《自适应控制》PPT课件.ppt

第三章LQG自校正器,最小方差自校正器 ：目标函数是系统的输出误差 ,需已知被控过程的时延，需对过程的极点或零点加以限定，适用范围有限 线性二次高斯自校正器 ：可用于时变、开环不稳定以及逆不稳定过程，且可达到无条件均值最小，主要缺点是计算量较大 ，对阶次比较敏感,3.1 线性二次最优控制LQ的设计,线性二次最优控制 ：系统方程是线性的确定的，其性能指标是二次的，其控制目的为使性能指标为最小的条件下，使系统在任意初始条件下的状态转移到原点，它是LQG最优控制的基础,3.1.1 状态调节器,的状态调节问题，就是使系统初始状态， 在花费最小的控制能量下，转移到原点(或 平衡点)上的控制问题。,系统方程：,(3.1),假定初始条件,已知，希望寻求一个,线性状态反馈控制律：,(3.2),使下列目标函数最小,(3.3),式中,加权矩阵,和Q为半正定矩阵，R为,正定矩阵，它们由设计者选定,中第一项,表示与稳定有关的,指标，第二项,表示与过渡过程有,关的指标。第三项,表示与控制,能量有关的指标,图3.1 被控过程结构图,函数和等式约束条件的拉格朗日函数：,用拉格朗日(Lagrange)乘子和变分法来求解LQ问题 ：,将(3.1)式变为下列等式约束条件：,(3.4),借助拉格朗日乘子,，构造一个联系目标,在等式约束条件(3.4)下，使式(3.3)最小的问题 等价于求(3.5)式无条件下的极值问题，这个问 题有解的必要条件为：,(3.5),式中哈米尔顿(Hamilton)算子序列为：,(3.6),(3.7a),特别地对应于终值也应满足：,(3.7b),由(3.7b)可得,(3.8),由(3.7a)可得下列控制律和伴随律：,(3.9),将(3.9)式代入(3.1)式可得：,(3.10),(3.11),式(3.10)和(3.11)称为欧拉-拉格朗日(Euler- Lagrange)方程，这个方程状态空间表达式为：,(3.12),假定,和,存在下列变换关系：,(3.13),将(3.13)式代入(3.10)和(3.11)式中，消去,，,得：,(3.14),和,将(3.15)式代入(3.14)式得：,因为上式对一切X(k)均成立，所以可得对于,有：,(3.16),在,终步时，考虑到(3.8)式和(3.13)式，得：,此外，由(3.9)、（3.10）和（3.13）式和可得控 制律为：,即：,(3.17),式(3.16)称为黎卡蒂(Riccati)差分方程，由后退,递归，即可求出黎卡蒂方程中,的,到,的每个值。,(3.18),这就是所需要的状态调节器,将此式与(3.2)式相比较可得反馈增益：,(3.19),图3.2 状态调节器结构图,3.1.2状态调节器的设计步骤,1）已知，A、B，选定Q0、R和Q值,2）读取状态,3）根据(3.17)和(3.16)式计算：,4）根据(3.19)式计算,：,6）输出U(k) ，转2) LQ调节器的优点：能应用于时变多变量系统 ,且 只要改变加权矩阵中的数值，就能兼顾初始状态 的恢复速度和所需控制信号幅值的要求,5）计算控制律：,3.1.3 输出调节器,考察系统,(3.20),的输出调节问题，即寻求一个容许控制律，使目标函数,(3.21),最小的问题,式中的J3就转化成为J4，可见，输出调节 器问题实质上是状态调节器问题的一个特 殊情况。因此状态调节器的结论也适用于 输出调节器。,如果在(3.3)式中选用,，则(3.3),3.2 状态观测器,带状态观测器的系统,将此值乘上一个权矩阵H项，即产生一个 状态的校正项,状态观测器：重构过程中不可直接测量的状态变量X(k),过程和观测器之间的输出差为：,状态的预期估计值,(3.22),引入状态预测估计误差,(3.23),结合(3.20和(3.22)式，可得：,(3.24),只要合理选择H ,使(A-HC)稳定，可使此状态估计为无偏估计,3.3 LQG自校正器,一个实际的动态系统通常都具有一定程度的不确定性，最常见的有以下三类： 1）随机扰动的输入 2）传感器测量噪声的影响 3）系统模型参数的不确定性 线性、二次、高斯LQG：研究对具有高斯分布的随机扰动和噪声的系统，采用二次性能指标,对于随机系统,控制器设计任务分为两步： 第一，通过采用滤波器将随机扰动和测量噪声消 除，进行状态预测和估计 第二，根据所估计的状态进行最优控制器的设计,3.3.1 卡尔曼滤波器,考虑系统方程和量测方程：,(3.25),其中，,是零均值高斯白噪声序列，并有：,其中：,和,之间线性无关。,被干扰的被控过程,卡尔曼滤波器：基于测量输出信号,，在消除,干扰和扰动的同时，估计状态变量,，被估计,的状态用,表示，被估计状态的协方差定义,为：,(3.26),即状态变量,的估计值是在使此协方差为最小,的名义下获得的。,下面假定已知： a）过程系数A、B和C b）输入随机扰动矩阵L，以及噪声互相关矩阵V和N,c）估计状态变量和协方差矩阵的初始值,和,状态变量X(k)的循环估计的算法如下：,1）基于最后一次估计的状态,，确定系统,在无干扰和噪声情况下状态的预测值,：,(3.27),2）计算预测状态的误差的方差：,而,3）计算估计状态值。估计状态由它的预测值(不 含扰动和噪声)加上在k时刻测量的过程输出所决 定的校正矩阵来确定：,结合(3.26)式，可得：,(3.28),预测状态的方差与干扰和噪声有关，并与估计方差有关,(3.29),4）滤波增益矩阵,的算法,由滤波估计误差：,是通过令估计误差的方差为最小所得，即求,为最小时的,值。,令：,求得：,(3.30),5）最后一步计算滤波估计误差的方差,由步骤4）的推导过程，当代入所求的,值后可得：,(3.31),在实际应用中，常常采用卡尔曼滤波器的稳态结,果，即用当,时，矩阵,将变为常数的,值,：,(3.32),由此可得带有滤波器的系统方程为：,是黎卡蒂方程的定常矩阵：,(3.33),图3.5 带有卡尔曼滤波器的系统方框图,卡尔曼滤波器具有以下特点：,5）卡尔曼滤波估计可以做到最小二乘估计,1）滤波器估计状态的算法以“预测一校正”的方式进行递推，不要求储存任何观测数据，便于实时计算,2）增益矩阵,和误差方差矩阵,及,与观测数据无关，可事先算好存贮起来，从而可加速实时处理,3）由,和,可以获知有关滤波的性能,4）估计误差方差,及增益矩阵,和N紧密相关,与V,3.3.2 滤波器与状态观测器的关系分析,图3.6 带滤波器系统的另一种结构图,和校正两部分组成，预测目的是为了滤掉(消,将图3.6与图3.3相比较，就输出而言，状态 观测器对应于具有预测状态的卡尔曼滤波器,稳态卡尔曼滤波器：基于观测量值,来估计状态,，称为现时估计器，由预测,除)扰动和噪声的影响，而校正的目的是为了使状态估计能够收敛到真值，它是从系统的扰动和噪声中估计了系统的状态,状态观测器中的反馈矩阵H，对应于卡尔曼滤波器中的AKf，即如果有H=AKf ，卡尔曼滤波器就等效于一个状态观测器 对确定系统用卡尔曼滤波器进行状态估计的好处：所得到状态是用k时刻的观测值得到k时刻的状态估计，而不是k时刻的预测值，有利于对实时控制,3.3.3 LQG系统的分离特性,分离定理的涵义 ：对于具有干扰和噪声的系统的控制策略分成两步完成，即最优估计与最优控制 最优估计只决定于系统方程和不确定性V、N及P（0），与控制无关 最优控制只决定于系统方程和性能指标中的加权矩阵Q0、Q和R，与系统的扰动及噪声无关,3.3.4 随机系统的最优控制律,卡尔曼滤波器系统方程由预测状态组成，令,，并将此式代入(3.9)和(3.10),式，整理后得状态调节律,反馈矩阵为,中的,其中：,当,时，,与,趋于常值：,(3.34),(3.35),(3.36),因为,中要用到求逆计算，所以必须保证,图3.7 带有卡尔曼滤波器的最优控制系统方框图,3.3.5 二次性原理(双重效应),双重效应：首先直接控制系统的状态，其次，对影响状态的不确定因素也具有控制或消除作用 卡尔曼滤波器具有双重效应的控制 ：1）状态估计；2）消除了随机干扰和扰动,最优控制律设计中的黎卡蒂方程,卡尔曼滤波器设计中的黎卡蒂方程,表3.1 最优控制器与卡尔曼滤波器 性能指标之间的关系,最优控制的目标,卡尔曼滤波器同样可获得的目标为,采用卡尔曼滤波器进行状态估计的优点： 理论上可以获得最小方差估计，但相应的噪声 统计特性N与L必须已知，对于扰动和噪声协方差 L与N未知的情况，包括系统其他参数A、B、C未 知时，则应采用自校正LQG控制；根据系统输入 输出的运行数据，在线地对参数进行估计，随着,改进。,和,的不断改进，,也将不断地得到,3.3.6 LQG自校正的调节器,1）系统状态方程与输入/输出特性之间的关系 对于系统过程的输入/输出表达式：,可将它转化为状态空间的可观标准型如下：,(3.37a),式中：,由(3.37a)式可得系统预测方程为：,(3.38),由预测状态的误差：,(3.39),采用状态估计器设计方法来求,，即使预测,状态,趋于真值,。,将此式与(3.22)式进行比较，可以看出根据分理 原理，系统的最优控制律为：,由（3.39）式，取,，可得的一个解为：,(3.40),将,值代入(3.38)式，可得,这是一个带有状态观测器,(3.41),的控制系统。,图3.8 系统的控制结构图,2)LQG自校正的调节器,已知,和R,（1）设置初值,输入初始数据,（2）读取,（3）用参数辨识法估计,，即,和,，进而由(3.37b),式求得,和,；,（4）由(3.40)式求出,（5）由(3.34)和(3.35)式求出,（6）由(3.36)式求出控制律,（7）返回（2）,上式中的Ku计算量最大，在计算机运算中，如果我们令：,根据二元性原理，经过下列替代：,Kf的3种求法,根据定义：令估计误差的方差为最小情况下的Kf; 对于可观标准型方程：L0 AKf = 0; 采用求Ku的方法。,3.3.7 LQG自校正的控制器,考虑输入/输出的模型：,跟踪控制的目标函数选为：,在过程中引入参数信号,，将下列差分方程：,令：,由此可得过程方程为：,(3.43),目标函数重写为：,将过程(3.43)转化为观测标准型：,(3.44),式中：,