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向量在平面几何中解题的应用,一、向量有关知识复习,(1)向量共线的充要条件:,与 共线,(2)向量垂直的充要条件:,(3)两向量相等充要条件:,且方向相同。,二、应用向量知识证明平面几何有关定理,例一、证明直径所对的圆周角是直角,分析:要证ACB=90,只须证向 量 ,即 。,解:设 则 , 由此可得:,即 ,ACB=90,思考:能否用向量坐标形式证明?,二、应用向量知识证明平面几何有关定理,例二、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和,已知:平行四边形ABCD。 求证:,解:设 ,则,分析:因为平行四边形对边平行且相 等,故设 其它线段对应向 量用它们表示。,三、应用向量知识证明三线共点、三点共线,例一、已知:如图AD、BE、CF是ABC三条高 求证:AD、BE、CF交于一点,H,只须证,由此可设,如何证 ?,利用ADBC,BECA,对应向量垂直。,解:设AD与BE交于H,,即高CF与CH重合,CF过点H,AD、BE、CF交于一点。,三、应用向量知识证明三线共点、三点共线,例一、已知:如图AD、BE、CF是ABC三条高 求证:AD、BE、CF交于一点,分析:如图建立坐标系,,设A(0,a) B(b,0) C(c,0),只要求出点H、F的坐标, 就可求出 、 的坐 标进而确定两向量共线,即三点共线。,再设H(0,m) F(x,y),由A、B、F共线;CFAB对应向量共线及垂直解得:,可得:,可得:,即 而CF、CH有公共点C,所以 C、H、F共线,即 AD、BE、CF交于一点,三、应用向量知识证明三线共点、三点共线,例二、如图已知ABC两边AB、AC的中点分别为M、N, 在BN延长线上取点P,使NP=BN,在CM延长线上取点Q, 使MQ=CM。求证:P、A、Q三点共线,解:设,则,由此可得,即 故有 ,且它们有 公共点A,所以P、A、Q三点共线,四、应用向量知识证明等式、求值,例一、如图ABCD是正方形M是BC的中点,将正方形折起, 使点A与M重合,设折痕为EF,若正方形面积为64, 求AEM的面积,四、应用向量知识证明等式、求值,例一、如图ABCD是正方形M是BC的中点,将正方形折起, 使点A与M重合,设折痕为EF,若正方形面积为64, 求AEM的面积,解:如图建立坐标系,设E(e,0),由 正方形面积为64,可得边长为8 由题意可得M(8,4),N是AM的 中点,故N(4,2),=(4,2)-(e,0)=(4-e,1),解得:e=5 即AE=5,四、应用向量知识证明等式、求值,例二、PQ过OAB的重心G,且OP=mOA,OQ=nOB 求证:,分析:由题意OP=mOA,OQ=nOB, 联想线段的定比分点,利 用向量坐标知识进行求解。,由PO=mOA, QO=nOB可知:,O分 的比为 ,O分 的比为,由此可设 由向量定比分点公式,可求 P、Q的坐标,而G为重心,其坐标也可求出,进而 由向量 ,得到 m n 的关系。,-m -n,? ?,四、应用向量知识证明等式、求值,例二、PQ过OAB的重心G,且OP=mOA,OQ=nOB 求证:,证:如图建立坐标系, 设,所以重心G的坐标为,求得,由向量 可得:,化简得:,例3 如图, ABCD中,点E、F分别是AD 、 DC边的中点,BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点,你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗?,猜想: AR=RT=TC,解:设 则,由于 与 共线,故设,又因为 共线, 所以设,因为 所以,线,,故AT=RT=TC,你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗?,(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何元素。,用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:,简述:形到向量 向量的运算 向量和数到形,五、巩固练习:,1:证明对角线互
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