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12.4向量组的极大无关组与向量组的秩,上一页,下一页,27,*4 向量组的极大无关组与向量组的秩,在第十一章中我们意已讲过了矩阵的概念。它于本节说讲的向量组的极大无关组及向量组的秩有什么联系呢？我们先引入其概念。,定义1 设有向量组T，如果,T中任意r+1个向量（若有的话）都线性相关。,在T中有r个向量,(i),(ii),那么称 是向量组T的一个极大无关组。,例1 设向量组,因,线性无关，而,线性相关，既有,所以,是一个极大无关组。同样 、,也是极大无关组。 ,由例1可看出，一个向量组的极大无关组有多个，但它们所包含向量的个数却是相同的，即有如下命题成立。 命题12。9 在一个向量中，它的所有极大无关组所含向量的个数都相同。,证 设,与,都是向量组T的极大无关组。,若st，不妨设st，则因,为极大无关组，所以每一个,都是,的线性组合，由3中的结论三知,上一页,下一页,28,必线性相关，这和,是极大无关组相关矛盾。,所以s=t。 ,定义2 向量组T的极大无关中所含向量的个数称为向量组T的秩。且规定只含零向量的向量组的秩为0.,现在的问题是:给定一个向量组T我们如何求出T的一个极大无关组以及T的秩呢?,在第十一章的6节中,我们已介绍了求一个矩阵的方法.为此,我们可以设想把一个向量组T中的向量,作为矩阵A的列向量,尔后利用初等行变换把,矩阵A化为阶梯形矩阵,那么阶梯形矩阵中非零行的行数r就是矩阵A的秩,也即为向,量组T的秩;而所有非零的行所对应的r个向量所组成的向量组,就是矩阵列向量组的一个极大无关组.由此,还要再要证明如下二个命题.,命题12.10 矩阵A的列向量组通过初等行变换不改变相关性.,证 设向量T:,是矩阵A的列向量组。由定义知，向量组,若线性相关，即存在不全,上一页,下一页,29,为零的一组数,，使,亦即齐次线性方程组,有非零解.,上面的齐次线性方程组可写成,现设,由命题12.1知,同解.所以向量组,的线性相关性相同. ,由此我们知道,矩阵A的秩就是列向量组T中极大线性无关组所含向量的个数.又会命题11.11显然下面的命题成立.,命题12.11 矩阵A的秩=矩阵A向量组的秩=矩阵A行向量组的秩.,例2 设向量组,上一页,下一页,30,求向量组的秩及其一个极大无关组,并求出另外的向量由该极大无关组线性表出的表达式.,解 因为,由命题12.11知,向量组的秩等于3,且,就是一个极大无关组.下面球,关于极大无关组,的线性表达式,先令,即,所以,上一页,下一页,31,同理可求得,一个向量由它所在的向量组中的极大无关组线性表示,其线性表达式是否唯一呢?我们有下面的命题.,命题12.12 一个向量由它所在向量组中极大无关组线性表示,其表达式唯一.,证 设,是向量组T中的一个极大无关组, 是向量组T中任
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