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文档简介
1. 标量和矢量,矢量的大小或模:,矢量的单位矢量:,标量:任一代数量,只用大小描述的物理量。电压、电流、电荷是标量。,矢量的代数表示:,1.1 矢量代数,矢量:一个既有大小又有方向特性的物理量,常用 黑体字母或带箭头的字母表示。电场磁场是矢量。,矢量的几何表示:一个矢量可用一条有方向的线段来表示,注意:单位矢量不一定是常矢量。,常矢量:大小和方向均不变的矢量。,位置矢量:,场矢量用坐标分量表示,变矢量:大小或方向会改变的矢量。,(1)矢量的加减法,两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线。,2. 矢量的代数运算,结合律,交换律,(2)标量乘矢量,(3)矢量的标积(点积),(4)矢量的矢积(叉积),若 ,则,若 ,则,(5)矢量的混合运算, 分配律, 分配律, 标量三重积, 矢量三重积,(1.1.7),(1.1.11),(1.1.12),(1.1.13),(1.1.12),球坐标系,圆柱坐标系,1.2 三种常用的正交曲线坐标系,作业:1.8,1.22计算沿逆时针圆周的线积分,三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。,在电磁场与波理论中,三种常用的正交曲线坐标系为:直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。,三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系,称为正交曲线坐标系;三条正交曲线称为坐标轴;描述坐标轴的量称为坐标变量。,1637年,笛卡尔(法国,15961650)发表了几何学,创立了直角坐标系,为后来牛顿、莱布尼兹发现微积分,为一大批数学家的新发现开辟了道路。,x,y,z,o,dz,dx,dy,1.2.1 直角坐标系,坐标变量,坐标单位矢量,位置矢量,线元矢量,牛顿(1643-1727)英国 莱布尼茨(1646-1716)德国,【例1】:求xoy面上圆心在坐标原点半径为a沿着逆时针方向的的圆周曲线的线元矢量。,的方向指向有向曲线的切线方向,x,y,x,y,z,直角坐标系的长度元、面积元、体积元,o,dz,dx,dy,线元矢量,dsx,dsy,dsz,面元,体积元,坐标曲面:,x=C1,y=C2,z=C3,dsx,dsy,dsz,dx,dy,dz,1.2.3 圆柱坐标系,坐标变量,坐标单位矢量,P(,z),z,曲面: =Const圆柱面,坐标曲面,曲面: =Const半平面,z曲面: z =Const平面,1.2.3 圆柱坐标系,坐标单位矢量,坐标曲线,曲线:,曲面与z 曲面的交线,曲面与z曲面的交线,z曲线:,曲面与曲面的交线,单位切向矢量,曲线:,右手螺旋,P,z,互相垂直,圆柱坐标系下的场矢量,P,z,圆柱坐标系与直角坐标系的变换关系,右手螺旋,P,z,圆柱坐标系的微分 (拉梅系数、线元、面元、体积元),位置矢量,线元矢量,x,y,z,线元矢量,x,y,z,线元矢量,体积元,面元,拉梅系数,圆柱坐标系的微分 (拉梅系数、线元、面元、体积元),a,例2:对半径为a高度为h的圆柱表面积分,例1:求半径为a高度为h的圆柱侧面的面积。,例3:xoy面上圆心在坐标原点半径为a沿着逆时针方向的的圆周曲线的线元矢量。,x,y,例4: 沿着xoy面上以原点为圆 心半径为a的的逆时针圆周的第二型曲线积分。,x,y,1.2.3 球坐标系,坐标变量,坐标单位矢量, =C半平面,曲线:, 曲面与 曲面的交线,曲面与r曲面的交线,曲线:,r曲面与曲面的交线,r曲线:,互相垂直成右手螺旋,P,r,sin ,cos,球坐标系与直角坐标系的变换关系,/2+,位置矢量,线元矢量,拉梅系数:,体积元,面元矢量,线元矢量,球坐标系场矢量,例:坐标原点处有以带电量为q的点电荷,它产生的电场为 ,一
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