2019届高考数学复习鸭部分坐标系与参数方程学案理.docx

坐标系与参数方程第一节坐标系1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换2极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系(2)极坐标极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为.极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为.极坐标：有序数对(，)叫做点M的极坐标，记为M(，)一般不作特殊说明时，我们认为0，可取任意实数3极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)，则它们之间的关系为：4简单曲线的极坐标方程曲线极坐标方程圆心为极点，半径为r的圆r(02)圆心为(r,0)，半径为r的圆2rcos 圆心为，半径为r的圆2rsin (0)过极点，倾斜角为的直线(R)或(R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线cos a过点，与极轴平行的直线sin a(00时，可取；当x0，y0)在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos .(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan 02，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.解：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2(y1)2a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆将xcos ，ysin 代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为22sin 1a20.(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组若0，由方程组得16cos28sin cos 1a20，由已知tan 2，可得16cos28sin cos 0，从而1a20，解得a1(舍去)或a1.当a1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上所以a1.5(2018洛阳模拟)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2(y2)24.以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(1)求圆C的极坐标方程；(2)直线l的极坐标方程是2sin5，射 线OM：与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长解：(1)将xcos ，ysin 代入x2(y2)24，得圆C的极坐标方程为4sin .(2)设P(1，1)，则由解得12，1.设Q(2，2)，则由解得25，2.所以|PQ|213.6在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的极坐标方程为cos1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点(1)求C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程解：(1)由cos1得1.从而C的直角坐标方程为xy1，即xy2.当0时，2，所以M(2,0)当时，所以N.(2)由(1)知M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为.所以P点的直角坐标为，则P点的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为(R)7(2018福建质检)在直角坐标系xOy中，曲线C1的普通方程为(x2)2y24，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin ，曲线C3：(0)，A(2,0)(1)把C1的普通方程化为极坐标方程；(2)设C3分别交C1，C2于点P，Q，求APQ的面积解：(1)因为C1的普通方程为(x2)2y24，即x2y24x0，所以C1的极坐标方程为24cos 0，即4cos .(2)依题意，设点P，Q的极坐标分别为，.将代入4cos ，得12，将代入2sin ，得21，所以|PQ|12|21.依题意，点A(2,0)到曲线(0)的距离d|OA|sin 1，所以SAPQ|PQ|d(21)1.8(2018贵州适应性考试)在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为4cos ，曲线C2的极坐标方程为cos2sin .(1)求曲线C2的直角坐标方程；(2)过原点且倾斜角为的射线l与曲线C1，C2分别相交于A，B两点(A，B异于原点)，求|OA|OB|的取值范围解：(1)由曲线C2的极坐标方程为cos2sin ，两边同乘以，得2cos2sin ，故曲线C2的直角坐标方程为x2y.(2)射线l的极坐标方程为，把射线l的极坐标方程代入曲线C1的极坐标方程得|OA|4cos ，把射线l的极坐标方程代入曲线C2的极坐标方程得|OB|，|OA|OB|4cos 4tan .，|OA|OB|的取值范围是.第二节参数方程1参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数：并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称参数相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程2直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)(2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(为参数)(3)椭圆1(ab0)的参数方程为 (为参数)(4)双曲线1(a0，b0)的参数方程为 (为参数)1在平面直角坐标系中，若曲线C的参数方程为 (t为参数)，则其普通方程为_解析：依题意，消去参数可得x2y1，即xy10.答案：xy102椭圆C的参数方程为(为参数)，过左焦点F1的直线l与C相交于A，B两点，则|AB|min_.解析：由(为参数)得，1，当ABx轴时，|AB|有最小值所以|AB|min2.答案：3曲线C的参数方程为(为参数)，则曲线C的普通方程为_解析：由(为参数)消去参数，得y22x2(1x1)答案：y22x2(1x1)4在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的方程为x21，设直线l与椭圆C相交于A，B两点，则线段AB的长为_解析：将直线l的参数方程代入x21，得21，即7t216t0，解得t10，t2，所以|AB|t1t2|.答案：考什么怎么考参数方程与普通方程的互化是每年高考的热点内容，常与极坐标、直线与圆锥曲线的位置关系综合考查，属于基础题1将下列参数方程化为普通方程(1)(t为参数)；(2)(为参数)解：(1)221，x2y21.t210，t1或t1.又x，x0.当t1时，0x1，当t1时，1x0)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为cos2.(1)设P是曲线C上的一个动点，当a2时，求点P到直线l的距离的最小值；(2)若曲线C上的所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围解：(1)由cos2，得(cos sin )2，化成直角坐标方程，得(xy)2，即直线l的方程为xy40.依题意，设P(2cos t,2sin t)，则点P到直线l的距离d22cos.当cos1时，dmin22.故点P到直线l的距离的最小值为22.(2)曲线C上的所有点均在直线l的右下方，对tR，有acos t2sin t40恒成立，即cos(t)4恒成立，0，0a0，即a0，t1t2，t1t2.根据参数方程的几何意义可知|PA|2|t1|，|PB|2|t2|，又|PA|2|PB|可得2|t1|22|t2|，即t12t2或t12t2.当t12t2时，有解得a，符合题意当t12t2时，有解得a，符合题意综上，实数a或a.3(2018贵阳模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2sin .(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)若A，B分别为曲线C1，C2上的动点，求当AB取最小值时AOB的面积解：(1)由(t为参数)得C1的普通方程为(x4)2(y5)29，由2sin ，得22sin ，将x2y22，ysin 代入上式，得C2的直角坐标方程为x2(y1)21.(2)如图，当A，B，C1，C2四点共线，且A，B在线段C1C2上时，|AB|取得最小值，由(1)得C1(4,5)，C2(0,1)，则kC1C21，直线C1C2的方程为xy10，点O到直线C1C2的距离d，又|AB|C1C2|13444，SAOBd|AB|(44)2.4(2018广州综合测试)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：2cos.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值解：(1)由(t为参数)消去t得xy40，所以直线l的普通方程为xy40.由2cos22cos 2sin ，得22cos 2sin .将2x2y2，cos x，sin y代入上式，得x2y22x2y，即(x1)2(y1)22.所以曲线C的直角坐标方程为(x1)2(y1)22.(2)法一：设曲线C上的点P(1cos ，1sin )，则点P到直线l的距离d.当sin1时，dmax2.所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为2.法二：设与直线l平行的直线l：xyb0，当直线l与圆C相切时，解得b0或b4(舍去)，所以直线l的方程为xy0.因为直线l与直线l的距离d2.所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为2.5在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t0)，其中0.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin ，C3：2cos .(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2y22y0，曲线C3的直角坐标方程为x2y22x0.联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为(R，0)，其中0.因此A的极坐标为(2sin ，)，B的极坐标为(2cos ，)所以|AB|2sin 2cos |4.当时，|AB|取得最大值，最大值为4.6已知直线L的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.(1)求直线L的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；(2)过曲线C上任意一点P作与直线L夹角为的直线l，设直线l与直线L的交点为A，求|PA|的最大值解：(1)由(t为参数)，得L的普通方程为2xy60，令xcos ，ysin ，得直线L的极坐标方程为2cos sin 60，由曲线C的极坐标方程，知232cos24，所以曲线C的直角坐标方程为x21.(2)由(1)，知直线L的普通方程为2xy60，设曲线C上任意一点P(cos ，2sin )，则点P到直线L的距离d.由题意得|PA|，所以当sin1时，|PA|取得最大值，最大值为.7(2018石家庄一模)在平面直角坐标系中，将曲线C1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为2.(1)求曲线C2的参数方程；(2)过坐标原点O且关于y轴对称的两条直线l1与l2分别交曲线C2于A，C和B，D，且点A在第一象限，当四边形ABCD的周长最大时，求直线l1的普通方程解：(1)由2，得24，所以曲线C1的直角坐标方程为x2y24.故由题意可得曲线C2的直角坐标方程为y21.所以曲线C2的参数方程为(为参数)(2)设四边形ABCD的周长为l，点A(2cos ，sin )，则l8cos 4sin 4sin()，所以当2k(kZ)时，l取得最大值，最大值为4，此时2k(kZ)，所以2cos 2sin ，sin cos ，此时A.所以直线l1的普通方程为x4y0.8(2018成都诊断)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)在以