单位根检验知识概述

第9章 单位根检验9.1 DF分布由于虚假回归问题的存在，在回归模型中应避免直接使用非平稳变量。因此检验变量的平稳性是一个必须解决的问题。在第二章中介绍用相关图判断时间序列的平稳性。这一章则给出严格的统计检验方法，即单位根检验。先给出三个简单的自回归数据生成过程（d.g.p.）， yt = yt-1 + ut , y0 = 0, ut IID(0, s 2) (9.1) yt = m + yt-1 + ut , y0 = 0, ut IID(0, s 2) (9.2) yt = m + a t + yt-1 + ut , y0 = 0, ut IID(0, s 2) (9.3)其中m 称作位移项（漂移项），a t称为趋势项。显然，对于以上三个模型中的yt 都是非平稳的。 (9.1) 式是无漂移项和趋势项的随机游走过程。见图9.1a。 (9.2) 式是随机趋势过程。将(9.2) 式做如下变换则展示的更清楚。 yt = m + yt-1 + ut = m + (m + yt-2 + ut-1) + ut = = y0 + m t + = m t + (9.4) 图9.1a 由yt = yt-1+ ut生成的序列 图9.1b 深圳股票综合指数（file:stock）这是一个趋势项和一个随机游走过程之和。所以称作随机趋势过程，见图9.2，虽然总趋势向上，但误差项上下漂动。因为对yt作一次差分 D yt = yt - yt-1 = m + ut （平稳） (9.5)序列就平稳了，所以也称yt为差分平稳过程。 图9.2a 由yt = 0.1+ yt-1+ ut生成的序列 图9.2b 由yt = - 0.1+ yt-1+ ut生成的序列（file:simu2）下面的随机过程 yt = m +a t + ut (9.6)称作趋势平稳过程或退势平稳过程，即减去趋势后，为平稳过程。yt - a t = m + ut。确定性趋势过程见图9.3。 图9.3 yt = 0.1 t + ut 生成的序列（file:simu2） 图9.4 yt = 0.1+ 0.1t + yt-1+ ut生成的序列（file:simu2）图9.4给出的是含有随机趋势和确定性趋势的混合随机过程。 yt = m + a t + yt-1 + ut = m + a t + (m + a (t-1) + yt-2 + ut-1) + ut = = y0 + m t + a t 2 - a (1+2 + t) += y0 + m t + a t 2 -( 1+ t ) t += (m -) t +t 2 + (设定y0=0)含有随机趋势和确定性趋势的混合随机过程实际上是随机游走加上一个时间t的2次方过程。这种过程在经济问题中非常少见。实际经济序列的增长趋势常常是指数形式的。如中国的国民收入和消费见图9.5。然而无论随机趋势过程还是确定性趋势过程，所设定的趋势都是线性的。这是为什么？原因是原序列取对数后，趋势项常是线性的。例如yt = e b t 则 Ln yt = b t所以用经济序列建立模型之前应先取对数。对数的中国的国民收入和消费见图9.6。这样做的另一个好处是有助于消除异方差。 图9.5 中国的国民收入和消费 图9.6 对数的中国国民收入和消费 证明可知，当T 时，统计量DF = (9.7)同理，对于模型 (9.2) 和 (9.3) 的DF统计量的极限分布也是Wiener过程的函数。由于这些极限分布无法用解析的方法求解，一般都是用模拟和数值计算的方法进行研究。 蒙特卡罗模拟方法得到的模型(9.1)、 (9.2) 和 (9.3) 的DF统计量的分布见图9.7。图9.7 附表6 DF分布百分位数表 模型 Ta0.010.025 0.05 0.10 0.90 0.950.975 0.99 25-2.66- 2.26- 1.95- 1.600.921.331.702.16 50-2.62- 2.25- 1.95- 1.610.911.311.662.08 (a) 100-2.60- 2.24- 1.95- 1.610.901.291.642.03模型 (9.1) 250-2.58- 2.23- 1.95- 1.620.891.291.632.01 500-2.58- 2.23- 1.95- 1.620.891.281.622.00 -2.58- 2.23- 1.95- 1.620.891.281.622.00 25-3.75- 3.33- 3.00- 2.63- 0.370.000.340.72 50-3.58- 3.22- 2.93- 2.60- 0.40- 0.030.290.66 (b) 100-3.51- 3.17- 2.89- 2.58- 0.42- 0.050.260.63模型 (9.2) 250-3.46- 3.14- 2.88- 2.57- 0.42- 0.060.240.62 500-3.44- 3.13- 2.87- 2.57- 0.43- 0.070.240.61 -3.43- 3.12- 2.86- 2.57- 0.44- 0.070.230.60 25-4.38- 3.95- 3.60- 3.24- 1.14- 0.80- 0.50- 0.15 50-4.15- 3.80- 3.50- 3.18- 1.19- 0.87- 0.58- 0.24 (c) 100-4.04- 3.73- 3.45- 3.15- 1.22- 0.90- 0.62- 0.28模型 (9.3) 250-3.99- 3.69- 3.43- 3.13- 1.23- 0.92- 0.64- 0.31 500-3.98- 3.68- 3.42- 3.13- 1.24- 0.93- 0.65- 0.32 -3.96- 3.66- 3.41- 3.12- 1.25- 0.94- 0.66- 0.33 t() N(0,1)-2.33-1.96-1.65- 1.281.281.651.962.33 注：1. 适用于模型 (9.1), (9.2) 和 (9.3), 条件 b = 1。T：样本容量，a：检验水平。 2. 摘自Fuller (1976) 第373页。 9.2 百分位数表Full (1976) 用蒙特卡罗模拟方法得到DF统计量的百分位数表，见附表6。以模型(9.1)、 (9.2)，(9.3)用蒙特卡罗方法模拟10000次得到的DF分布见图9.7。 9.3 进一步讨论 以上三个自回归模型对于研究实际经济变量太严格，还应该进一步讨论在AR(p) 模型条件下，随机误差项非白噪声条件下，检验用统计量的分布特征。（1）对于AR(p)过程 yt = f1 yt-1 + f2 yt-2 + + f p yt-p + u t , (9.8)当yt中含有单位根时，可以通过如下模型研究 b = 1条件下，检验用统计量DF的分布特征。 yt = b yt-1 + + ut , (9.9)其中 b = fj* = -, j = 1, 2, , p 1. fi 为 (9.8) 式中的自回归系数。 （2）现在进一步放宽对yt的限制。考虑如下AR(1) 过程 yt = b yt-1 + ut , (9.10)其中允许随机项ut是一个ARMA(p, q) 过程，甚至参数 p, q 的值也可未知。则可以用下式研究 b 和DF统计量的分布。 yt = yt-1 + D yt-i + , (9.11)若 b = 1，上式是一个差分的AR(k) 过程。加入 D yt 滞后项的目的是捕捉 (9.10) 式误差项ut中的自相关。（ut的自相关项对于模型 (9.10) 来说是移动平均项，所以 D yt 滞后项的加入可以捕捉之。）因为可逆的移动平均过程可以转化为一个无限阶的自回归过程，所以对ut而言的移动平均项vt, t = 1, , q完全可以通过增加ut 的滞后项而吸收。进而被足够的D yt-i项所吸收。从而使近似为一个白噪声过程。4.4 单位根检验对于时间序列yt可用如下自回归模型检验单位根。 yt = b yt-1 + ut , (9.12)零假设和备择假设分别是， H0：b = 1， （ yt非平稳） H1：b 临界值，则接受H0，yt 非平稳； DF 1意味着强非平稳，b 1意味着平稳。当接受b 1。4. 用模型 (9.12) 检验单位根，临界值应从附表6的a部分查找。上述DF检验还可用另一种形式表达。(9.12) 式两侧同减yt-1，得 D yt = (b -1) yt-1 + ut , (9.15)令 r = b - 1，代入上式， D yt = r yt-1 + ut , (9.16)与上述零假设和备择假设相对应，用于模型 (9.15) 的零假设和备择假设是 H0：r = 0， （ yt非平稳） H1：r 临界值，则yt是非平稳的； 若DF 临界值，则yt是平稳的。这种检验方法是DF检验的常用方法。（便于在计算机上实现） 举例说明以上两种单位根检验方法的DF值相同。用同一组数据yt 得到的两个回归结果如下（括号内给出的是标准差）， = 0.1474 yt-1 (9.17) (0.1427) s.e. = 0.87, DW = 1.93 D= - 0.8526 yt-1 + ut (9.18) (0.1427) s.e. = 0.87, DW = 1.93对应 (9.17) 式，因零假设是 b = 1，所以统计量的计算方法是 DF = = -5.97 对应 (9.18) 式，因零假设是 r = 0，所以统计量的计算方法是 DF = = -5.97 两种计算方法的结果相同。因为 -5.97 DF0.05= -3.44上式说明序列中有确定性时间趋势项。所以在对差分序列检验时，一定要加漂移项。 D 2 yt = 0.00297 - 0.3923 D yt-1 - 0.3848 D2yt-1 - 0.2364 D2 yt-2 + ut (3.1) (-3.6) (-3.5) (-2.6) DW=2.0, t =1, (1876年), DF= -3.6 DF0.05= -2.9日本人口序列是有趋势项、有漂移项的单位根过程。案例3：深圳股票综合指数序列是无趋势项、无漂移项的单位根过程（见图9.11）。 图9.11深圳股票综合指数（file:stock） 图9.12美国GDP序列（file:consump） 案例4： 美国GDP序列（file:consump）是无趋势项、有漂移项的单位根过程（参见图9.11）。附录：怎样做单位根检验？从工作文件（Work File）中打开序列数据（Series）窗口。点击View键，选Unit root test功能。这时会打开一个对话框。其中有四项选择。（1）ADF检验还是PP检验（缺省状态是ADF检验）。（2）检验对象是当前序