高等数学第一章第5-8节.ppt

1,1.5 函数的极限,一、数列的极限,二、函数的极限,2,一、数列的极限,1、引例 截丈问题,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”.,3,2、数列,例如,4,3、数列的极限,例如,定义2,或,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,5,例如,则称,收敛于1，或称1是数列,的极限.,数列极限的精确定义,或,6,数列极限的几何意义,如果,则任给,的一个,邻域，,总存在N,当n大于N的所有,项都在此邻域里.,例1,例2,例3,可以证明,对于数列,若,7,二、函数的极限,1、,时函数 的极限,则称,以2为极限，记作,再如,上式表明，函数不论在1点是否有定义，极限都可能存在.,8,如果存在常数,趋于,或,例如,下面给出函数极限的精确定义,9,定义5,记作,或,10,(3) 几何意义,11,例如,下面给出函数极限的精确定义,12,几何解释:,13,14,3、函数极限的其它情况,（1）左极限与右极限,左极限,右极限,15,例4 设函数,显然,所以,16,例5,设函数,(1)求,(2)当,为何值时,极限,(1),(2),由,即,所以当,时,极限,17,(2),与,的极限,时函数,若当,无限,趋于常数,则称,为,记作,沿,轴的正向(或负向)趋于无穷时,函数,对于,这三个不同,的极限,有结论,18,例6,求极限,解,因为,不存在.,所以,19,1.6 无穷小量与无穷大量,一、 无穷小量的概念与性质,二、 无穷大量的概念与性质,20,一、 无穷小量的概念与性质,1、 无穷小量的概念,例如,21,注意,（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.,定理1,其中,是当,时的无穷小.,2、 无穷小量的性质,性质1 有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,22,性质2 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,性质3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,例1,求极限,解,因为,所以,是有界函数，,又当,时，,是无穷小量，,所以由性质3知，,23,二、 无穷大量的概念与性质,1、 无穷大量的概念,24,注意,1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,3）无穷小与无穷大的关系,25,2、 无穷小量的性质,性质1 无穷大量与有界函数的代数和仍是无穷大量.,性质2 两个无穷大量的乘积仍是无穷大量.,例2,求极限,解,因为,是有界函数，,所以由性质1知，,26,1.7 极限的性质与运算法则,一、 极限的性质,二、极限的运算法则,27,一、 极限的性质,性质1 (唯一性) 若极限存在,则极限值唯一.,性质2 有极限的数列必有界.,性质3 若,存在,则函数,在,的某空心,邻域内有界.,性质4(局部保号性),28,性质5,二、极限的运算法则,1、极限的四则运算法则,定理1,证,29,由无穷小运算法则,得,推论1,推论2,推论3,且,则,30,2、复合函数的极限运算法则,且对满足,定理2,则复合函数,当,的极限存在,且,极限的复合运算法则是求极限的一个重要法则,具有广泛的应用性.,31,3、求极限方法举例,例1,解,32,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例2,33,解,例3,(消去零因子法),34,例4,解,(无穷小因子分出法),35,小结:,36,例5,解,先变形再求极限.,37,例6,解法 1,原式=,解法 2,原式=,38,例7,求极限,解,作变量代换,设,则,39,1.8 极限存在性准则与两个重要极限,一、 极限存在性准则,二、两个重要的极限,40,一、 极限存在性准则,准则1 称为夹逼准则.,准则 设在,的某空心邻域,有,那末,存在, 且等于,注意,(1)对于,等其他函数极限的情况,也有类似的结果;,41,(2)对于数列的夹逼定理为,例1,求极限,解,由于,又因为,由夹逼定理知,42,例2,解,由夹逼定理得,43,准则 单调有界准则,单调增加,单调减少,单调数列.,几何解释,准则 单调有界数列必有极限.,44,例3,证,(舍去),45,二、两个重要的极限,AOB 的面积圆扇形AOB的面积 AOC的面积,46,47,例6,解,例5,