问题的综合应用命题点1相邻问题例3(2017济南调研)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A33! B3(3！)3C(3！)4 D9!答案C解析把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种坐法命题点2相间问题例4某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是_答案120解析先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”对于第一种情况，形式为“小品1歌舞1小品2相声”，有ACA36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“小品1相声小品2”，有AA48(种)安排方法根据加法原理，共有363648120(种)安排方法命题点3特殊元素(位置)问题例5(2016郑州检测)从1,2,3,4,5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有_个答案51解析分三类：第一类，没有2,3，由其他三个数字组成三位数，有A6(个)；第二类，只有2或3其中的一个，需从1,4,5中选两个数字组成三位数，有2CA36(个)；第三类，2,3均有，再从1,4,5中选一个，因为2需排在3的前面，所以可组成CA9(个)根据加法原理，这样的三位数共有51个思维升华排列与组合综合问题的常见类型及解题策略(1)相邻问题捆绑法在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列(2)相间问题插空法先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用(3)特殊元素(位置)优先安排法优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置(4)多元问题分类法将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后根据分类加法计数原理求出排列总数(1)(2016山西四校联考三)有5名优秀毕业生到母校的3个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为()A150 B180C200 D280(2)将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有()A150种 B114种C100种 D72种答案(1)A(2)C解析(1)分两类：一类，3个班分派的毕业生人数分别为2,2,1，则有A90(种)分派方法；另一类，3个班分派的毕业生人数分别为1,1,3，则有CA60(种)分派方法，所以不同分派方法种数为9060150，故选A.(2)先将五人分成三组，因为要求每组至少一人，所以可选择的只有2,2,1或者3,1,1，所以共有25(种)分组方法因为甲不能被保送到北大，所以有甲的那组只有上海交大和浙大两个选择，剩下的两组无限制，一共有4种方法，所以不同的保送方案共有254100(种)14排列、组合问题典例有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有_种错解展示解析先从一等品中取1个，有C种取法；再从余下的19个零件中任取2个，有C种不同取法，共有CC2 736(种)不同取法答案2 736现场纠错解析方法一将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”，根据加法原理，有CCCCC1 136(种)方法二考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法：CC1 136(种)答案1 136纠错心得(1)解排列、组合问题的基本原则：特殊优先，先分组再分解，先取后排；较复杂问题可采用间接法，转化为求它的对立事件(2)解题时要细心、周全，做到不重不漏1两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为()A48 B36 C24 D12答案C解析(捆绑法)爸爸排法有A种，两个小孩排在一起故看成一体，有A种排法，妈妈和孩子共有A种排法，排法种数共有AAA24(种)故选C.2(2016黄山月考)某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为()A16 B18 C24 D32答案C解析将四个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在三个车位上任意排列，有A6(种)排法，再将捆绑在一起的四个车位插入4个空档中，有4种方法，故共有4624(种)方法3在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有()A34种 B48种C96种 D144种答案C解析程序A有A2(种)结果，将程序B和C看作一个元素与除A外的3个元素排列有AA48(种)，根据乘法原理，实验编排共有24896(种)方法4将A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，这样的排列数有()A12种 B20种C40种 D60种答案C解析(消序法)五个元素没有限制全排列为A，由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，故除以这三个元素的全排列A，可得240(种)5(2017长沙质检)某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为()AAC B.ACCAA D2A答案B解析方法一将4人平均分成两组有C种方法，将此两组分配到6个班级中的2个班有A种所以不同的安排方法有CA种方法二先从6个班级中选2个班级有C26种不同方法，然后安排学生有CC种，故CCAC种6(2017汉中质检)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60的共有()A24对 B30对C48对 D60对答案C解析正方体中共有12条面对角线，任取两条作为一对共有C66(对)，12条对角线中的两条所构成的关系有平行、垂直、成60角相对两面上的4条对角线组成的C6(对)组合中，平行有2对，垂直有4对，所以所有的平行和垂直共有3C18(对)所以成60角的有C3C661848(对)7(2016北京西城区期末)现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有_种(用数字作答)答案54解析第一类，把甲、乙看作一个复合元素，另外3人分成两组，再分配到3个小组中，有CA18(种)；第二类，先把另外的3人分配到3个小组，再把甲、乙分配到其中2个小组，有AA36(种)根据加法原理，共有361854(种)不同的带队方案8(2017福州质检)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_种(用数字作答)答案60解析分两类：第一类：3张中奖奖券分给3个人，共A种分法；第二类：3张中奖奖券分给2个人相当于把3张中奖奖券分两组再分给4人中的2人，共有CA种分法总获奖情况共有ACA60(种)9把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_种答案36解析先考虑产品A与B相邻，把A，B作为一个元素有A种方法，而A，B可交换位置，所以有2A48(种)摆法，又当A，B相邻且又满足A，C相邻，有2A12(种)摆法，故满足条件的摆法有481236(种)10若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有_种答案11解析把g、o、o、d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A种排法；第二步：排两个o，共一种排法所以总的排法种数为A12，其中正确的有一种，所以错误的共有A112111(种)11将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有_种(用数字作答)答案480解析从左往右看，若C排在第1位，共有A120(种)排法；若C排在第2位，A和B有C右边的4个位置可以选，共有AA72(种)排法；若C排在第3位，则A，B可排C的左侧或右侧，共有AAAA48(种)排法；若C排在第4,5,6位时，其排法数与排在第3,2,1位相同，故共有2(1207248)480(种)排法122016年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10 000个号码中选择公司规定：凡卡号的后四位恰带有两个数字“6”或恰带有两个数字“8”的一律作为“金猴卡”，享受一定优惠政策如后四位数为“2663”，“8685”为“金猴卡”，求这组号码中“金猴卡”的张数解当后四位数恰有2个6时，“金猴卡”共有C99486(张)；当后四位数恰有2个8时，“金猴卡”也共有C