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第三章 3.1中值定理与洛必达法则,1、罗尔(Rolle)定理,例1,判断该函数在 上是否满足罗尔中值定理的条件，如果满足，求区间 内满足罗尔中值定理的 值,该函数在 上连续,几何解释:,注意: 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,反例1,反例2,反例3,例4,解,练习,解,练习,2、拉格朗日(Lagrange)中值定理,拉格朗日中值公式,拉格朗日公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,几何解释:,推论3.1,证：,在（a,b）内任取两点,例2,推论2,练习,证,3、柯西(Cauchy)中值定理,练习,证,4、小结,Rolle 定理,Lagrange 中值定理,Cauchy 中值定理,罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；,注意定理成立的条件；,注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.,注：这三个定理称为微分中值定理。,思考题,试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.,思考题解答,不满足在闭区间上连续的条件；,不满足在开区间内可微的条件；,以上两个都可说明问题.,第二节 洛必达法则,问题的提出：,定理1,定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限的方法称为洛必达法则.,定义,例如,还有其他方法吗？,例1,解,例2,解,课堂练习,练习1,解,练习2,解,练习3,解,练习：P76 1.(1)(2),注意：洛必达法则是求不定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.,练习,解,例9,解,关键:将其它类型不定式化为洛必达法则可解决的类型 .,步骤:,例10,解,步骤:,步骤:,例11,解,例12,解,例13,解,解法2,例12,解,极限不存在,洛必达法则失效。,注意：洛必达法则的使用条件,三、小结,思考题,思考题解答:,不
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