2019年高中数学第8章统计与概率8.2概率8.2.1概率的加法公式讲义（含解析）湘教版.docx

82.1概率的加法公式读教材填要点1随机对照试验随机选取试验组和对照组是安排试验的基本原则，随机对照试验是指随机选取试验组和对照组的试验我们把对照组中的处理方法称为使用安慰剂2概率的加法公式如果的事件A1，A2，Am两两互斥，则P(A1A2Am)P(A1)P(A2)P(Am)我们把概率的加法公式称为概率的可加性，可加的前提是事件两两互斥小问题大思维1概率的可加性的前提是事件两两互斥，互斥与对立有什么异同？提示：对立事件是互斥事件的一种特殊情况，互斥不一定对立，对立一定互斥当计算事件A的概率P(A)比较复杂，困难时，常用公式P(A)1P()求解2必修五古典概型中我们就接触过概率的加法公式P(AB)P(A)P(B)，与本节的概率加法公式有什么区别和联系？提示：本节的概率加法公式是必修五概率加法公式的一个推广，它们有共同的前提是事件两两互斥；但必修五中概率加法公式每个基本事件发生的可能相同，本节所述的事件发生的概率可以不相同，但事件间必须互斥互斥事件的概率例1(1)由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：排队人数012345人及以上概率0.110.160.30.290.10.04则至多2人排队的概率为()A0.3B0.43C0.57 D0.27(2)围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是()A. B. C. D1解析(1)记“没有人排队”为事件A，“1人排队”为事件B，“2人排队”为事件C，A，B，C彼此互斥记“至多2人排队”为事件E.则P(E)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.110.160.30.57.(2)设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则CAB，且事件A与B互斥所以P(C)P(A)P(B).即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.答案(1)C(2)C运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆成几个互斥事件，但应考虑周全，不重不漏1某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率解：(1)P(A)，P(B)，P(C).故事件A，B，C的概率分别为，.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖设“1张奖券中奖”这个事件为M，则MABC.A，B，C两两互斥，P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(C)，故1张奖券的中奖概率约为.对立事件的概率例2一名射手在某次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在这次射击中：(1)射中10环或7环的概率；(2)射中的环数低于7环的概率解(1)设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B，由于在这次射击中，事件A与事件B不可能同时发生，故事件A与事件B是互斥事件，“射中10环或7环”的事件为AB.P(AB)P(A)P(B)0.210.280.49.射中10环或7环的概率为0.49.(2)“低于7环”从正面考虑有以下几种情况：射中6环，5环，4环，3环，2环，1环，0环但由于这些概率都未知，故不能直接求解可考虑从反面入手“低于7环”的反面是“大于或等于7环”，即7环，8环，9环，10环，由于这两个事件必有一个发生，故是对立事件，故可用对立事件的方法处理设“低于7环”为事件E，则事件为“射中7环或8环或9环或10环”由(1)知“射中7环”“射中8环”“射中9环”“射中10环”彼此互斥故P()0.210.230.250.280.97，从而P(E)1P()10.970.03.射中的环数低于7环的概率为0.03.解决此类问题的规律是：(1)必须分清事件A、B是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式；所求事件必须是几个互斥事件的和满足以上两点才能用P(AB)P(A)P(B)(2)当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时，可先转化为求其对立事件的概率2某单位36人的血型类别是：A型12人，B型10人，AB型8人，O型6人现从这36人中任选2人，求此2人血型不同的概率解：这2人血型不同的情况有：1人A型1人B型；1人A型1人AB型；1人A型1人O型；1人B型1人AB型；1人B型1人O型；1人AB型1人O型共6种情况，而其反面是血型相同，只有4种情况法一：从36人中任选2人，共有C种选法，2人血型不同的概率为：P.法二：由于“2人血型不同”与“2人血型相同”为对立事件，因而2人血型不同的概率为：P11.解题高手妙解题随机抽取的9个同学中，至少有2个同学在同一月份出生的概率是_(默认每个月的天数相同，结果精确到0.001)尝试 巧思每个同学的生日月份都有12种可能，故9人的生日月份共有129个至少有2个人的生日在同一月份，若正面求解则分类情况复杂，故可化为求其对立事件的概率其对立事件为“所有人的出生月份都不同”有A种可能妙解总事件数为129个，至少两人在同一月份出生的对立事件是“所有人出生月份均不相同”，则其概率为110.01550.98450.985.答案：0.9851有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向事件“甲向南”与事件“乙向南”是()A互斥但非对立事件B对立事件C相互独立事件 D以上都不对解析：选A由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件2在所有的两位数(1099)中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是()A. B.C. D.解析：选C共90个数字，被2或3整除的数有45301560，故概率为.3从5张500元，3张800元，2张1 200元演唱会的门票中任取3张则所取3张中至少有2张价格相同的概率为()A. B.C. D.解析：选C3张中没有价格相同的取法有CCC30，则3张中至少有2张相同的概率为1.4从一批乒乓球产品中任选一个，如果其重量小于2.45 g的概率是0.22，重量不小于2.50 g的概率是0.20，那么重量在2.45 g2.50 g范围内的概率是_解析：重量在2.45 g2.50 g范围内的概率是10.220.200.58.答案：0.585同时抛掷两个均匀的正方体玩具(各个面上分别标以数1,2,3,4,5,6)，则向上的一面数之积为偶数的概率为_解析：向上的一面数之积为奇数，当且仅当两个正方体向上的一面的数都为奇数，其可能出现的结果数为CC，因此向上的一面数之积为奇数的概率P，从而向上的一面数之积为偶数的概率为：1P1.答案：6银行部门收费项目多，手续繁琐，营业网点少等是人们比较关心的问题，银行部门虽增加了部分自助存取款功能的ATM机，也简化了部分手续，但仍没有彻底扭转这种局面经统计，在某银行营业大厅排队办理业务的人数及其概率如下：排队人数010人1120人2130人3140人41人以上概率0.120.270.300.230.08计算：(1)至多20人排队的概率；(2)至少11人但不超过40人排队的概率解：记“有010人排队”、“有1120人排队”、“有2130人排队”、“有3140人排队”、“至多20人排队”、“至少11人但不超过40人排队”的事件分别为A，B，C，D，E，F，则A与B是互斥事件，事件B，C，D两两互斥，从而(1)P(E)P(AB)P(A)P(B)0.120.270.39；(2)P(F)P(BCD)P(B)P(C)P(D)0.270.300.230.80.一、选择题1一箱产品中有正品4件、次品3件，从中任取2件，其中事件：恰有1件次品和恰有2件次品；至少有1件次品和全是次品；至少有1件正品和至少有1件次品；至少有1件次品和全是正品4组事件中是互斥事件的有()A1组B2组C3组 D4组解析：选B对于，恰有1件次品就是1件正品1件次品，与恰有2件都是次品显然互斥；对于，至少有1件次品包括有1件次品和2件全是次品，两事件不互斥；对于，至少有1件正品包括恰有1件正品和1件次品以及2件都是正品， 与至少有1件次品显然不互斥；对于，至少有1件次品包括恰有1件次品和2件全是次品，与全是正品显然互斥故是互斥事件的是、.2某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对产品抽查一件抽得正品的概率为()A0.09 B0.98C0.97 D0.96解析：选D10.030.010.96.3甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为()A60% B30%C10% D50%解析：选D“甲不输”事件是事件“甲获胜”和“甲、乙两人下成和棋”的和事件，又事件“甲获胜”和“甲、乙两人下成和棋”互斥所以甲、乙两人下成和棋的概率为90%40%50%.4从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为()A. B.C. D.解析：选D既有男同学又有女同学的对立事件为全为男同学或女同学，全为男同学的概率为，全为女同学的概率，故所求事件概率为1.二、填空题5在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的命题序号是_AB与C是互斥事件，也是对立事件BC与D是互斥事件，也是对立事件AC与BD是互斥事件，但不是对立事件A与BCD是互斥事件，也是对立事件解析：由于A，B，C，D彼此互斥，且ABCD是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的韦恩图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件答案：6已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为_，_.解析：断头不超过两次的概率P10.80.120.050.97.于是，断头超过两次的概率P21P110.970.03.答案：0.970.037一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则取得两个同颜色的球的概率为_；至少取得一个红球的概率为_解析：由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P.由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P(A)1P(B)1.答案：8若A，B互为对立事件，其概率分别为P(A)，P(B)，则xy的最小值为_解析：由题意，x0，y0，1.则xy(xy)59，当且仅当x2y时等号成立，故xy的最小值为9.答案：9三、解答题9近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；(2)试估计生活垃圾投放错误的概率解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为.(2)设生活垃圾投放错误为事件A，则事件表示生活垃圾投放正确事件的概率约为“厨