ch077版最优风险资产组合.ppt

第7章 最优风险投资组合,第7章 最优风险投资组合,从分散化如何降低投资组合投资回报的风险开始。在建立这一基点之后，我们将从资产配置和证券选择的两方面考察有效分散化策略。我们将首先考察一个不包含无风险资产的资产配置，我们将运用两个有风险的共同基金：一个是长期债券基金，一个是股票基金。然后我们将加上一个无风险资产来决定一个最优投资组合。,第7章 最优风险投资组合,7.1 分散化与投资组合风险 7.2 两种风险资产的投资组合 7.3 在股票、债券与国库券之间的资产配置 7.4 马科维茨的投资组合选择模型 7.5 风险聚集、风险分担与长期资产的风险,7.1分散化与投资组合风险,当所有的风险都是对特定公司有影响时，如图7-1a )所示，分散化就可以把风险降至任意低的水平。原因是所有风险来源都是独立的，任何一种风险来源的暴露可以降低至可忽略的水平。 由于独立的风险来源使风险降低至一个很低的水平，有时被称为保险原则，因为保险公司通过向具有独立风险来源的不同客户开出许多保单，每个保单只占保险公司总资产组合的一小部分，用这种分散化的方法达到降低风险的目的。,7.1分散化与投资组合风险,图7-1 a),股票数量n,标准差,7.1分散化与投资组合风险,当共同的风险来源影响所有的公司时，即便是最充分的分散化亦不能消除风险。在图7-1b )中，资产组合的标准差随着证券的增加而下降，但是，它不能降至零。 在最充分分散条件下还保存的风险是市场风险，它来源于与市场有关的因素，这种风险亦被称为系统风险或不可分散的风险。相反，那些可被分散化消除的风险被称为独特风险、特定企业风险、非系统风险或可分散风险。,7.1分散化与投资组合风险,股票数量n,标准差 ,市场风险(系统风险),独特风险(非系统风险),图7-1 投资组合风险是投资组合中股票数量的函数,7.1分散化与投资组合风险,结论：一种股票：风险来自宏观经济和企业自己 两种股票： 股票组合降低风险 平均地，资产组合风险随着分散化而下降，但是分散化降低风险的能力受到系统风险的制约 。 下图是纽约证券交易所的数据得出的投资组合分散风险的效果。,图7-2 投资组合分散化,我们将考察一个包括两个共同基金的投资组合，一个是专门投资于长期债券的债券资产组合D，一个是专门投资于股权证券的股票基金E，表 7-1列出了影响其收益率的参数，这些参数可以从真实的基金中估计得出。,7.2两种风险资产的投资组合,资产组合中的数学协方差,我们引用协方差与相关系数的概念来量化资产的套期保值或分散化。 协方差(covariance)测度的是两个风险资产收益的相互影响的方向与程度。正的协方差意味着资产收益同向变动；负的协方差表明它们朝相反的方向变动，譬如，贝斯特凯迪公司股票与糖凯恩公司股票的关系就是反方向变动的。,资产组合中的数学协方差,对于： 糖生产的正常年份 异常年份 名 称 股市的牛市 股市的熊市 糖的生产危机 概率 0.50 0.30 0.2 收益率 (%) 25 10 -25 （贝斯特凯迪） 凯恩收益率 (%) 1 -5 35 计算在某一特定情景中，每种股票与预期收益的偏差的积， E(r贝斯特凯迪 )=10.5%, E(r凯恩)=6%: r贝斯特凯迪-E(r贝斯特凯迪) r凯恩-E(r凯恩) ,资产组合中的数学协方差,协方差的定义为： Cov(r贝斯特凯迪，r凯恩) Pr(s)r贝斯特凯迪(s)-E(r贝斯特凯迪)r凯恩(s)-E(r凯恩) 对任意两个证券rD ，rE 有：,资产组合中的数学协方差,在本例中，由于当 E(r贝斯特凯迪 )10.5%，E(r凯恩)6%时每一情景的收益已知，我们可以计算两种股票的协方差为： Cov(r贝斯特凯迪 ，r凯恩) 0.5(25 -10.5)(1-6)0.3(10-10.5)(-5-6)0.2(-25-10.5)(35-6)-240.5 负的协方差证实了糖凯恩公司股票对贝斯特凯迪公司股票具有的套期保值作用。糖凯恩公司股票的收益与贝斯特凯迪公司股票是呈反方向变动的。,资产组合中的数学规则5,规则 5: 方差分别是 s12和 s22 的两个风险资产以 w1 和w2 的权重构成一个资产组合， 该资产组合的方差 p2 为： p2 = w1212 + w2222 + 2w1w2 Cov(r1，r2) Cov(r1，r2) =证券1和证券2收益的协方差,组合收益率rp = wDrD +wErE (7-1) wD =投资于债券组合的份额 rD =债券组合的收益率 w=投资于股票基金的份额 r=股票基金的收益率,7.2两种风险资产的投资组合,资产组合P的期望收益是资产组合中各种证券的期望收益的加权平均值： E(rp)=wDE(rD)+wEE(rE) (7-2),7.2两种风险资产的投资组合,sp2 = w2s2 + w2sE2 + 2wDwECov(rD,rE) （7-3）,7.2两种风险资产的投资组合,7.2两种风险资产的投资组合,一个随机变量关于自身的协方差就是该变量的方差 （7-4） 因此，另一种表示投资组合方差的方法是： (7-5) 总之，投资组合的方差是协方差项的加权求和，权重为协方差项中的每对资产的组合比例乘积。,表7-2 通过协方差矩阵计算投资组合方差,相关系数,DE = 收益的相关系数,DE =Cov(r，rE)/ sDsE （7-6） Cov(r，rD) = D2,D = 债券组合D收益的标准差 E = 股票基金组合E收益的标准差,p2 =w2 2+w2 E2+2wDwE DEDE （7-7）,两个变量的相关系数等于它们的协方差除以标准差（之积）,相关系数：取值范围,如果 = 1.0, 证券组合将是正相关 如果 r = -1.0, 证券组合将是负相关,r DE 取值范围 -1.0 r DE 1.0,相关系数：取值范围,如果 r = 1.0,sp2 = w2s2 + w2sE2 + 2wDwE D E （7-7）,sp = ws + wsE （7-9）,sp2 = (ws + wsE)2 （7-8）,相关系数：取值范围,如果 r = -1.0(完全负相关),sp2 = w2s2 + w2sE2 - 2wDwE D E,sp = ws - wsE ,sp2 = (ws - wsE)2,令ws - wsE = 0 w=E/(D + E) w E= D / (D+E) =1-WD,例题（完全负相关）,假设证券市场有多种股票，股票A与股票B的特征如下：股票A期望收益率10%，标准差5%；股票B期望收益率15%，标准差10%。股票A，B相关系数AB =-1。假定投资者能够以无风险利率rf借款，那么rf =？,7.2两种风险资产的投资组合,如果 = 1.0，具有完全正相关的资产组合的标准差恰好是资产组合中每一部分证券标准差的加权平均值。在其他情况下，相关系数小于1，这将使资产组合的标准差小于资产组合中各部分证券标准差的加权平均值； 在资产组合中，如果一个套期资产与其他资产负相关，这样的资产对于降低整体风险有特殊的作用； 因为资产组合的期望收益是资产组合中各组成证券的期望收益的加权平均值，其标准差小于各组成资产标准差的加权平均值。非完全相关资产组成的资产组合的风险-收益机会总是优于资产组合中各个证券单独的风险-收益机会。各资产之间的相关性越低，所得的有效性就越高。,7.2两种风险资产的资产组合例7-1,例7-1资产组合的风险与收益 让我们把这一分析运用到表7-1中的债券与股票中，使用这些数据，根据资产组合的期望收益、方差与标准方差公式为： E(rp)0.08wD0.13wE p20.122wD20.202wE220.120.200.3wDwE 0.0144wD20.04wE20.0144wDwE p( p2)1/2 测算一下各种资产组合权重对期望收益和方差的影响。假设我们改变债券的投资比例，这种改变对收益的影响在表7 - 3中列出。,7.2两种风险资产的投资组合,图7-3是根据上表（表7-3）得出的期望收益与股票基金E投资比例关系，当股票投资比例从0到1时（债券投资从1到0），资产组合的期望收益率从8%（债券的期望收益率）上升到13%（股票的期望收益率）。 图7-4显示了标准差与股票基金投资权重的关系。,图7-3 投资组合期望收益率是投资比例的函数,图7-4 投资组合标准差是投资比例的函数,p,7.2两种风险资产的投资组合,哪种资产组合的标准差的最小水平是可接受的？根据表7-1规定的参数值，根据公式（7-3） sp2 = w2s2 + w2sE2 + 2wDwECov(rD,rE)， 用1-wD代替wE得： sp2 = w2s2 + （1-wD ）2sE2 + 2wD (1-wD )Cov(rD,rE) 等式两边求一介导数令其=0，可得出最小方差投资组合的权重：,7.2两种风险资产的投资组合,根据表7-1规定的参数值，可以得出资产组合的权重： wMin(D)0.82 wMin(E)1-0.820.18 根据表7-3中0.3列的数据，这个最小化方差的资产组合的标准差为： Min(0.8220.122)(0.1820.22)(20.820.180.72)1/2 11.45%,图7-4 投资组合标准差是投资比例的函数,p,7.2两种风险资产的投资组合,图7 - 4中的实线表示当0.3时，标准差是投资比例的函数，这条线经过wD1和wE1两个非分散化的资产组合。我们发现最小方差投资组合有一个小于资产组合中各个单独资产的标准差，这显示了分散化的影响 。 黑色实线连接非分散化下的全部是债券或全部是股票的资产组合，即wD1或wE1，表示资产组合中的资产完全正相关， 1。在这种情况下，分散化没有好处，资产组合的标准差只是组合中各资产标准差的简单加权平均值 。,7.2两种风险资产的投资组合,虚抛物线描绘出非相关资产，即0时的资产组合的风险。相关系数越低，分散化就越有效，资产组合风险就越低（至少在两种资产的持有量为正时），最小的标准差是当0时，为10.29%（见表7-3）,低于组合中各个资产的标准差。 最后，三角形的虚折线显示了完全对冲的情况，当两种资产为完全负相关，即-1时，资产组合的最小方差为与标准差为零 。,7.2两种风险资产的投资组合,我们可以把图7-3和7-4组合在一起，以揭示在有关资产的参数给定的情况下，资产组合风险（标准差）与期望收益率的关系，结果见图7-5。对于任一对投资比率为wD、wE的资产，我们可以从图7 -3中得到它们的期望收益，从图7-4中得到它们的标准差。期望收益与标准差在表7-3中列出，并在图7-5中给出了它们的几何图形。,图7-5 投资组合的期望收益是标准差的函数,7.2两种风险资产的投资组合,相关性取决于相关系数 ； -1.0 +1.0； 相关性愈小，降低风险的可能性就大； 如果= +1.0,降低风险是不可能的 ； 在极端的完全负相关的情况下，我们可以有一个完全对冲掉风险的机会，并能构造一个零方差的资产组合。,例：求最小方差组合,求最小方差组合的期望收益及风险,1,2,- Cov(r1,r2),W1*,=,+,- 2Cov(r1r2),2,W2,= (1 - W1),例：求最小方差组合,s 2,s 2,s 2,先根据式7-3写出资产组合的方差，用（1-W1）代替W2求出公式对于W1的系数，令其=0，得到：,W1,=,(.2)2 - (.2)(.15)(.2),(.15)2 + (.2)2 - 2(.2)(.15)(.2),W1,= .6733,W2,= (1 - .6733) = .3267,最小方差组合 r = 0.2 Minimum Variance Combination: r =0 .2,E(rp )= 0.6733*(0.10) + 0.3267*(0.14) =0.1131,p,= (.6733)2(.15)2 + (.3267)2(.2)2 +,2(.6733)(.3267)(.2)(.15)(.2),1/2,p,= .0171,1/2,= 0.1308,最小方差： 在r =0 .2 时的收益和风险 Minimum Variance: Return and Risk with r =0 .2,s,s,W1,=,(.2)2 - (.2)(.15)(.2),(.15)2 + (.2)2 - 2(.2)(.15)(-.3),W1,= .6087,W2,= (1 - .6087) = .3913,最小方差组合 r = -0.3 Minimum Variance Combination: r = -0.3,E(rp )= .6087(.10) + .3913(.14) = 0.1157,p,= (.6087)2(.15)2 + (.3913)2(.2)2 +,2(.6087)(.3913)(.2)(.15)(-.3),1/2,p,= .0102,1/2,=0 .1009,最小方差： 在r =-0.3 时的收益和风险,s,s,例题（最小方差组合）,一位养老基金管理人正在考虑3种共同基金：股票基金（S），E（rs）=20%，s =30%；长期政府债券基金（B），E（rB）=12%，B =15%；短期国库券基金，收益率为8%。另有，S，B =0.1。试求：上述两种风险基金的最小方差组合的投资比例是多少？该组合的期望收益和标准差又是多少？,7.3 资产在股票、债券与国库券之间的配置,在给定收益率时优化组合将使风险降到最低水平 优化替换被描绘为有效边界 这些组合是重要的,7.3 资产在股票、债券与国库券之间的配置 债券与股权基金的机会集合和两条可行的资本配置线；图7-6,7.3 资产在股票、债券与国库券之间的配置,两条可能的资本配置线（CAL）从无风险利率（ rf5%）连到两种可行的资产组合。第一条可能的资本配置线通过最小方差的资产组合A，即由82%的债券与18%的股票组成的资产组合（表7-3底部）。资产组合A的期望收益为8.9%，标准差为11.45%。由于国库券利率为5%，报酬与波动性比率，即资本配置线的斜率为: SA=E(rA)-rf/A=（8.9-5）/11.45=0.34,7.3 资产在股票、债券与国库券之间的配置,现在考虑用资产组合B替代资产组合A，资产组合B中70%为债券， 30%为股票，它的期望收益率为9.5%（风险溢价为4.5%），标准差为11.7%。因此，该资产组合的资本配置线的报酬与波动性比率为： SB =（9.55）/11.7= 0.38 这个值比我们用最小方差的资产组合与国库券所得到的资本配置线的酬报与波动性比率要大，因此，资产组合B超过了资产组合A ；,7.3 资产在股票、债券与国库券之间的配置,但是为什么要在资产组合B处就停止呢？我们让资本配置线变动，最终使它的斜率与投资机会集合的斜率一样，这将获得有最高的、可行的报酬与波动性比率的资本配置线。因此，相切的资产组合P（图7-7）就是加入国库券的最优风险资产组合。从图7-7中，我们可以发现资产组合P的期望收益与标准差为： E(rP)11%，P14.2%。,图7-7,最优风险资产组合,最优风险资产组合的权重解,例7-2最优风险资产组合,这也是资产组合P的报酬与波动性比率。我们注意到这个斜率大于任一可能的其他资产组合的斜率。因此这是可得到的最优资本配置线的斜率。,例题 （构建最优风险资产组合）,风险股票基金A：E（rA）=10%，A =20%；风险股票基金B：E（rB）=30%，B =60%；短期国库券期望收益率为5%，股票基金A、B的相关系数AB =-0.2。试求出最优风险资产组合P的资产构成及其期望收益与标准差。,例题（最优投资组合）,有两个可行的投资组合A和B。A：期望收益8.9%，标准差11.45%；B：期望收益9.5%，标准差11.7%。无风险利率为5%。试问A、B投资组合哪个更优？,例7.3 最优完整投资组合,一个风险厌恶相关系数为A4的投资者，他在资产组合P中的投资头寸为： y*=E(rP)-rf/AP2=0.7439 （7-14） 因此，这个投资者将74.39%的财产投资于风险资产组合P，25.61%的资产投资于国库券。资产组合P中包括40%的债券，因此债券所占的比例为ywD0.40.74390.2976，即29.76%。同样，投资于股票的权重为ywE0.60.74390.4463，即44.63%。这个资产配置问题的图表解在图7 - 8和图7- 9中给出。,图7-8 最优全部投资组合的决策,无差异曲线，根据个人偏好而不同,最优完全投资组合,最优风险投资组合,风险资产的机会集,图7-9最优全部投资组合的比例,构建一个完整的资产组合的步骤,完成一个完整的资产组合的步骤： 1) 确定所有各类证券的回报特征（例如期望收益、方差、协方差或相关系数等）。 2) 建造风险资产组合： a. 计算最优风险资产组合P（7 - 13式）； b. 运用步骤（ a）中确定的权重和7 - 1式与7 - 2式来计算资产组合P的资产。 3) 把基金配置在风险资产组合和无风险资产上： a. 计算资产组合P（风险资产组合）和国库券（无风险资产）的权重（ 7 - 14式）； b. 计算出完整的资产组合中投资于每一种资产和国库券上的投资份额。,7.4马科维茨的投资组合选择模型,我们可在多种风险证券和无风险资产中间进行投资组合的构造。在两种风险资产的例子中，问题分为三个部分: 第一，我们要从可能的风险资产组合中识别出风险 - 收益组合； 第二，我们通过资产组合权重的计算，找出最优风险资产组合，此时有最大斜率的资本配置线； 最后，我们通过加入无风险资产，找到完整的资产组合。,图7-10 风险投资组合的最小方差边界,有效边界(上半段弧线),最小方差边界(整个弧线),7.4.1证券选择,第一步是决定投资者可能的风险-收益机会，它们用风险资产的最小方差边界来表示。这一边界表示为在给定期望收益的条件下，可获得资产组合的最低可能方差的图形。 在给定一组期望收益、方差和协方差数据时，我们可以计算出任何有特定期望收益的资产组合的最小方差。对期望收益与标准差相对应的点进行连接，就可以得到图7-10。,7.4.1证券选择,优化计划的第二部分涉及到无风险资产。和以前一样，我们寻找一条有最高酬报与波动性比率的资本配置线（即有最陡斜率的资本配置线）。参见图7 - 11。 最优风险资产组合P的资本配置线与有效率边界相切。这条线优于任一条可能的线（虚线穿过了边界），资产组合P是最优风险资产组合。 最后，第三个问题是单个投资者要选择出最优风险资产组合与国库券间的资产组合，这正是图7- 8所作的。,7.4.2资本配置与资产分割 最令人惊叹的结论是，资产组合经理将给所有客户提供相同的风险资产组合P，而不顾他们的风险厌恶程度。不同的风险厌恶程度可通过在资本配置线上选择不同的点来实现。这样，不同客户的选择体现在风险厌恶者在无风险资产中多投资，而少投资于最优风险资产组合。但是，所有客户都使用资产组合P作为最优风险投资工具。这一结果被称为资产分割。,7.4.2 资本配置与资产分割,资产分割告诉我们资产组合选择问题可分为两项相互独立的工作。第一项工作是决定最优风险资产组合，这是完全技术性的。提供经理所需的输入清单，所有的客户得到同样的风险资产组合，而不管他们的风险厌恶程度。第二项工作是根据个人的偏好，决定资本在国库券和风险资产组合中的分配，这时客户是决策者； 关键的一点是经理们提供给所有的客户相同的风险资产组合，这使得专业管理更具效率和低成本。一个管理公司可以为任意多的客户提供服务，而边际管理成本非常小；,7.4.2 资本配置与资产分割,但是，在实践中，不同经理的输入清单是不一样的，因此得到不同的有效率边界，提供给客户