D25极限存在准则及两个重要极限.ppt

,二、 两个重要极限,一、极限存在准则,第五节,极限存在准则及,两个重要极限,第二章,三、 无穷小量的比较,一、 极限存在准则,1. 准则1（数列极限存在的夹逼准则）,证:,由条件 (2) ,当,时,当,时,令,则当,时, 有,由条件 (1),即,故,例1. 证明,证: 利用夹逼准则 .,且,由,2. 函数极限存在的夹逼准则,准则1.,且,例2. 求,解: 令,则,利用夹逼准则可知,3.准则2(单调有界数列必有极限),( 证明略 ),二、 两个重要极限,注,圆扇形AOB的面积,证: 当,即,亦即,时，,显然有,AOB 的面积,AOD的面积,故有,注,如何计算：,公式的推广：,如果,请 公式的特点！,注意,例3. 求,解:,例4. 求,解: 令,则,因此,原式,注意：变量代换也是一种很有用的方法,例5. 求,解: 原式 =,例6. 已知圆内接正 n 边形面积为,证明:,证:,说明: 计算中注意利用,例7. 求,解:,例8. 求,解:,原式,例. 求,解：因为,所以，,解,例 当 时，求,2.,证: 利用二项式公式 , 有,大,大,正,又,比较可知,根据准则 2 可知数列,即,有极限 .,又,内容小结,注:这个极限值被瑞士欧拉（Euler)首先用字母e表示，它是一个无理数, 其值用e = 2.7182818284)来表示.,2.,证: 当,时, 设,则,当,则,从而有,故,说明: 此极限也可写为:,时, 令,更一般地有:,例9. 求,解: 令,则,说明 ：若利用,则,原式,例10. 求,解: 原式 =,例11,求极限,解,例11 (复利息问题)设银行将数量为A0的款贷出,每期利率为 r.若一期结算一次,则t 期后连本带利可收回,若每期结算 m 次,则 t 期后连本带利可收回,现实生活中一些事物的生长 (r0) 和衰减 (r0)就遵从这种规律,而且是立即产生立即结算。例如细胞的繁殖、树木生长、物体冷却、放射性元素的衰减等。,若按连续复利(将利息记入本金,时刻结算本利和的方法)计算：,实质上就是每期的结算次数 时的本利和,贴现问题,与此相反，若已知未来值At求现在值A0，则称贴现问题。这时利率r称为贴现率。,连续的贴现公式为：,若称A0为现在值，At为未来值，已知现在值求未来值是复利问题:,由复利公式，容易推得离散的贴现公式为:,例12 设年利率为6.5，按连续复利计算，现投资 多少元，16年之末可得1200元？,解：贴现率r=6.5，未来值At=1200，t=16。,现在值：,都是无穷小,引例 .,但,可见无穷小量趋于 0 的速度是多样的 .,三、无穷小的比较,定义.例如 , 当,若,则称 是比 高阶的无穷小,若,若,若,若,或,记作,则称 是比 低阶的无穷小;,则称 是 的同阶无穷小;,则称 是关于 的 k 阶无穷小;,则称 是 的等价无穷小,记作,例1. 证明: 当,时,证:,例2. 证明:,证:,目录 上页 下页 返回 结束,因此,即有等价关系:,说明: 上述证明过程也给出了等价关系:,定理1.,证:,即,即,例如,故,定理2 . 设,且,存在 , 则,证:,例如,等价无穷小替换定理：,注:此定理表明, 求两个无穷小量积或商的极限时, 如果分子（或分子的乘积因子）或分母（或分母的乘积因子）的等价无穷小量存在, 则就可用它们各自的等价无穷小量来代换原来的分子或 分母（或分子或分母的乘积因子）, 使计算简化。,例如,例3. 求,解:,原式,例4. 求,解:,例5.,例6.,例7 若 ，求a.,解：,所以，a = 2.,例8 若,【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.,注 ：一般地，已知,解,思考题：已知 ，求,解 因为 ，则,所以， ，利用等价无穷小替换得,从而,常用等价无穷小 :,第八节,内容小结,数列极限存在的夹逼准则,函数极限存在的夹逼准则,1. 极限存在准则:,夹逼准则 ; 单调有界准则 ;,2. 两个重要极限,或,3. 无穷小的比较,设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且, 是 的高阶无穷小, 是 的低阶无穷小, 是 的同阶无穷小, 是 的等价无穷小, 是 的 k 阶无穷小,故极限存在，,