北大附中高考数学专题复习导数与微分经典答疑.docx

学科：数学教学内容：导数与微分经点答疑（一）【学法旨要】1本章的学习目标是什么？（1）掌握导数的定义，灵活运用导数的定义计算函数在某一点的导数（2）掌握函数在某点的可导性与连续性的关系，即函数在某点可导必连续，连续不一定可导，不连续一定不可导（3）掌握求导法则，尤其是复合函数的求导法则；能熟练地应用求导法则与基本公式求初等函数的导数；会求隐函数和参数方程所确定的函数的导数；并熟练地计算某些简单的初等函数的高阶导数（4）理解中值定理特别是拉格朗日中值定理，初步具有应用中值定理论证问题的能力（5）能熟练地运用洛必达法则准确地计算各种不定式的极限（6）理解泰勒公式的意义，能熟练地写出泰勒公式与马克劳林公式2学好本章知识的关键是什么？由于导数是从许多的实际问题中抽象出来的一个数学概念，所以要知道导数的构造性定义，正确理解导数概念；知道导数是一种特殊类型的极限，即函数f（x）在点处的函数的增量与相应的自变量的增量的比值当自变量的增量x0时的极限值复合函数的求导是本章的重点，同时也是难点，熟练掌握和运用复合函数的求导法则对学好本章的知识具有重要作用复合函数求导的关键在于搞清复合函数的结构，明确复合次数，把一个初等函数由外向内分解成基本初等函数，以便利用导数公式（基本初等函数的导数）在求导过程中，比如，函数可看作yf（u）几个基本初等函数复合而成，顺次先将最外层的f关于u求导，再将次外层的关于求导，后将第三层的关于t求导，即逐次由外向内关于相应的中间变量求导，直至最内层的函数g关于自量x求导为止，并把这些所求得的导数顺次相乘即得【经点答疑】1怎样理解导数概念？在生产实践和科学实验中，常常需要研究函数相对于自变量的变化快慢程度例如，要预报人造地球卫星飞过各大城市的时间，就需要知道卫星的飞行速度；要研究轴和梁的弯曲变形问题，就必须会求曲线的切线斜率等等求速度和曲线的切线斜率问题，叫做求变化率问题，数学上称为求导数下面，我们将从几个实际问题入手，引入导数的概念引例1 求变速直线运动的瞬时速度解 设有一质点m在直线ab上自o点开始作直线运动（如图3-1）经过时间t后，该质点离o点的距离是t的函数ss（t）求质点m在时刻的瞬时速度设在到一段时间内距离从变到，在t这段时间内质点m所走的距离为因此在t时间内，质点m的平均速度为若质点作等速运动，平均速度就是质点m在时刻的瞬时速度若质点m的运动是变速的，则一般不会正好是的瞬时速度，但t愈小，就愈接近的瞬时速度，所以当t0时，就可较精确的表示出时刻的瞬时速度因此，我们用极限来定义质点m在时刻的瞬时速度瞬时速度v反映了路程函数s（t）相对时间t变化的快慢程度，称为函数s(t)对于自变量t的变化率引例2 切线的斜率解 如图3-2，求曲线yf（x）在其上一点处的切线pt的斜率点p处的切线不是孤立的概念，它与已知的割线联系着在曲线上任意另取一点q，设它的坐标是，其中，则过点与的割线斜率（即y对x的平均变化率）是当x变化时，即点q在曲线上变化时，割线pq的斜率也随之变化当|x|较小时，取割线pq的斜率作为点p的切线斜率的近似值当|x|越小，这个近似程度也就越好于是，当x无限趋于0时，即点q沿着曲线无限趋于p时，割线pq的极限位置就是曲线过点p的切线，同时，割线pq的斜率的极限k就是曲线过点p的切线斜率（即yf（x）在点处变化率）即这样就把求曲线在点p处的斜率问题转化成求上面的极限问题引例3 求电流强度解 设电流通过导线的横截面的电量是q（t）,它是时间t的函数，求任一时刻的电流强度我们知道，在直流电路中，电流强度是单位时间内通过导线横截面的电量，即在交流电路中，电流大小是随时间而改变的，不能直接按上述公式求时刻的电流强度我们可通过以下方法得到：设在到一段时间内通过导线的电量是易知，t取得越小，就越接近时刻的电流强度i若当t0时，的极限存在，则平均电流强度的极限就是时刻的电流强度因此，我们定义：这样，我们又把求瞬时电流强度问题归结为求上面的极限问题通过以上三个实际问题，我们可以看到，虽然三个问题的实际意义完全不同，但解决实际问题的数学结构是完全相同的，即只从数学结构来考虑，它们可归结为（完全相同的数学结构）函数f（x）在某点处函数的增量与相应的自变量的增量x（x0）的比值当自变量x无限趋于0时的极限即在实际问题中，还有许多其他的问题也可归结为上面的极限来解决我们把这些问题中出现的共同的数学结构抽象出来，就是我们的导数的概念，即导数是从这些实际问题中抽象出来的一个数学概念设函数yf（x）在点的某邻域内有定义，当自变量有增量x（x0）时（x可正可负）函数有相应增量若极限存在，则称函数f（x）在点可导，并称该极限值为函数f（x）在点（对x）的导数，记作，即也可记作若上面的极限不存在，则称函数f（x）在点不可导有时，我们把记作x，于是，当x0时，有,则上面的极限可改为导数定义的这两种表示法，在以后的应用中都要用到引入了导数概念之后，上面开始的三个引例都可用导数来描述，即要求质点在时刻的瞬时速度，只要求出路程函数s（t）在的导数即可；要求曲线yf（x）在点处的切线斜率，只要求出函数f（x）在点处的导数即可；要求时刻的电流强度，只要求出电量函数q（t）在的导数即为所求时刻的电流强度很明显，函数增量与自变量增量之比是函数在以和为端点的区间上的平均变化率，而导数则是函数yf（x）在点处的变化率，它反映了函数f（x）在点处随自变量的变化而变化的快慢程度注：从导数的定义中可以看出，导数实质上就是一种特殊的极限值，即函数f（x）在点处函数的增量与相应的自变量的增量t（x0）的比值，当自变量的增量x无限趋于0时的极限但极限值并不一定是导数，如若只讨论函数在点的左邻域（或右邻域）上的变化率，我们需引入单侧导数的概念存在，则称f（x）在点右可导，并称该极限为f（x）在点的右导数，记作若极限不存在，则称f（x）在点右不可导右导数与左导数统称为单侧导数由左、右极限与极限的关系，我们很容易得到函数f（x）在点可导的充要条件是f（x）在点既是左可导又是右可导且左、右导数相等即由导数的定义可知，要用定义求yf（x）的导数，可以分为以下三个步骤：利用导数定义求导数的难点是有一些比值的解析式不便于取极限，还需将其变形或化简，使极限成为已知极限的形式，以便于计算例1 求函数在点x3的导数思路启迪 利用导数定义求函数的某点的导数时，应先求出当自变量在某点有增量x（x0）时对应的函数的增量y,然后计算y与x的比值的极限规范解法 （2）算比值（3）取极限点评 求函数在某点处的导数，首先应判断函数在点处是否可导，即极限是否存在且有限若极限存在且有限，则函数在该点可导，此时，极限即为所求的导数；若极限不存在或极限为则函数在该点不可导例2 证明函数f（x）|x|在点x0处不可导思路启迪 首先要求函数f（x）在点x0处的左、右导数是否存在，若都存在且相等，则f（x）在x0处的可导，若至少有一个单侧导数不存在，或两两个单侧导数都存在但不相等，则函数f（x）在点x0处不可导规范证法 点评 判别分段函数在分段点处的导数是否存在时，由于在分段点的两侧函数的表达式不相同，故函数的增量y的结构在分段点的两侧也不相同，此时不能直接计算极限，而应首先分别判断f（x）在分段点的两个单侧导数是否存在，即首先判断极限与极限的存在性，并由此而确定函数在分断点的可导性例3 思路启迪 已知存在，也即是极限存在且等于，只要紧扣导数的定义，并把等式中的左端化成f（x）在点处的导数的结构，该题的证明将容易得到规范证法点评 在导数的结构（定义）中，函数的增量与自变量的增量x是相应的，即自变量有增量x时，相应的函数的增量是，而在上面第二个极限中，函数的增量所对应的自变量的增量是x（而非x），这一点是至关重要的因此应该有（易知x0时，x0）例4 证明：若函数f（x）与g（x）当x0时等于零，并且存在导数，且则思路启迪 由已知条件，我们有，又与存在且，故上面分式当时分子与分母的极限存在且分母的极限不为零于是由极限的四则运算即可给出证明规范证法 由已知有例5 设思路启迪 直接利用导数的定义和正弦函数规范解法 例6 设思路启迪 求，即是求极限即，注意到函数在xa处是连续的，即，即可得出结果规范解法 例7 此函数在点a没有导数思路启迪 这里f（x）是一个分段函数，点a是f（x）的分段点，讨论分段点的可导性，需要利用函数在某点的可导性与该点的两个单侧导数的存在性的关系规范证法 取x0，例8 设为了使函数f（x）于点处连续而且可导，应当如何选取系数a和b？思路启迪 由于是分段函数f（x）的分段点，要使分段函数在分段点处连续且可导，须考虑使如下等式成立：规范解法 学科：数学教学内容：导数与微分经点答疑（二）2函数f（x）的不可导点有哪些类型？（1）函数f（x）在不连续点不可导如，符号函数sgnx，在x0点不连续，在x0点不可导（2）函数f（x）在连续点不可导有以下几种类型：左、右可导，但左、右导数不相等；例如，函数f（x）|x|，在点x0左、右可导，但左、右导数不相等左、右两侧至少有一侧不可导；左、右导数至少有一个是无限大3函数f(x)在点可导，是否函数f(x)在点的某邻域内每一点都可导？在点0可导，（当然在点0连续），事实上显然，函数f（x）在任意点x0都不连续，即除点0外，函数f（x）在任意点都不可导由此可见，一个函数可能仅仅在一点可导4什么是导函数？导数与导函数有什么区别与联系？怎样求导函数？如果函数f（x）在开区间（a,b）内每一点都可导，称函数f（x）在开区间（a,b）内可导，并称函数f（x）是（a,b）内的可导函数如果函数f（x）在闭区间a,b内可导，且与都存在，称函数f（x）在闭区间a，b上可导，此时称f（x）为闭区间a，b上的可导函数如果函数f（x）在区间i可导，此时对每一个点xi，都有惟一一个导数与之对应，这样按照函数的定义，在i上定义了一个新的函数，称为函数f（x）在i上的导函数，记注意到，前面介绍的函数f（x）在点处的导数是一个值，这里给出的导函数是一个函数，这是二者的根本区别函数f（x）在点的导数与函数f（x）在i上的导函数的关系是：导数等于导函数在点处的函数值，即有时，在导函数与导数不至于发生混淆的情况下，导函数简称导数例如，求某一函数的导数，而没有特别指明是某一点的导数，这时实际上是求导函数的从导函数的结构我们可以看出，导函数的结构从形式上就是函数f（x）在任一点x处的导数因此要求函数f（x）在区间i上的导函数，只需要求出f（x）在i上任一点x处的导数即可，而要求f（x）在点x处的导数，只需把极限求出来即可例1 求函数yx的导数思路启迪 在本题中，实际上是求函数yf（x）的导函数的，只须把函数f（x）在任一点x处的导数求出来即可规范解法 f（x）x,f（xx）xx,x0，yf（xx）f（x）xxxx例2 求函数思路启迪 这里是求导函数的，可先求出处的导数，再把换成x即为所求规范解法 5.导数的几何意义是什么？它有哪些物理意义？由引例2，我们知道，若函数f（x）在点可导，则曲线yf（x）在点的切线存在，且切线的斜率k就是函数f（x）在点处的导数,即故函数yf（x）在点处的导数的几何意义是：表示曲线yf（x）在点处切线的斜率，即因此，若函数f（x）在点处可导，则曲线yf（x）在点处的切线方程是：法线方程是导数的物理意义，根据函数f（x）的物理意义不同而不同如若当函数f（x）表示质点作变速直线运动的路程时（x表示时间），其导数表示质点在时刻x的瞬时速度；当函数f（x）表示质点的速度函数时，其导数表示质点的瞬时加速度；当函数f（x）表示电量函数时（x表示时间），其导数表示时刻x的瞬时电流强度等等例1 求曲线在点（1，1）处的切线方程与法线方程思路启迪 按照导数的几何意义，只要求出函数在点x1处的导数即为该曲线在点（1，1）处的切线斜率，再利用直线的点斜式方程即可求出切线与法线方程规范解法 于是所求的切线方程为y13（x1）,即3xy20例2 求曲线思路启迪 根据导数的几何意义，求曲线yf（x）上切线平行于已知直线的点，也即是求函数yf（x）在哪些点的导数与已知直线的斜率相等因此，只要找出函数yf（x）与已知直线的斜率相等的点即可规范解法 故所求的点是（1，1）和（1，1）点评 解决此题的关键是能正确理解并掌握导数的几何意义6函数的可导性与连续性的关系是什么？由具有极限的函数与无穷小量的关系我们知道，存在一个当x0时的无穷小量，即函数yf（x）在点x处连续因此我们有：若函数yf（x）在点x可导，则函数yf（x）在点x必连续反之，不一定成立，即若函数yf（x）在点x处连续，但它在点x不一定可导例 函数规范解法 如图3-3，f（x）在点x0连续，事实上：f（0）0故f（x）在点x0连续但是，f（x）在点x0不可导（见1中的例2）由上面的讨论可知，函数f（x）在点x连续是函数f（x）在点x可导的必要条件，但非充分条件即函数f（x）在点x处可导必连续，连续不一定是可导，不连续一定不可导7若函数f（x）与g（x）在点都不可导，它们的和h（x）f（x）+g（x）与积g（x）f（x）g（x）在点是否也不可导？不一定例如，函数f（x）|x|与g（x）|x|在x0都不可导，但是，它们的和与积h（x）f（x）+g（x）0与在x0却都可导8求哪些函数个别点的导数或左、右导数应用导数的定义？（1）函数在个别点的函数值单独定义的，其余点的函数值用统一解析式定义的（函数在个别点连续）例如，函数在点x0的导数要应用导数的定义（2）求分段函数在分段点的导数例如，函数求函数f（x）在点x0的左、右导数，函数g（x）在点x0与x1的左、右导数要应用导数的定义9导数有哪些基本公式和运算法则?在导数的定义中，我们不仅阐明了导数概念的实质，也给出了利用定义求函数的方法但是，如果对每一个函数，都直接按定义去求它的导数，往往是极为复杂和困难的，甚至是不可能的因此，我们希望找到一些简单函数的导数（作为我们的基本公式）与运算法则，借助它们来简化导数的计算过程证明：设yf（x）c，注：以后可以证明，当n取任意实数时，这个公式仍然成立例1 求规范解法 公式请读者自己证明证明：设特别，当ae时，有公式（6）公式（7）证明：设令，则又当t0时，有t0，于是特别，当ae时，有例2 求规范解法 法则（1） 两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）即用同样的方法可将此结果推广到有限个函数代数和的导数情形例3 求下面函数的导数思路启迪 这两个函数都是由几个初等函数的代数和构成，求它们的导数只要利用和与差的求导法则及前面的导数公式即可得出正确的答案规范解法 法则（2）两个函数乘积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加上第一个函乘以第二个函数的导数即证明：设yuv，u（x）、（x）均可导，当x取增量x（x0）时，有相应的增量u、v、y，于是在x处对于有限个函数的乘积的导数可类推例如三个可导的函数u（x），和的乘积的导数是：例4 求函数思路启迪 该函数是由两个基本初等函数与cosx的积所构成，而与cosx的导数（公式）我们知道，两个函数的积的求导法法则我们学过，因此只要能正确运用两个函数的积的求导法则与和cosx的求导公式，该题将迎刃而解规范解法 由两个函数和积的求导法则得例5 设思路启迪 本例与上例基本相同，所不同的是本函数是由三个函数的积所构成，因此只要正确运用积的求导法则及公式即可例6 当思路启迪 要使抛物线规范解法 法则（3）两个可导函数之商的导数仍是一个商，这个商的分子等于原来的商的分子的导数乘以分母，再减去分子乘以分母的导数；它的分母是原来的商的分母的平方即：例7 设思路启迪 注意到正切函数tanx是由正弦函数sinx与余弦函数cosx的商所构成，商的求导法则我们学过，而正弦函数与余弦函数的导数（公式）我们知道，因此若能正确地运用求导法则及求导公式，该函数的导数也就解决了规范解法 从而得类似可得学科：数学教学内容：导数与微分经点答疑（三）例8 设思路启迪 利用三角函数的关系，将secx写成，再利用商的求导法则及cosx的导数公式即可求出规范解法 由上例得类似地可得例9 设规范解法 ysin2x2sinxcosx由法则2得从上面的例子可以看出，ysin2x是一个复合函数，它由两个函数ysinu与u2x复合而成，sin2x的导数是2cos2x而不是cos2x，那么sin2x的导数与sinu的导数和u2x的导数是什么关系呢？由于，而，即y对x的导数等于y对中间变量u的导数再乘以中间变量u对x的导数一般地，我们有复合函数的求导法则（4）法则（4）设函数在点x可导，函数yf（u）在其对应点也可导，则复合函数在点x可导，且y对x的导数等于y对中间变量的导数再乘以中间变量对自变量x的导数即：证明：设自变量x有增量x（x0）时，中间变量u和函数y分别有相应增量u与y，由于在x处可导，从而连续，即有重复应用法则（4），我们可以把复合函数求导法则推广到多次（有限次）复合的情形，如设注：求复合函数的导数，首先要把复合函数进行“分解”，即找出它是由哪几个“简单函数”复合而成这里的“简单函数”是指基本初等函数或多项式函数因为导数基本公式中都是基本初等函数的导数，而多项式函数是幂函数的线性组合，其导数也易求然后再利用复合函数的求导法则和导数的基本公式即可如果“分解”得不彻底，即“分解”出来的函数不是基本初等函数或“多项式”函数，则在利用法则和公式时就要出现错误例10 思路启迪 该函数可以分解成两个函数，对于这两个函数的导数可利用公式只要正确运用复合函数求导法则及相应公式即可规范解法 设u4x1,则可看作是由复合而成的，由复合函数的求导法则得：例11 规范解法 设ucosx,则可看作是由与ucosx复合而成，由复合函数的求导法则得例12 思路启迪 函数ysinlnx是由函数ysinu与ulnx复合构成这里写出中间变量u只是为了初学者正确使用复合函数求导法则，其实，在复合函数求导法则运用熟练以后，中间变量就不必再写出来，但复合关系一定要清楚，并且心中记住复合函数求导的过程规范解法 例13 思路启迪 函数规范解法 例14 思路启迪 该函数是由两个函数复合而成，求y对x的导数，先求y对u即对求导，再乘以u即对x的导数思路启迪 利用恒等式将写成，则可看用由与两个函数复合而成求由多个函数经多次复合而成的复合函数的导数时，就要多次地应用复合函数求导法则分析上例，怎样逐次地应用复合函数的求导法则呢？应先对给定的函数进行分析，当取什么函数作为中间变量（不必写出，心中清楚）时，给定的函数对此中间变量求导并利用导数公式本例是把看作中间变量，给定的函数就可应用幂函数的导数公式，根据复合函数求导法则，有：这时中间变量仍是变量x的复合函数，重复刚才所说的方法，本例是把看作中间变量，可利用正弦函数的导数公式，由复合函数的求导法则有：逐次地作下去，直至最后一个中间变量对x求导数为止（本例最后一个中间变量即为）从上面分析看到，要逐次地应用复合函数求导法则，关键在于选择中间变量，选择的原则是某个函数做中间变量时，给定的函数变可应用导数公式思路启迪 可看作复合而成，而是由x与两个函数的和所构成，可看作是与复合而成规范解法思路启迪 由于x0与x0时函数的结构不相同，因此须用导数定义求解法注：一般情况求分段函数的导函数可以按照以下步骤来完成若函数在各段开区间为可导，应分别求出它在各区间内的导数判断分段点处的可导性（）若函数在点不连续，则它在点不可导（）若函数在点连续，按分段点左、右侧的不同解析式分别求出其左、右导数当左、右导数存在并且相等时，则函数在点可导；当左、右导数存在，但不相等；或其中至少有一个导数不存在，则在点就不可导例23 证明可导的偶函数的导函数为奇函数，而可导的奇函数的导函数为偶数并对这个事实加以几何解释思路启迪 要证明一个函数是奇数，需证明，有f（x）f（x）,而要证明一个函数是偶函数，需证明f（x）f（x）规范证法 设f（x）为偶函数，则对xr有f（x）f（x），同理可证：可导的奇函数的导函数为偶函数这个事实说明：凡对称于oy轴的图形，其对称点的切线也关于oy轴对称；凡关于原点对称的图形，其对称点的切线相互平行思路启迪 是由sinnx与两个函数所构成；而是由sinu与unx复合而成；是由与复合而成规范解法例25 设函数讨论：（1）n取何值时，f（x）在x0连续。（2）n取何值时，f（x）在x0可导思路启迪 要使函数f（x）在点连续，需使要使函数f（x）在点可导，需使极限存在，只要能紧扣函数的连续与可导的这两个定义，本题将会迎刃而解此极限当n10时存在，因此n2时，f（x）在x0可导，此时，可以看出，反函数xlny对y的导数，等于直接函数对于x的导数的倒数；反之亦然一般地，我们有（反函数求导法则）法则（5）若函数yf（x）在点x处有导数，且，则它的反函数在相应点上也有导数，且证明：设x有增量x0，相应地y的增量为y（y0）,由于yf（x）在点x可导，从而连续因此故有例26 求yarcsinx的导数同理可得：思路启迪 函数可以看作yarccotu与两个函数复合而成借助复合函数数求导法则及前面的公式即可求出前面，我们不仅把所有的基本初等函数的导数（作为我们的公式）都求了出来，而且还给出了函数的和、差、积、商的求导法则与复合函数的求导法则，因此，现在我们可以说：一切初等函数的求导问题均已解决事实上，根据初等函数的定义，初等函数是可用一个式子表示的，而这个式子是由基本初等函数（常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数）经过有限次的四则运算和有限次复合而构成的，所以任何初等函数的导数都可以利用基本公式和上述求导法则求出来因此，前面给出的公式和求导法则，对于求导运算是非常重要的，我们必须熟练掌握，并能熟练运用为了便于查阅和记忆，现将这些公式和求导法则归纳如下导数的基本公式：求导法则：求导数运算称为微分法，它是微积分学最基本运算之一，这就要求我们熟练地掌握，为此，首先必须牢记导数公式表；其次，能够熟练地使用求导法则，尤其要掌握好复合函数求导法则10对不等式可否逐项求导？一般地说不行，如在区间（，0）上有，但在此区间上不能对此不等式逐项求导，因为在（，0）上，不等式22x是不成立的学科：数学教学内容：导数与微分经点答疑（四）11什么是高阶导数？我们知道函数的导数是而导数仍是可导的，它的导数是这种导数的导数就称为对y对x的二阶导数一般地我们有：函数yf（x）的导数仍是x的函数，若函数的导数存在，则称的导数为yf（x）的二阶导数记作相应地，把yf（x）的导数叫作函数yf（x）的一阶导数同样，若二阶导数的导数存在，则称其导数为yf（x）的三阶导数记作一般地，若n1阶导数的导数存在，则称其导数为yf（x）的n阶导数记作这里的n称为导数的阶数二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数若yf（x）具有n阶导数，也常说成函数f（x）为n阶可导由以上高阶导数的定义可以看出，要求n阶导数，需要求出n1阶导数，要求n1阶导数，需要求出n2阶导数，要求二阶导数，需要求出一阶导数，因此要求高阶导数，只需要进行一连串通常求导数的运算即可例1 求n次多项式的各阶导数思路启迪 首先求出f（x）的一阶、二阶、三阶等阶数较低的n阶导数，从中找出导数与导数阶数的关系可见，每经一次求导运算，多项式的次数就降低一次继续求导下去，易知：是一个常数，由此有即n次多项式的一切阶数高于n的导数都等于零思路启迪 要证明这个等式成立，而在此等式的左边含有，只要能正确求y对x的两阶导数，将y及代入等式左边并验证其为零即可规范证法例4 求ysinx的n阶导数思路启迪 求sinx的n阶导数的关键是找出n阶导数与导数的阶数的关系，为此我们可以先求出较低n阶导数，从中归纳出导数与导数的阶数的关系即可12怎样求隐函数的导数？前面所讨论的函数求导方法，函数都是因变量y已经写成自变量x的明显表达式yf（x）的形式，这样的函数称为显函数但有时我们所遇到的函数关系不是明显地用显函数形式表示的情形如方程2x5y10及它们都表示x、y之间的函数关系一般地我们把由方程f（x，y）0表示的因变量y自变量x的函数关系式yf（x）称为隐函数对于隐函数，有时可以根据确定隐函数关系的方程找出显函数形式yf（x），从而可利用前面的求导方法把它的导数找出来，但有时要把这个隐函数表示成显函数的形式是比较复杂的，有时甚至是不可能的，这时要利用前面的方法求导数就比较困难，甚至不可能，因此，我们有必要寻求隐函数的求导方法实际上，对于隐函数我们不需要把它表示成显函数的形式，就可以把它的导数求出来方法是：将确定隐函数的方程的两端同时对x求导（注意到y表示x的函数），求导过程中，遇到变量y，把y看中间变量，先对y求导，再乘以y对x的导数（即遇到变量y要利用复合函数的求导法则）这样，我们可以得到一个关于的一元一次方程，解出即可思路启迪 由于y是x的函数，可将y写成x的函数的形式y（x），则可写成思路启迪 由于方程所确定的是y为x的函数，可将y写成x的形式y（x），则该方程可写成于是由隐函数的求导法则得规范解法 将方程两端对x求导，并利用函数的求导法则得13什么是对数求导法？它主要适用于哪些类型函数的求导？对数求导法是将函数yf（x）两端取绝对值（由于求导之后绝对值同时去掉，因此常把取绝对值这一步省略，认为f（x）为正值，即lnf（x）有意义）然后再两端取对数（取自然对数，它的导数形式比较简单）这时我们就把它化成隐函数，然后再求出它的导数这种把显函数取对数化成隐函数再求导的方法称为对数求导法它常用于由若干因式的积、商或根式组成的函数和幂指函数的求导运算对数求导法的优点是：它把积变成和，把商变成差，把幂指变成积易知，和差的求导运算要比乘、商的求导运算简单具体步骤如下：（1）两端取绝对值（常略去）之后，再取自然对数（2）等式两端分别对自变量求导举例如下思路启迪 在前面我们利用恒等式求出了该函数的导数，在此我们将利用隐函数求导法求它的导数这里可将等式两端取对数首先把它变成隐函数，再利用隐函数求导法规范解法 两端取对数lnyg（x）lnf（x），两端对x求导思路启迪 该函数是由两个函数的商构成，而商的分子和分母都是由三个函数的积所构成，若直接利用商与积的求导法则就比较麻烦，但若借助于两端取对数，再利用隐函数的求导方法就比较简单规范解法 两端取对数lnyln（x1）ln（x2）ln（x3）ln（x4）ln（x5）ln（x6）,两端对x求导14怎样利用导数判别函数的单调性？我们知道，如果函数f（x）在区间（a，b）内是增函数或是减函数，那么我们就说函数f（x）在区间（a，b）具有单调性，区间（a，b）称为f（x）的单调区间那么怎样利用导数判别函数的单调性呢？设函数f（x）在（a，b）可导，则曲线yf（x）处处有切线如图3-4，曲线上每点的切线与x轴正向的夹角是锐角，即这时函数在（a，b）是增函数如图3-5曲线上每点的切线与x轴正向的夹角为钝角，即此时函数f（x）在（a，b）是减函数一般地，设函数yf（x）在区间i内可导，如果对任意的点xi，有则f（x）在i内是增函数，若对于任意的点xi，有则f（x）在i内为减函数思路启迪 利用导数判别函数单调性，首先要求函数的导数，然后确定导数在哪些范围内是正值，哪些范围内是负值，从而确定出函数的增减区间即当x（，1）（3，）时，f（x）是增函数即当x（1，3）时，f（x）是减函数（图3-6）即当x（，0）时，f（x）是增函数即当x（0，）时f（x）是减函数（如图3-7）分析上面的例题，当x3时，单调增加，当1x3时，f（x）单调减少，而当x1或x3时，当x0时，f（x）单调减少，而当x0时，这说明使点x可能是f（x）单调增加与单调减少的分界点因此讨论可导函数的单调性，我们也可以按照以下步骤去作：即求出f（x）的导数，解出使的点，用这些点将f（x）的定义域分成若干个区间，然后在各个区间上判别的符号，从而可得f（x）在各个区间上的单调性后两步可用一个表格来完成列表由上表可知：f（x）在（1）与（1，）上是单调增加的；在（1，1）上是单调减少的15怎样利用导数求可导函数的极值？已知函数在点o附近的任意点x，都有即函数在点o的值要比它附近的任意点的函数值都要小（如图3-8），这时，我们称函数在点o取极小值而函数在点o附近的任意点x，都有，即函数在点o的值要比它附近的每一点的函数值都要大（如图3-9），这时，我们就说在点o取极大值一般地，设函数f（x）在点附近内有定义，若对点附近的每一点x，都有，我们就称它为f（x）在点取极大值，是f（x）在点处的极大值，记作称为函数f（x）的极大值点如果对点附近的所有点x，都有，我们就称函数f（x）在点取极小值，是f（x）在点处的极小值，记作称为函数f（x）的极小值点极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点已知函数的导数是，在点o的值是0，即在点o的左侧，即当x0时，导数函数在点o取极小值函数的导数是在点o的左侧，即当x0时，有导数；在点o的右侧，