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第二节 正项级数及其审敛法,1.定义:,这种级数称为正项级数.,基本定理:,2.正项级数收敛的充要条件:,显然，正项级数的部分和数列为单调增加数列,正项级数非常重要，许多级数的收敛性问题都可归结为正项级数的收敛性问题.,证明,即部分和数列有界,3.比较审敛法,定理证毕.,比较审敛法的不便:,须有参考级数.,重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.,解,证明,比较审敛法是一基本方法，但应用起来却有许多不便，因为它需要建立定理所要求的不等式，而这种不等式常常不易建立，为此介绍在应用上更为方便的极限形式的比较审敛法。,4.比较审敛法的极限形式:,由比较审敛法即可得证.,解,故原级数发散.,故原级数收敛.,故原级数收敛.,证明,原级数收敛,原级数发散,比值审敛法的优点:,不必找参考级数.,两点注意:,解,比值审敛法失效, 改用比较审敛法,例5,解,而,对,由比值审敛法得,收敛,故由比较审敛法知,收敛,例6,解,故,级数收敛,级数发散,比值审敛法失效,故级数发散,由,证明,取,收敛,收敛,发散,不能判定,如,都有,发散,解,故,级数收敛,级数发散,根值审敛法失效,但此时级数为,第三节 绝对收敛与条件收敛 一、交错级数及其审敛法,1.定义: 正、负项交错的级数称为交错级数.,证明,满足收敛的两个条件,定理证毕.,解,原级数收敛.,证明 un 单调减的方法:,？,？,？,二、绝对收敛与条件收敛,定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.,证明,上定理的作用：,任意项级数,正项级数,解,故由定义知原级数绝对收敛.,将正项级数的比值审敛法和根值审敛法应用于判定任意项级数的敛散性可得到如下定理：,定理,设有级数,则,绝对收敛,发散,可能绝对收敛，可能条件收敛，也可能发散,如,注意,一般而言，由 发散，并不能推出,发散,如,发散,但 收敛,若 发散是由比值审敛法或根值审敛法而审定,则 必定发散,这是因为比值法和根值法,审定级数发散的原因是通项不趋向于0,例9,解,所以此交错级数收敛，,故原级数是条件收敛,小结,解,由比较审敛法知 收敛.,反之不成立.,例如：,收敛,发散.,思考题,1.,求极限,解,考察正项级数,由比值法得,收敛,由级数收敛的必要条件得,补充题,试证,收敛.,证,再由比较审敛法知,而,即,可表为两个收敛级数,之和,3. 设,且,若,收敛,则,也收敛.,证,由题设知,而,收敛,由比较法得,收敛.,Cauchy积分审敛法:,4.,证,由 f(x) 单调减少知,故,与,同敛散.,5.,证,记,则,且,而正项级数,的部分和,又,单调增加且有界,故由单调有界原理知,存在,即,收敛,进而,收敛,由比较法得,收敛.,证,记,由,单调减少,且,故由单调有界原理知
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