微分方程的建立与求解.ppt

第二章 连续时间系统的时域分析,本章主要研究内容： 微分方程的建立与求解 零输入、零状态、冲激、阶跃响应 卷积、算子,一、微分方程的建立,1元件约束特性,电路元件,i)电阻R：,*时间域进行，不变换 *直观，物理概念清楚 *其它变换域方法基础 *重新得到关注和重视,元件约束特性网络拓扑约束(方程) 微分方程,iv)互感M：,机械元件,ii) 弹性系数：,iii) 质量：,i) 摩擦系数：,2网络拓扑约束,ii)KCL：,机械系统：达朗贝尔原理,ii),电路系统,i)KVL：,i),4电路类微分方程建立例子,3不同性质系统可用相同微分方程描述 数学模型，数学抽象，无物理意义 ,例1：求下面电路的微分方程,解:,C两端电压,5机械类微分方程建立例子 例2：理想火箭推动器模型的微分方程,火箭 m1,载荷 m2,摩擦系数f1,摩擦系数f2,输入:推进力 e(t),k,输出:荷载舱速度,解：,把(3)和(4)代入(1)可得：,6线性时不变系统的微分方程特点,若组成系统的元件线性、参数恒定且无初始储能， 则系统为线性时不变系统,一般形式：线性常系数微分方程,二、微分方程的经典时域求解法（齐次解+特解法）,齐次方程：,1齐次解（自由响应）,各种特征根情况下的齐次解形式,i) 互不相同实根：,例3：求下列微分方程的齐次解形式,2特解（强迫响应）：由激励形式和特征根情况共同决定 将激励代入微分方程右端，化简得自由项（t0时） 根据自由项形式与特征根情况设特解 。见特解表,确定特解：特解代入方程，求特解中待定系数,例4：求下列微分方程在不同激励下的特解,代入左端令对应系数相等可得：,B0=0.5, B1=-0.5, B2=0.5,ii),iii),，代入左端令对应系数相等可得：B=1,iv),代入左端令对应系数相等可得：B=1/3,代入左端令对应系数相等可得：,=,例4：求下列微分方程的特解,i),iii),解：,代入左端令对应系数相等可得：B1=0,B2=0.5,i),代入左端令对应系数相等可得：,例4：求下列微分方程的特解,i),ii),iii),解：,(一重共轭),特征根：,i) t0时自由项=,，,不为特征根，,=B1,+B2,B1=0,B2=0.5,例4：求下列微分方程的特解,i),ii),iii),解：,(二重),特征根：,解：, 写出完全解：,其中,ii)初始条件,iii)设n个特征根,互不相同，则,将初始条件代入，可得如下方程组：,3完全解,有n个待定系数, 待定系数由初始条件确定,注意两种描述： 起始状态0-， 初始条件0+,为待求系数,0+状态,见P47,若不给定初始条件，怎么由起始状态确定,例5：已知电路图，t=0时刻开关S从1打向2，求i(t),由元件约束、网络拓扑约束列写微分方程(S拨至2列写),ii)齐次解形式：,解：,求完全解中的齐次解待定系数 i)写出完全解形式：,ii)求换路前的起始状态,iii)求换路后的初始条件 电感电流不跳变：,电容电压不跳变：,iv)初始条件代入完全解，列写方程组求出待定系数,例6：已知：,，,，,求完全响应。,i)特征方程：,ii)齐次解形式：,i) t0时自由项=16,iii)代入方程左边解得：B=8/5,解：,由特征根写出齐次解形式,求特解,特征根：,ii)0不是特征根，设特解为：,求完全解中的齐次解待定系数 i)写出完全解形式：,设,代入方程左端，令左右两端的奇异函数平衡，得,表示0-到0+相对跳变函数,考虑换路时情况，即t=0时刻e(t)有2 u(t) 变化，得,在,iii)计算初始条件,iv)初始条件代入完全解，列写方程组求出待定系数,故：,(t0),例7：目测法求跳变值,右边,，为此,必须出现,即,在0处有1的跳变。假设,有跳变，则,有冲激，,出现冲激偶，,右边,，为此,必须出现,即,在0处有1的跳变。假设,有跳变，则,有冲激，,出现冲激偶，左右不能平衡，故,没有跳变。,解：,左右不能平衡，故,没有跳变。,作