2019版高考数学第9章平面解析几何7第7讲抛物线教案理.docx

第7讲抛物线1抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上2抛物线的标准方程和几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0，0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0)|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y03.与焦点弦有关的常用结论(以右图为依据)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)y1y2p2，x1x2.(2)|AB|x1x2p(为AB的倾斜角)(3)为定值.(4)以AB为直径的圆与准线相切(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切()(3)若一抛物线过点P(2，3)，则其标准方程可写为y22px(p0)()(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形()答案：(1)(2)(3)(4) (教材习题改编)抛物线yx2的焦点坐标是()A(0，1)B(0，1)C(1，0)D(1，0)解析：选A.抛物线yx2的标准方程为x24y，开口向下，p2，1，故焦点为(0，1) 顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(4，2)的抛物线的标准方程是()Ay2xBx28yCy28x或x2yDy2x或x28y解析：选D.设抛物线为y2mx，代入点P(4，2)，解得m1，则抛物线方程为y2x；设抛物线为x2ny，代入点P(4，2)，解得n8，则抛物线方程为x28y. (教材习题改编)焦点在直线2xy20上的抛物线的标准方程为_解析：抛物线的标准方程的焦点都在坐标轴上，直线2xy20与坐标轴的交点分别为(1，0)与(0，2)，故所求的抛物线的焦点为(1，0)或(0，2)，当焦点为(1，0)时，易得抛物线标准方程为y24x.当焦点为(0，2)时，易得抛物线标准方程为x28y.答案：y24x或x28y 设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是_解析：如图所示，抛物线的准线l的方程为x2，F是抛物线的焦点，过点P作PAy轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|2，由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|426，所以点P到焦点的距离|PF|PB|6.答案：6抛物线的定义(高频考点)抛物线的定义是高考的热点，考查时多以选择题、填空题形式出现，个别高考题有一定难度高考对该内容的考查主要有以下三个命题角度：(1)求抛物线的标准方程；(2)求抛物线上的点与焦点的距离；(3)求距离和的最值 典例引领 角度一求抛物线的标准方程 (2018天津模拟)已知动圆过定点F，且与直线x相切，其中p0，则动圆圆心的轨迹E的方程为_【解析】依题意得，圆心到定点F的距离与到直线x的距离相等，再依抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹E为抛物线，其方程为y22px.【答案】y22px角度二求抛物线上的点与焦点的距离 (2017高考全国卷)已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|_【解析】法一：依题意，抛物线C：y28x的焦点F(2，0)，准线x2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M(a，b)(b0)，所以a1，b2，所以N(0，4)，|FN|6.法二：依题意，抛物线C：y28x的焦点F(2，0)，准线x2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，则点M的横坐标为1，所以|MF|1(2)3，|FN|2|MF|6.【答案】6角度三求距离和的最值 已知抛物线y24x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点B(3，2)，则|PB|PF|的最小值为_【解析】如图，过点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|P1F|，则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4.即|PB|PF|的最小值为4.【答案】4若本例中的B点坐标改为(3，4)，试求|PB|PF|的最小值解：由题意可知点(3，4)在抛物线的外部因为|PB|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，所以|PB|PF|BF|2.即|PB|PF|的最小值为2.抛物线定义的应用(1)利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|x|或|PF|y|. 通关练习1已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则x0()A1B2C4D8解析：选A.由题意知抛物线的准线为x.因为|AF|x0，根据抛物线的定义可得x0|AF|x0，解得x01.2已知动点P的坐标(x，y)满足方程5|3x4y12|，则点P的轨迹是()A圆B椭圆C双曲线D抛物线解析：选D.由5|3x4y12|，所以动点P到定点(1，2)的距离等于其到直线l：3x4y120的距离，所以点P的轨迹是抛物线3已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，且|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.B1C.D.解析：选C.如图所示，设抛物线的准线为l，AB的中点为M，作AA1l于A1，BB1l于B1，MM1l于M1，由抛物线的定义知p，|AA1|BB1|AF|BF|3，则点M到y轴的距离为|MM1|(|AA1|BB1|).故选C.抛物线的性质 典例引领 (1)(2016高考全国卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A2B4C6D8(2)(2018东北四市模拟)若点P为抛物线y2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()A2B.C.D.【解析】(1)由题意，不妨设抛物线方程为y22px(p0)，由|AB|4，|DE|2，可取A，D，设O为坐标原点，由|OA|OD|，得85，得p4，所以选B.(2)由题意知x2y，则F，设P(x0，2x)，则|PF|2x，所以当x0时，|PF|min.【答案】(1)B(2)D抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质以形助数 通关练习1(2018河南中原名校联考)抛物线y22px(p0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|4|OF|，MFO的面积为4，则抛物线的方程为()Ay26xBy28xCy216xDy2解析：选B.设M(x，y)，因为|OF|，|MF|4|OF|，所以|MF|2p，由抛物线定义知x2p，所以xp，所以yp，又MFO的面积为4，所以p4，解得p4(p4舍去)所以抛物线的方程为y28x.2.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m当水面宽为2 m时，水位下降了_ m.解析：以抛物线的顶点为坐标原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为x22py(p0)，把(2，2)代入方程得p1，即抛物线的标准方程为x22y.将x代入x22y得：y3，又3(2)1，所以水面下降了1 m.答案：1直线与抛物线的位置关系 典例引领 (2016高考全国卷)在直角坐标系xOy中，直线l：yt(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y22px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由【解】(1)由已知得M(0，t)，P.又N为M关于点P的对称点，故N，ON的方程为yx，代入y22px，整理得px22t2x0，解得x10，x2.因此H.所以N为OH的中点，即2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点理由如下：直线MH的方程为ytx，即x(yt)代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其他公共点直线与抛物线位置关系的判断直线ykxm(m0)与抛物线y22px(p0)联立方程组，消去y，得到k2x22(mkp)xm20的形式当k0时，直线和抛物线相交，且与抛物线的对称轴平行，此时与抛物线只有一个交点；当k0时，设其判别式为，(1)相交：0直线与抛物线有两个交点；(2)相切；0直线与抛物线有一个交点；(3)相离：0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：GF为AGB的平分线解：(1)由抛物线定义可得|AF|23，解得p2.所以抛物线E的方程为y24x.(2)证明：因为点A(2，m)在抛物线E上，所以m242，解得m2，即A(2，2)，又F(1，0)，所以直线AF的方程为y2(x1)，由得2x25x20，解得x2或，所以B.又G(1，0)，所以kGA，kGB，所以kGAkGB0，所以AGFBGF，所以GF为AGB的平分线 抛物线定义的实质可归结为“一动三定”；一个动点M，一个定点F(抛物线的焦点)，一条定直线l(抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率) 抛物线最值问题的求法(1)求抛物线上一点到定直线的最小距离，可以利用点到直线的距离公式表示出所求的距离，再利用函数求最值的方法求解，亦可转化为抛物线过某点的切线与定直线平行时，两直线间的距离问题(2)求抛物线上一点到定点的最值问题，可以利用两点间的距离公式表示出所求距离，在利用函数求最值的方法求解时，要注意抛物线上点的设法及变量的取值范围 易错防范(1)区分yax2(a0)与y22px(p0)，前者不是抛物线的标准方程(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2mx或x2my(m0) 1已知点A(2，3)在抛物线C：y22px(p0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()AB1CD解析：选C.由已知，得准线方程为x2，所以F的坐标为(2，0)又A(2，3)，所以直线AF的斜率为k.2若点A，B在抛物线y22px(p0)上，O是坐标原点，若正三角形OAB的面积为4，则该抛物线方程是()Ay2xBy2xCy22xDy2x解析：选A.根据对称性，ABx轴，由于正三角形的面积是4，故AB24，故AB4，正三角形的高为2，故可以设点A的坐标为(2，2)，代入抛物线方程得44p，解得p，故所求的抛物线方程为y2x.故选A.3(2018皖北协作区联考)已知抛物线C：x22py(p0)，若直线y2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线C的方程为()Ax28yBx24yCx22yDx2y解析：选C.由得或即两交点坐标为(0，0)和(4p，8p)，则4，得p1(舍去负值)，故抛物线C的方程为x22y.4(2018湖南省五市十校联考)已知抛物线y22x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为54，且|AF|2，则点A到原点的距离为()A.B2C4D8解析：选B.令点A到点F的距离为5a，点A到x轴的距离为4a，则点A的坐标为，代入y22x中，解得a或a(舍)，此时A(2，2)，故点A到原点的距离为2.5(2018太原模拟)已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点若4，则|QF|等于()A.B.C3D2解析：选C.因为4，所以|4|，所以.如图，过Q作QQl，垂足为Q，设l与x轴的交点为A，则|AF|4，所以，所以|QQ|3，根据抛物线定义可知|QQ|QF|3.6(2018云南大理州模拟)在直角坐标系xOy中，有一定点M(1，2)，若线段OM的垂直平分线过抛物线x22py(p0)的焦点，则该抛物线的准线方程是_解析：依题意可得线段OM的垂直平分线的方程为2x4y50，把焦点坐标代入可求得p，所以准线方程为y.答案：y7(2018河北六校模拟)抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36，则抛物线的方程为_解析：设满足题意的圆的圆心为M.根据题意可知圆心M在抛物线上，又因为圆的面积为36，所以圆的半径为6，则|MF|xM6，即xM6，又由题意可知xM，所以6，解得p8.所以抛物线方程为y216x.答案：y216x8已知抛物线C1：yx2(p0)的焦点与双曲线C2：y21的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p_解析：抛物线的焦点坐标为，双曲线的右焦点坐标为(2，0)，所以上述两点连线的方程为1.双曲线的渐近线方程为yx.对函数yx2，yx.设M(x0，y0)，则x0，即x0p，代入抛物线方程得y0p，由于点M在直线1上，所以p1，解得p.答案：9顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y2x4所得的弦长|AB|3，求此抛物线方程解：设所求的抛物线方程为y2ax(a0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直线y2x4代入y2ax，得4x2(a16)x160，由(a16)22560，得a0或a0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标解：(1)抛物线y22px的准线为x，于是45，所以p2.所以抛物线方程为y24x.(2)因为点A的坐标是(4，4)，由题意得B(0，4)，M(0，2)又因为F(1，0)，所以kFA，因为MNFA，所以kMN.又FA的方程为y(x1)，MN的方程为y2x，联立，解得x，y，所以点N的坐标为.1(2018甘肃兰州模拟)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y22px(p0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A.B.C.D1解析：选C.由题意得F，设P，显然当y00时，kOM0时，kOM0.要求kOM的最大值，则y00，则()，所以kOM，当且仅当y2p2时，取得等号2(2018福建省普通高中质量检查)过抛物线y24x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，且A，C位于x轴同侧，若|AC|2|AF|，则|BF|等于()A2B3C4D5解析：选C.设抛物线的准线与x轴交于点D，则由题意，知F(1，0)，D(1，0)，分别作AA1，BB1垂直于抛物线的准线，垂足分别为A1，B1，则有，所以|AA1|，故|AF|.又，即，亦即，解得|BF|4，故选C.3(2017高考北京卷)已知抛物线C：y22px过点P(1，1)过点(0，)作直线l与抛物线C交于不同