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第三章,生存年金 Life Annuities,本章结构,生存年金简介(introduction of life annuities) 与生存相联的一次性支付 (single payment contigent on survival) 连续生存年金(continuous life annuities) 离散生存年金(discrete life annuities) 年金的递推公式（ recursion equations for life annuities） 年h次支付生存年金(life annuities with mthly payments) 等额年金的计算基数公式(commutation function formulas for annuities with level payments),第三章中英文单词对照,生存年金 初付年金 延付年金 确定性年金 当期支付技巧 综合支付技巧,Life annuity Annuities-due Annuities-immediate Annuities-certain Current payment technique Aggregate payment technique,第一节,生存年金简介 introduction of life annuities,1、生存年金的定义,生存年金的定义： 以被保险人存活为条件，间隔相等的时期（年、半年、季、月）支付一次保险金的保险类型 (life annuity is a series of payments made continuously or at equal intervals(year, semi-year,quarter,month )while a given life survives) 分类 初付年金/延付年金(annuities-due /annuities-immediate) 连续年金/离散年金(annuities-continuous /annuities-discrete) 定期年金/终身年金(term annuities/whole life annuities) 非延期年金/延期年金(non-deferred annuities/deferred annuities),2、生存年金与确定性年金的关系,确定性年金（auunities-certain） 支付期数确定的年金（利息理论中所讲的年金） 生存年金与确定性年金的联系 都是间隔一段时间支付一次的系列付款 生存年金与确定性年金的区别 确定性年金的支付期数确定 生存年金的支付期数不确定（以被保险人生存为条件）(life auunity brings in survival as a condition for payment),3、生存年金的用途,被保险人保费交付常使用生存年金的方式 （life insurance are usually purchased by a life auunity of premiums rather than by a single premium） 某些场合保险人保险理赔的保险金采用生存年金的方式，特别在： 养老保险(pension insurance system) 伤残保险(disability insurance) 抚恤保险(workers compensation insurance) 失业保险 (unemployment insurance),第二节,与生存相关联的一次性支付 Single payment contigent on survival,1、定义,现龄x岁的人在投保n年后仍然存活，可以在第n年末获得生存赔付的保险。(a payment due at the end of n years provided that a life now aged x survives the n years) 也就是我们在第二章讲到的n年期纯生存保险。单位元数的n年期生存保险的趸缴纯保费为 在生存年金研究中习惯用 表示该保险的精算现值,例2.1,计算25岁的男性购买40年定期生存险的趸缴纯保费。已知 假定i6 假定i2.5,2、,2、相关公式及意义,If the lx survivors at age x each deposit nEx into a fund to accumulate under the effective rate of interest i, there will be a sufficient amount at the end of n years to pay to each of the lx+n survivors at age x+n,3、精算现值的分解,第三节,连续生存保险 continuous life annuities,1、简介,连续生存年金的定义 在保障时期那，以被保险人存活为条件，连续支付年金的保险 连续生存年金的种类 终身连续生存年金/定期连续生存年金 连续生存年金精算现值的估计方法 综合支付技巧(aggregate payment technique) 当期支付技巧(current payment technique),2、终身连续生存年金精算现值的估计一 综合支付技巧,步骤一：计算到死亡发生时间T为止的所有已支付的年金的现值之和（record the interest only present value of all paymnet to be made by the auunity if death occurs at time t),2、终身连续生存年金精算现值的估计一 综合支付技巧,步骤二：计算这个年金现值关于时间积分所得的年金期望值，即终身连续生存年金精算现值（multiply the present value found above by the probability density of death at time t and integtate over all times of death t），,3、终身连续生存年金精算现值的估计二 当期支付技巧,步骤一：计算时间T所支付额度的精算现值 （record the amount of payment due at time t and determine the actuarial present value of the payment ） 步骤二：计算该精算现值按照可能支付的时间积分(integrate these acturial present value for all payment times t)，,4、两种计算方法的等价性,5、定期连续生存年金精算现值估计,综合支付技巧 当期支付技巧,6、延期连续生存年金精算现值估计,定义: 种类 延付m年终身连续生存年金 延付m年定期连续生存年金 常用领域 养老金,6、延期连续生存年金精算现值估计,n年延期的终身生存年金,6、延期连续生存年金精算现值估计,m年延期的期限为n年的生存年金,7、延期连续年金和其他连续年金精算现值关系表,8、连续生存年金和趸交保费的关系,9、终身连续生存年金现值方差的计算,9、终身连续生存年金现值方差的计算,例3.1,Under the assumptions of a constant force of mortality =0.04 and of a constant force of interest =0.06,evaluate （1） （2）the standard deviation of （3）the probability that will exceed 。,例3.1答案,综合支付技巧 当期支付技巧,例3.1答案,例3.1答案,例3.2,在De Moivre假定下， 计算：终身连续生存年金精算现值及方差,例3.2答案,例3.2答案,例3.3（例3.2续）,在De Moivre假定下， 计算：30年定期生存年金精算现值,例3.3答案,例3.4（例3.2，3.3续）,在De Moivre假定下， 计算：延期30年30年定期生存年金精算现值,例3.4答案,第四节,离散生存年金 discrete life annuities,1、简介,离散生存年金定义： 在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔一段时期支付一次年金的保险。 离散生存年金与连续生存年金的关系 计算精算现值时理论基础完全相同 连续积分，微分离散求和，差分 连续场合不存在初付延付问题，离散场合初付、延付要分别考虑 （the theory of discrete life auunities is analogous,step-by-step, to the theory of continuous life annuities,with integrals replaced by sums,differential by differences 。For continuous annuities there are no distiction between payments at the beginning of intervals or at the ends, that is,between annuities-due and annuities-immediate）,1、简介,离散生存年金的分类 期初年金/期末年金 终身年金/定期年金 延期年金/非延期年金,2、初付终身生存年金,当期支付技巧 综合支付技巧,3、两种计算方法的等价性,4、离散型终身生存年金和趸交保费的相关公式,例4.1,已知 假定91岁存活给付5，92岁存活给付10，求：,例4.1答案,思考题：本题可以用 做吗？,5、初付定期生存年金,当期支付技巧 综合支付技巧,6、初付定期生存年金和趸交保费相关公式,7、延期初付生存年金,8、常见险种的延付生存年金,初付生存年金与延付生存年金的关系,8、常见险种的延付生存年金,8、常见险种的延付生存年金,exercise,9、生存年金的精算积累值,第五节,年金的递推公式 recursion equations for life annuities,年金的递推公式,example,第六节,年付m次的生存年金 life annuities with mthly payments,1、简介,分类 终身年金与定期年金 期初付年金与期末付年金 延期年金与非延期年金 推导思路 寻找与前面已经学过的年付年金之间的关系,2、年支付m次的终身生存年金（初付）,基本公式,2、年支付m次的终身生存年金（初付）,2、年支付m次的终身生存年金（初付）,3、年支付m次的定期生存年金（初付）,4、延期生存年金（初付）,延期终身生存年金（UDD假定） 延期定期生存年金 （UDD假定）,5、每年分m次期末支付的生存