质点振动讲解常微分.ppt

质点振动,,Company Logo,Contents,（1）无阻尼自由振动,（2） 有阻尼自由振动,（3） 无阻尼强迫振动,（4）有阻尼强迫振动,,Company Logo,质点振动,振动是日常生活和工程技术中常见的一种运动形式。例如钟摆的往复摆动，弹簧的振动，乐器中弦线的振动，机床主轴的振动，电路中的电磁振荡等等。振动问题的研究，在一定条件下，可以归结为二阶常系数线性微分方程的问题来讨论。下面我们以第一章里所举的力学典型例子数学摆作为具体的物理模型，利用常系数线性微分方程的理论，讨论有关自由振动和强迫振动的问题，并阐明有关的一些物理现象。至于RLC电路中的电磁振荡完全可以同样地加以讨论。,,Company Logo,数学摆是系于一根长度为l的线上而质量为m的质点M，在重力作用下，它在垂直于地面的平面上沿着圆周运动，如图：,,Company Logo,（1）无阻尼自由振动,考察数学摆的无阻尼微小自由振动方程 ，（1.9） 记 ，这里 是常数，（1.9）变为 （4.39） 这是二阶常系数齐次线性微分方程，它的特征方程为 特征根为共轭复根 因此，方程（4.39）的通解为 , （4.40）,,Company Logo,其中 ， 为常数。为了获得明显的物理意义，令 ， 因此，若取 ， 则（4.40）可以写成 即 （4.41） 这里A， 代替了 ， 作为通解中所含的两个任意常数。,,Company Logo,从通解（4.41）可以看出，不论反映摆的初始状态的A与 为何值，摆的运动总是一个正弦函数，它是t的周期函数.这种运动成为简谐振动。振动往返一次所需的时间称为周期，记为T，这里 ；单位时间内振动的次数成为频率， 记作 ，这里 ；而 称为圆周率。从而得出结论：数学摆的周期只依赖于摆长l，而与初值无关。 （参看图（4.1）。,,Company Logo,图（4.1）,,Company Logo,此外，摆离开平衡位置的最大偏离称为振幅。数学摆的振幅为A，而 称为初位相。这里，振幅和初位相都依赖于初值条件。 如果把数学摆移至位置 处，然后突然松开，使其自由摆动，这就相当于给定如下的初值条件： 时 ， （4.42） 把（4.42）代入通解（4.41），得到 于是得初位相 ，振幅 。,,Company Logo,因此，所求的特解为：,,Company Logo,（2） 有阻尼自由振动,从通解（4.41）可以看到，无阻尼的自由振动是按正弦规律作周期运动，摆动似乎可以无限期的进行下去。但是，实际情况并不是如此，摆总是经过一段时间的摆动后就会停下来，这说明我们所得的方程并没有完全反映物体运动的规律。因为空气阻力在实际上总是难免的，因此必须把运动阻力这一因素考虑进去，从而得到第一章已推导过的摆的有阻尼的自由振动方程 ，（1.10）,,Company Logo,记 ， ，这里n，是正常数，（1.10）可以写成： （4.43） 它的特征方程为： ，（4.44） 特征根为：,,Company Logo,对于不同的阻尼值n，微分方程有不同形式的解，它表示不同的运 动形式，现分下面三种情况进行讨论： 小阻尼的情形：即n 的情形，这时 ， 为一对共轭复根，记 ， 则 。而方程（4.43）的 通解为： 和前面无阻尼的情形一样，可以把上述通解改写成如下形式： （4.45）,这里A， 为任意常数.,,Company Logo,从（4.45）可见，摆的运动已不是周期的，振动的最大偏离随着时间增加而不断减小，而摆从一个最大偏离到达同侧下一个最大偏离所需的时间为 。,,Company Logo,图（4.2）表示函数 （4.45）的图形，图上虚线是 的图形。而实线表示摆运动的偏离随时间变化的规律，它夹在两条虚线中间振动。因为阻尼的存在，摆的最大偏离随时间增大而不断减小，最后摆趋于平衡位置 。,图（4.2）,,Company Logo,大阻尼的情形：即n 的情形，这时 ，特征方程（4.44）有两个不同的负实根。方程（4.43）的通解为 （4.46） 这里 ， 是任意常数。 从（4.46）可以看出，摆的运动也不是周期的，因为方程 对于t最多只有一个解，因此，摆最多只通过平衡位置一次，又因为,,Company Logo,得知：当t足够大时， 的符号与 的符号相反。因此，经过一段时间后，摆就单调地趋于平衡位置，因而在大阻尼的情形，运动不是周期的，且不再具有振动的 性质。摆的运动规律（4.46）的图形如图（4.3）所示。 或,,Company Logo,临界阻尼的情形：即n= 的情形，这时特征 方程（4.44）有重根 。方程（4.43） 的通解为 ： （4.47）。 这里， ， 是任意常数。,,Company Logo,从(4.47)可以看出，摆的运动也不是周期的，它的运动规律（4.47）的图形和图（4.3）相类似。摆也不具有振动的性质。数值 称为阻尼的临界值，这一数值正好足够抑制振动。这里临界值的意思是指：摆处于振动状态或不振动状态的阻尼分界值，即当 时，摆不具有振动性质，运动规律如图（4.3）所示。而当 时，摆具有振动性质，运动规律如图（4.3）所示。,,Company Logo,（3） 无阻尼强迫振动,以上谈到的无阻尼自由振动和有阻尼自由振动都属于自由振动，它对应于一个二阶常系数齐次线性微分方程。当一个振动系统还经常受到一个外力作用时，这种振动称为强迫振动。最常见的外力往往是按周期变化的，这里考察周期外力特别是按正弦变化的外力作用下的强迫振动。我们仍以数学摆为例。 数学摆的微小强迫振动方程可写为： （1.11）,,Company Logo,考察无阻尼强迫振动，即 的情形。令 ，设 ，H为已知常数，p为外力圆频率。这时（1.11）变为 （4.48） 方程（4.48）的对应齐次线性微分方程的通解为 （4.41） 这里A， 是任意常数。现求（4.48）的一个特解。如果，则（4.48）有形如 （4.49） 的解，这里M,N是待定常数。将（4.49）代入（4.48），比较同类项系数，得到,,Company Logo,因此，方程（4.48）的通解为： （4.50） 通解（4.50）由两部分组成，第一部分是无阻尼自由振动方程的解，它代表固有振动，第二部分是振动频率与外力频率相同，而振幅不同的项 ，它代表由外力引起的强迫振动。 从（4.50）还可以看出，如果外力的圆频率p愈接近固有圆频率，则强迫振动项的振幅就愈大。,,Company Logo,如果 ，则（4.48）有形如 的解，将它代入（4.48），比较同类项系数得到 ， 因而，方程（4.48）的通解为 （4.51） （4.51）表示随着时间的增大，摆的偏离将无限增加，这种现象称为共振现象。但是，实际上，随着摆的偏离的增加，到了一定程度，方程（4.48）就不能描述摆的运动状态了。,,Company Logo,（4）有阻尼强迫振动,这时摆的运动方程（1.11）变为 （4.52） 根据实际的需要，我们只讨论小阻尼的情况，即 的情形。这时（4.52）对应的齐次线性微分方程的通解为： （4.45） 这里A， 是任意常数， （见（2）有阻自由振动中的情形）。 现求（4.52）的一个特解，这时可以寻求形如 （4.53）的特解,,Company Logo,这里M,N是待定常数，将（4.53）代入（4.52），比较同类项系数，得到 为了获得更明显的物理意义，令 即令（4.54） 及 ， 这时（4.53）可以写成,,Company Logo,因此，（4.52）的通解为 （4.55） 从（4.55）可以看出，摆的运动由两部分叠加而成，第一部分是有阻尼的自由振动，它是系统本身的固有振动，它随时间的增长而衰减，第二部分是由外力而引起的强迫振动项，它的振幅不随时间的增长而衰减，因此，考虑强迫振动时主要就考虑后一项 ，它与外力的频率一样，但相位和振幅都不同了。 我们现在来研究外力的圆频率p取什么值时所引起的强迫振动项的振幅达到最大值。,,Company Logo,从（4.54）看出，只需讨论当p取何值时 达到最小值即可。为此，记 ，将它对p求导数，并令导数等于零， 得到： 因此，只要 ，即只要阻尼很小时， 就解得： （4.56） 而当p取此值时，我们有 ，因而 在 时达到最小值。,,Company Logo,把（4.56）代入（4.54），得到相应的最大振幅值为 就是说，当外力的圆频率 时，强迫振动项的振幅达到最大值，这时的圆频率称为共轭频率，所产生的现象也叫共振现象。,,Company Logo,在发生共振现象时，一个振动系统在不太大的外力作用下会产生很大振幅的振动，以致引起破坏性的效果。例如一个电动机固定在一个能作弹性振动的座台