函数的单调性与导数.ppt

1.3 导数在研究函数中的应用 13.1 函数的单调性与导数,【课标要求】 1掌握函数的单调性与导数的关系 2能利用导数研究函数的单调性 3会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次) 【核心扫描】 1利用导数确定函数的单调性及求函数的单调区间(重点) 2利用导数证明一些简单不等式(难点) 3常与不等式、方程等结合命题,自学导引 1函数的单调性与其导函数的正负间的关系 设函数yf(x)在区间(a，b)内可导,想一想：在区间(a，b)内，若f(x)0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？ 提示 不一定成立比如yx3在R上为增函数，但其在0处的导数等于零也就是说f(x)0是yf(x)在某个区间上递增的充分不必要条件,2一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大，说明函数在这个范围内 ，这时，函数的图象就比 较“ ”；反之，函数的图象就比较“ ” 3利用导数求函数单调区间的基本步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导函数f(x)； (3)由f(x)0(或f(x)0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f(x)0时，f(x)在相应区间上是减函数 (4)结合定义域写出单调区间,变化得快,陡峭,平缓,名师点睛 1理解函数的单调性与其导数的关系需注意的问题 (1)根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减,(2)在某个区间内f(x)0(f(x)0. 可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对任意的x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)，且f(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零,2利用导数求函数的单调区间需注意的问题 (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程只能在定义域内进行，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间 (2)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间中间一般不能用“”连接，可用“逗号”或“和”字隔开,关于利用导数证明函数单调性的问题： (1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行 (2)f(x)(或)0，则f(x)为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f(x)为单调递增(或递减)函数，则f(x)(或)0.,题型二 利用导数求函数的单调区间 【例2】 求下列函数的单调区间 (1)f(x)x3x；(2)yexx1. 思路探索 先确定函数的定义域，再对函数求导，然后求解不等式f(x)0与f(x)0，并与定义域求交集从而得相应的单调区间,已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数f(x)在区间上单调递增(或减)，转化为不等式f(x)0(f(x)0)在区间上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围,方法技巧 转化与化归思想在单调性中的应用 运用导数这个工具研究函数的