泰勒公式与极值问题.ppt

泰勒公式与极值问题,高阶偏导数 中值定理和泰勒公式 极值问题,一、高阶偏导数,设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数,若这两个偏导函数仍存在偏导数，,则称它们是,z = f ( x , y )的二阶偏导数 .,按求导顺序不同, 有下列,四个二阶偏导数:,类似可以定义更高阶的偏导数.,z = f (x , y) 的三阶偏导数共有八 ( 23 ) 种情形：,又如 z = f (x , y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 ,二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,再关于 y 的一阶偏导数为,例1. 求函数,解 :,的二阶偏导数及,注意:从上面两个例子看到，有,但这一结论并不总成立.,例如,二者不等,定理17.7,例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) ,说明:,本定理对 n 元函数的高阶混合偏导数也成立.,函数在其定义区域内是连续的 ,故求初等函数的高阶导,数可以选择方便的求导顺序.,因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,当三阶混合偏导数,在点 (x , y , z) 连续时, 有,而初等,今后除特别指出外，都假设相应的混合偏导数连续，从而混合偏导数与求导顺序无关.,例6. 证明函数,证：,利用对称性 , 有,满足拉普拉斯方程,注意：多元抽象复合函数的高阶导数在偏微分,方程变形与验证解的问题中经常遇到,下列几个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧,与常用导数符号.,得,例 设,f 具有二阶连续偏导数,求,解:,二、中值定理和泰勒公式,凸区域：若区域 D 上任意两点的连线都含于 D,若 D 为区域，则对任何,恒有,凸区域,非凸区域,内，则称 D 为凸区域.,一元函数中值定理回顾,证,令,由定理的条件知 (t) 在 0, 1 上连续，在 ( 0, 1 ) 内可微.,由复合函数的求导法则,于是,由于 D 为凸区域，所以,从而有,于是根据一元函数中值定理，,存在 使得,二、二元函数的泰勒公式,一元函数泰勒公式回顾,其中,一般地,表示,表示,这正是二元函数的拉格朗日中值公式.,Rn 称为其拉格朗日型余项 .,证: 令,其中,由定理的假设， 在 0, 1 在满足一元函数泰勒定理条件，于是有,下面计算,利用多元复合函数求导法则可得:,一般地,将上述导数代入公式：,即得二元函数泰勒公式.,若在泰勒公式中只要求余项,带入型余项的泰勒公式中：,即,令 x = 1.08 , y = 3.96 , 则有x -1= 0.08 , y -1= -0.04 ,把这个值与前面用全微分近似公式计算的结果相比,较，这个结果更接近于真值 1.356307 .,三 极值问题,定义: 若函数,则称函数在该点取得极大值(极小值).,极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,的某邻域内有,注意：函数的极值点只可能是定义域的内点.,例如 :,在点 (0,0) 有极小值;,在点 (0,0) 有极大值;,在点 (0,0) 无极值.,若,例如,定理17.10 (必要条件),函数,存在偏导数,证:,取得极值 ,取得极值，,取得极值，,稳定点不一定是极值点.,有驻点( 0, 0 ),但在该点不取极值.,且在该点取得极值 ,则有,故,则称 ( x0 , y0 ) 为 f 的稳定点或驻点 .,所以,所以,在原点 (0,0) 没有偏导数，但它在原点有极小值;,所以，函数的极值只可能在稳定点或偏导数,不存在的点取得.,时, 具有极值,定理17.11 (充分条件),的某邻域内具有二阶连续偏导数,令,则: 1) 当,A0 时取极大值;,A0 时取极小值.,2) 当,3) 当,时, 没有极值.,时, 不能确定 , 需另行讨论.,若函数,且,证: 由二元函数的泰勒公式, 并注意,则有,所以,其中 , , 是当h 0 , k 0 时的无穷小量 ,于是,(1) 当 ACB2 0 时,必有 A0 , 且 A 与C 同号,可见 ,从而z0 ,因此,从而 z0,(2) 当 ACB2 0 时,若A , C不全为零, 无妨设 A0,则,时, 有,异号;,同号.,可见 z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负,+,+,若 AC 0 ,则必有 B0 ,不妨设 B0 ,此时,可见 z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负,(3) 当ACB2 0 时,若 A0,则,若 A0 ,则 B0 ,为零或非零,此时,因此,不能断定 (x0 , y0) 是否为极值点 .,并求出偏导数不存在的点.,求出二阶偏导数的值：,例.,求函数,解: 第一步 求稳定点,得稳定点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,第二步 判别.,在点(1,0) 处,为极小值;,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,故 f 在( 1, 0 ) 有极值,又因,在点(3,0) 处,不是极值;,在点(3,2) 处,为极大值.,在点(1,2) 处,不是极值;,故 f 在( -3, 2 ) 有极值,又因,例. 讨论函数,及,在点 ( 0,0 ) 是否取得极值.,解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此 (0,0) 不是,因此,为极小值.,正,负,0,并且在 (0,0) 都有,可能为,的极值点.,最大值最小值（简称最值）问题,函数 f 在闭域上连续,函数 f 在闭域上可达到最值,最值可疑点,稳定点、偏导数不存在的点,边界上的最值点,特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,为极小 值,为最小 值,(大),(大),依据,例.,解: 设水箱长,宽分别为 x , y 米 ,则高为,则水箱所用材料的面积为,令,得驻点,某厂要用铁板做一个体积为2 米3 的有盖,根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,长方体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸,因此可,断定此唯一驻点就是最小值点.,即当长、宽均为,高为,时, 水箱所用材料最省.,时,才能使用料最省?,米 ,例. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 ,把它折起来做成,解: 设折起来的边长为 x cm,则断面面积,一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为 ,积最大.,为,问怎样折法才能使断面面,令,解得:,由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有,一个驻点,故此点即为所求.,问题的提出:,已知一组实验数据,求它们的近似函数关系 yf (x) .,需要解决两个问题:,1. 确定近似函数的类型,根据数据点的分布规律,根据问题的实际背景,2. 确定近似函数的标准,实验数据有误差,不能要求,最小二乘法,偏差,有正有负,值都较小且便于计算,可由偏差平方和最小,为使所有偏差的绝对,来确定近似函数 f (x) .,最小二乘法原理:,设有一列实验数据,分布在某条曲线上,通过偏差平方和最小求该曲线的方,法称为最小二乘法,找出的函数关系称为经验公式 ., 它们大体,特别, 当数据点分布近似一条直线时,问题为确定 a, b,令,满足:,使,得,解此线性方程组 即得 a, b,例.,为了测定刀具的磨损速度, 每隔 1 小时测一次刀,具的厚度, 得实验数据如下:,找出一个能使上述数据大体适合的经验公式.,解: 通过在坐标纸上描点可看出它们,大致在一条直线上,列表计算:,故可设经验公式为,得法方程组,解得,故所求经验公式为,为衡量上述经验公式的优劣,计算各点偏差如下:,称为均方误差,对本题均方误差,它