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第二节 排列组合,基础梳理,按照一定的顺序排成一列,所有排列的个数,阶乘,并成一组,所有组合的个数,典例分析,题型一 排除法 【例1】从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有种.,分析 逆向思考，“这3人中至少有1名女生”的否定为“这3人中没有女生”.,解 全部方案有 种，减去只选派男生的方案数 ，合理的选派方案共有 - =186(种).,学后反思 关于“至少”类型组合问题，用间接法较方便.即用总的方案数减去“至少”的否定的方案数.同时要注意： “至少一个”的否定为“一个没有”; “至多一个”的否定为“至少两个”; “至少N个”的否定为“至多N-1个”; “至多N个”的否定为“至少N+1个”.,举一反三 1. (2009全国改编)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有种.,答案： 30,解析： 间接法: (种).,题型二 基本排列问题 【例2】从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有种（用数字作答）.,学后反思 解决某些特殊元素不能排在某些特殊位置的排列问题，主要方法是将这些特殊元素排在其他位置，或将其他非特殊元素排在这些特殊位置来进行解决.,分析 先选甲、乙以外的人担任文娱委员，然后再选其他委员. 解先从其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员， =343=36(种).,举一反三 2. （2008全国改编）如图，一环形花坛分成A,B,C,D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块地里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为 .,答案： 84,解析： 分三类：种两种花有2 种种法；种三种花有2 种种法；种四种花有 种种法.共有 +2 + =84（种）.,题型三 有限制条件的排列 【例3】有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？ (1)甲不在中间也不在两端； （2）甲、乙两人必须排在两端； （3）男、女生分别排在一起； （4）男女相间.,分析 这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置讨论起.对于相邻问题，常用“捆绑法”；对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）；对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”（特殊元素先考虑）.,解 （1）方法一（元素分析法）：先排甲有6种，其余有A88种，故共有6 =241 920(种)排法. 方法二（位置分析法）：中间和两端有 种排法，包括甲在内的其余6人有 种排法，故共有 =336720=241920(种)排法. 方法三（间接法）： -3 =6 =241920(种). （2）先排甲、乙，再排其余7人，共有 =10 080(种)排法. （3）（捆绑法） =5 760(种). （4）（插空法）先排4名男生有 (种)方法，再将5名女生插空，有A55种方法，故共有 =2 880（种)排法.,学后反思 本题集排列的多种类型于一题，充分体现了元素分析法（优先考虑特殊元素）、位置分析法（优先考虑特殊位置）、直接法、间接法（排除法）、捆绑法、等机会法、插空法等常见的解题思路.,举一反三 3. (2007全国改编)从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有种.,答案： 60,解析： 星期五有2人参加，则从5人中选2人的组合数为 ，星期六和星期天从剩余的3人中选2人进行排列，有 种，则共有 =60(种).,题型四 基本组合问题 【例4】（14分）有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名.选派5名外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？ （1）男运动员3名，女运动员2名； （2）至少有1名女运动员； （3）队长中至少有1名参加； （4）既要有队长，又要有女运动员.,分析 （1）分步.（2）可分类也可用间接法.（3）可分类也可用间接法.（4）分类.,解 （1）第一步：选3名男运动员，有 种选法. 第二步：选2名女运动员，有 种选法. 共有 =120(种)选法3 （2）方法一：“至少有1名女运动员”包括以下几种情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.4 由分类加法计数原理可得总选法数为： (种)6 方法二：“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”,故可用间接法求解.,从10人中任选5人有 种选法，其中全是男运动员的选法有 种4 所以“至少有1名女运动员”的选法为 - =246(种)6 (3)方法一(可分类求解): “只有男队长”的选法为 ;“只有女队长”的选法为 8 “男、女队长都入选”的选法为 . 所以共有2 + =196(种)选法10 方法二(间接法)： 从10人中任选5人有 种选法.8 其中不选队长的方法有 种.所以“至少有1名队长”的选法 为 - =196(种)10,学后反思 解组合题时，常遇到至多、至少问题，可用直接法分类求解，也可用间接法求解以减少运算量.当限制条件较多时，要恰当分类，逐一满足.,（4）当有女队长时，其他人选任意，共有 种选法.不选女队长时，必选男队长，共有 种选法.其中不含女运动员的选法有 种，所以不选女队长时的选法共有 - 种选法13 所以既有队长又有女运动员的选法共有 + - =191(种)14,举一反三 4. (2009辽宁改编)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有种.,答案： 70,易错警示,【例】有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？,错解分析 错解中没有考虑3个红色小球是完全相同的，5个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法.,错解 因为是8个小球的全排列，所以共有 种方法.,正解 8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题.这样共有 =56(种)排法.,考点演练,10. (2009湖北改编)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，求不同分法的种数.,解析： 用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是 ,顺序有 种，而甲、乙被分在同一个班有A33种，所以不同分法有 (种).,11. （1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ （2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？,解析： （1）从5本不同书中选出3本分别是送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同的送法的种数是 =543=60. (2)由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学每人各1本书的不同方法种数是 555=125.,12. 某学习小组有8个同学，从男生中选