《数列极限收敛准则》PPT课件.ppt

, 一元微积分学,高 等 数 学 A（1）,第四讲 数列极限收敛准则,授课教师：彭亚新,第 二 章 极 限,本章学习要求： 了解数列极限、函数极限概念，知道运用“”和 “X ” 语言描 述函数的极限。 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。,第二章 极 限,第一节 数列极限,一、数列及其简单性质,二、数列的极限,三、数列极限的性质,四、数列的收敛准则,1.单调收敛准则,单调减少有下界的数列必有极限 .,单调增加有上界的数列必有极限 .,一、数列极限收敛准则,通常说成：单调有界的数列必有极限.,证,由中学的牛顿二项式展开公式,又,等比数列求和,放大不等式,每个括号小于 1 .,综上所述, 数列xn是单调增加且有上 界的, 由极限存在准则可知, 该数列的极限 存在, 通常将它记为 e, 即,e 称为欧拉常数.,欧拉一身经历坎坷。他于1707年生于瑞士 巴塞尔，20年后却永远离开了祖国。在他76年 的生命历程中，还有25年住在德国柏林（1741 1766年），其余时间则留在俄国彼得堡。 欧拉31岁时右眼失明，59岁时双目失明。 他的寓所和财产曾被烈火烧尽（1771年），与 他共同生活40年的结发之妻先他10年去世。,欧拉声誉显赫。12次获巴黎科学院大奖（17381772年） 曾任彼得堡科学院、柏林科学院、伦敦皇家学会、巴塞尔物理 数学会、巴黎科学院等科学团体的成员。,欧拉成就卓著。生前就出版了560种论著，另有更多未 出版的论著。仅仅双目失明后的 17 年间，还口述了几本书 和约400篇论文。欧拉是目前已知成果最多的数学家。 欧拉聪明早慧，13岁入巴塞尔大学学文科，两年后获学 士学位。第二年又获硕士学位。后为了满足父亲的愿望，学 了一段时期的神学和语言学。从18岁开始就一直从事数学研 究工作。 欧拉具有超人的计算能力。法国天文学家、物理学家阿 拉哥（D. F. J. Arago，17861853）说：“欧拉计算一点也不 费劲，正像人呼吸空气、或像老鹰乘风飞翔一样。”,有一次，欧拉的两个学生计算一个复杂的收敛级数的 和，加到第17 项时两人发现在第 50 位数字相差一个单位。 为了确定究竟谁对，欧拉用心算进行了全部运算，准确地 找出了错误。特别是在他双目失明后，运用心算解决了使 牛顿头疼的月球运动的复杂分析运算。 欧拉创用 a，b，c 表示三角形的三条边，用 A，B，C 表示对应的三个角( 1748 )；创用 表示求和符号 ( 1755 )； 提倡用 表示圆周率（1736）；1727年用 e 表示自然对数 的底；还用y 表示差分等等。 十八世纪四十年代，欧拉的一些著作就已传到中国， 如他在1748年出版的无穷分析引论。,2.数列极限的夹逼定理,设数列 xn, yn, zn 满足下列关系:,(2),则,想想：如何证明夹逼定理?,解,由于,想得通吧？,解,夹逼定理,解,解,夹逼定理,请自己做!,解,3. 柯西收敛准则,证,由柯西收敛准则可知, 该数列是发散的.,柯 西 A.L.Cauchy (17891857),业绩永存的 数学大师,柯西 1789 年8月21日出生于巴黎。父亲是一位精通 古典文学的律师，与当时法国的大数学家拉格朗日和拉 普拉斯交往密切。少年时代柯西的数学才华就颇受这两 位大数学的赞赏，并预言柯西日后必成大器。在拉格朗 日的建议下，其父亲加强了对柯西文学素质的培养，使 得后来柯西在诗歌方面也表现出很高的才华。 18051810年，柯西考入巴黎理工学校，两年后以 第一名的成绩被巴黎桥梁公路学院录取，毕业时获该校 会考大奖。1810年成为工程师。1815年获科学院数学大 奖，1816年3月被任命为巴黎科学院院士，同年9月，被 任命为巴黎理工学校分析学和力学教授。,由于身体欠佳，接受拉格朗日和拉普拉斯的劝告，放 弃工程师工作，致力于纯数学研究。柯西在数学上的最大 贡献是在微积分中引进了极限概念，并以极限为基础建立 了逻辑清晰的分析体系。这是微积分发展史上的一个重大 事件，也是柯西对人类科学发展所作的巨大贡献。1821年 柯西提出了极限定义的方法，把极限过程用不等式刻划 出来，后经维尔斯特拉斯改进为现在教科书上所说的极限 定义或定义。当今所有微积分教科书都还（至少在 本质上）沿用柯西关于极限、连续、收敛等概念。柯西对 定积分作了系统的开创性的工作。他把定积分定义为和的 极限，并强调在作定积分运算前，应判断定积分的存在性。,他首先利用中值定理证明了微积分基本定理。通过柯 西以及后来维尔斯特拉斯的艰苦工作，使数学分析的基本 概念得到严格化处理，从而结束了 200 年来微积分在思想 上的混乱局面，并使微积分发展为现代数学最基础、最庞 大的数学学科。 数学分析严谨化的工作一开始就产生了很大的影响。 在一次学术会议上柯西提出了级数收敛理论，会后，拉普 拉斯急忙回家，关起门来，避不见人，直到将他所发表和 未发表的与级数有关的论文和著作全部检查一遍，确认无 误为止。,柯西一生撰写的数学论著有800多种。他是19 个科学院 或著名学术团体的成员。1838年他还被授予男爵封号。他在 学术上的贡献涉及到分析学、复变函数论、弹性力学、微分 方程、群论、行列式、数论、解析几何、数值分析、微分几