高中数学模块质量评估（含解析）新人教A版选修.docx

模块质量评估 (第一至第三章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求)1.命题“若AB,则A=B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是()A.0B.2C.3D.4【解析】选B.原命题为假,故其逆否命题为假;其逆命题为真,故其否命题为真;故共有2个真命题.2.若在区间(a,b)内,f(x)0,且f(a)0,则在(a,b)内有()A.f(x)0B.f(x)f(a)0.3.已知命题p:x-1,2,函数f(x)=x2-x的值大于0.若pq是真命题,则命题q可以是()A.x(-1,1),使得cosx12B.“-3m0”是“|a|0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.因为|a|0,所以a0或a0|a|0,但|a|0a0,所以“a0”是“|a|0”的充分不必要条件.5.(2016长春高二检测)若抛物线的准线方程为x=-7,则抛物线的标准方程为()A.x2=-28yB.x2=28yC.y2=-28xD.y2=28x【解析】选D.由抛物线的准线方程为x=-7,可以得出该抛物线的焦点在x轴上,开口向右,设抛物线标准方程为y2=2px(p0),则=7,所以p=14,抛物线方程为y2=28x.【补偿训练】(2016邯郸高二检测)抛物线的准线方程为y=-4,则抛物线的标准方程为()A.x2=16yB.x2=8yC.y2=16xD.y2=8x【解析】选A.由题意可知抛物线的焦点在y轴的正半轴,设抛物线标准方程为:x2=2py(p0),因为抛物线的准线方程为y=-4,所以-=-4,所以p=8,所以抛物线的标准方程为:x2=16y.6.当a取下列哪个值时,函数f(x)=2x3-9x2+12x-a恰好有两个不同的零点()A.8B.6C.4D.2【解析】选C.f(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2),知函数的极值点为x=1,x=2,且f(1)=5-a,f(2)=4-a,结合选项可知当a=4时,函数f(x)恰好有两个零点.7.已知命题p:函数f(x)=sinxcosx的最小正周期为;命题q:函数g(x)=sin的图象关于原点对称.则下列命题中为真命题的是()A.pqB.pqC.pD.(p)q【解析】选B.命题p:函数f(x)=sinxcosx=sin2x,最小正周期为T=,故命题p是真命题;命题q:函数g(x)=sin=cosx,图象关于y轴对称,故命题q为假命题,所以pq为真命题.8.设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c,直线y=3(x+c)与椭圆的一个交点为M,若MF1F2=2MF2F1,则椭圆离心率为()A.5-12B.2-3 C.3-12D.3-1【解析】选D.如图所示,直线y=(x+c)的斜率k=,所以倾斜角=60,因为MF1F2=2MF2F1,所以MF2F1=30,所以F1MF2=90,设=m,=n,则有解得e=-1.【补偿训练】设F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,P为直线x=32a上一点,F2PF1是底角为30的等腰三角形,则椭圆的离心率e为()A.12B.23C.34D.45【解析】选C.因为F2PF1是底角为30的等腰三角形,所以=,因为P为直线x=a上一点,所以2=2c,所以椭圆的离心率为e=.9.已知函数f(x)=13x3-2x2+3m,x0,+),若f(x)+50恒成立,则实数m的取值范围是()A.B.C.(-,2D.(-,2)【解析】选A.f(x)=x2-4x,由f(x)0,得x4或x0),若对任意两个不等的正实数x1,x2都有f(x1)-f(x2)x1-x22恒成立,则a的取值范围是.【解析】因为f(x)=alnx+x2(a0),对任意两个不等的正实数x1,x2都有2恒成立,所以f(x)=+x2(x0)恒成立,所以a2x-x2恒成立,令g(x)=2x-x2=-(x-1)2+1,则ag(x)max,因为g(x)=2x-x2=-(x-1)2+1为开口方向向下,对称轴为x=1的抛物线,所以当x=1时,g(x)=2x-x2取得最大值g(1)=1,所以a1.即a的取值范围是1,+).答案:1,+)10.(2016南昌高二检测)设O为坐标原点,F1,F2是x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦点,若在双曲线上存在点P,满足F1PF2=60,|OP|=7a,则该双曲线的渐近线方程为()A.x3y=0B.3xy=0C.x2y=0D.2xy=0【解析】选D.如图所示,因为O是F1F2的中点,+=,所以(+)2=(2)2.即|2+|2+2|cos60=4|2.又因为|PO|=a,所以|2+|2+|=28a2.又由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2a,所以(|PF1|-|PF2|)2=4a2.即|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=4a2.由-得|PF1|PF2|=8a2,所以|PF1|2+|PF2|2=20a2.在F1PF2中,由余弦定理得cos60=,所以8a2=20a2-4c2.即c2=3a2.又因为c2=a2+b2,所以b2=2a2.即=2,=.所以双曲线的渐近线方程为xy=0.11.(2015全国卷)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,若存在唯一的整数x0,使得f(x0)0,则a的取值范围是()A.B.C.32e,34D.32e,1【解析】选D.设g(x)=ex(2x-1),y=ax-a,由题意知存在唯一的整数x0,使得g(x0)在直线y=ax-a的下方.因为g(x)=ex(2x+1),所以当x-时,g(x)-时,g(x)0,所以,当x=-时,g(x)min=-2.当x=0时,g(0)=-1,g(1)=e,直线y=ax-a恒过点(1,0),且斜率为a,故-ag(0)=-1,且g(-1)=-3e-1-a-a,解得a0,所以g(x)在1,2上单调递增,所以g(x)g(1)=e-20,所以g(x)在1,2上单调递增,根据不等式恒成立的意义可得所以m-e或eme+1,所以m的最大值为e+1,无最小值.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.若f(x)在(a,b)内存在导数,则“f(x)0”是“f(x)在(a,b)内单调递减”的条件.【解析】对于导数存在的函数f(x),若f(x)0,则f(x)在区间(a,b)内单调递减,反过来,函数f(x)在(a,b)内单调递减,不一定恒有f(x)0,如f(x)=-x3在R上是单调递减的,但f(x)0.答案:充分不必要14.已知椭圆x220+y2k=1的焦距为6,则k的值是.【解析】当椭圆的焦点在x轴时,a2=20,b2=k,所以c2=a2-b2=20-k,所以c=,因为椭圆+=1的焦距为6,所以c=3,所以k=11;当椭圆的焦点在y轴时,a2=k,b2=20,所以c2=a2-b2=k-20,所以c=,因为椭圆+=1的焦距为6,所以c=3,所以k=29.答案:11或29【误区警示】焦点的位置忽视讨论焦点的位置,从而导致漏解,对双曲线与椭圆的题目一定要分清焦点的位置,若不能确定要进行分类讨论.15.若要做一个容积为324的方底(底为正方形)无盖的水箱,则它的高为时,材料最省.【解题指南】把材料最省问题转化为水箱各面的面积之和最小问题,然后列出所用材料的面积关于边长a的函数关系式.【解析】设水箱的高度为h,底面边长为a,那么V=a2h=324,则h=,水箱所用材料的面积是S=a2+4ah=a2+,令S=2a-=0,得a3=648,a=6,所以h=3,经检验当水箱的高为3时,材料最省.答案:316.下列语句:“x2=1”是“x=1”的充分不必要条件;“x=2时,x2-3x+2=0”的否命题为真命题;命题“xR,使得x2+x+10”的否定是:“xR,均有x2+x+10”;命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题.其中说法错误的是.【解析】因为当x=1成立时有x2=1成立;当x2=1时,不一定有x=1,所以“x2=1”是“x=1”的必要不充分条件,故错;“x=2时,x2-3x+2=0”的否命题为“x2时,有x2-3x+20”,而x=1时,x2-3x+2=0,故错;命题“xR,使得x2+x+10”的否定应为:“xR,均有x2+x+10”,故错误;命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为“若sinxsiny,则xy”是真命题,故正确.答案:【误区警示】“否命题”与“命题的否定”如果原命题是“若p则q”,那么这个命题的否命题是“若非p,则非q”,而这个命题的否定是“若p则非q”.可见,否命题既否定条件又否定结论,而命题的否定只否定结论.一个命题与它的否定形式是完全对立的.两者之间有且只有一个成立.“都是”的否定是“不都是”,“不都是”包含“都不是”,“至少有一个”的否定是“一个都没有”,“所有的”的否定是“某些”,“任意”的否定是“某个”,“至多有一个”的否定是“至少有两个”,“至多有n个”的否定是“至少有n+1个”,“任意两个”的否定是“某两个”.“p且q”的形式,其否定应该为“非p或非q”,“p或q”的形式,其否定应该为“非p且非q”.三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)命题p:方程x2k-3+y2k+3=1,(kR)表示双曲线,命题q:函数y=log2(kx2+kx+1)的定义域为R,若命题pq为真命题,pq为假命题,求实数k的取值范围.【解题指南】首先分别求出命题p,q为真命题时,实数k的取值范围,然后由真值表并结合已知条件命题p,q的关系可得,命题p,q为一真一假,最后根据补集的思想可得出实数k的取值范围.【解析】命题p:由(k-3)(k+3)0,得-3k0对xR恒成立.(1)当k=0时,10,所以k=0符合题意.(2)当k0时,解得所以q:0k4,又因为pq为真命题,pq为假命题,所以或所以-3k0或3k2.命题q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根,所以=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)0,解得1m3.因为“p或q”为真,“p且q”为假,所以p为真、q为假或p为假、q为真,则或解得m3或1b0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P是椭圆短轴的一个端点,且焦距为6,PF1F2的周长为16.(1)求椭圆C的方程.(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线l被椭圆C所截的线段的中点坐标.【解题指南】(1)利用椭圆的标准方程及其参数a,b,c的关系即可得出.(2)把直线与椭圆的方程联立,利用根与系数的关系和线段的中点坐标公式即可得出.【解析】(1)设椭圆的半焦距为c,则由题设得解得所以b2=a2-c2=52-32=16,故所求C的方程为+=1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y=(x-3),将之代入C的方程,得+=1,即x2-3x-8=0.设直线l与椭圆有两个交点A(x1,y1),B(x2,y2),因为x1+x2=3,所以线段AB中点的横坐标为=,纵坐标为=-.故所求线段的中点坐标为.19.(12分)已知函数f(x)=2lnx-x2+ax(aR).(1)当a=2时,求f(x)的图象在x=1处的切线方程.(2)若函数g(x)=f(x)-ax+m在1e,e上有两个零点,求实数m的取值范围.【解析】(1)当a=2时,f(x)=2lnx-x2+2x,f(x)=-2x+2,切点坐标为(1,1),切线的斜率k=f(1)=2,则切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.(2)g(x)=2lnx-x2+m,则g(x)=-2x=.因为x,所以当g(x)=0时,x=1.当x0;当1xe时,g(x)0.故g(x)在x=1处取得极大值g(1)=m-1.又g=m-2-,g(e)=m+2-e2,g(e)-g=4-e2+0,则g(e)g,所以g(x)在上的最小值是g(e).g(x)在上有两个零点的条件是解得10.(1)求f(x)的单调区间和极值.(2)证明若f(x)有零点,则f(x)在区间(1,e)上仅有一个零点.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=x-=.因为k0,所以令f(x)=0得x=,列表如下:x(0,)(,+)f(x)-0+f(x)极小值减区间为(0,),增区间为(,+).当x=时,取得极小值f()=.(2)当1,即00,所以f(x)在区间(1,)上没有零点.当1,即1k0,f()=0,f()=0,此时函数没有零点.当,即ke时,f(x)在(1,)上单调递减,f(1)=0,f()=b0),然后由已知可得a,b,c之间的关系,求解即可.(2)首先联立直线与椭圆的标准方程,并消去y可得一元二次方程(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0,然后由直线与椭圆相交于不同的两点可得其判别式0,再设M(x1,y1),N(x2,y2),由根与系数的关系可得x1+x2,x1x2的值,即可得出MN的中点P的坐标,并结合已知条件可得等式3k2=2m-1,最后得出m的取值范围即可.【解析】(1)因为椭圆的焦点在x轴上,故设椭圆的方程为:+=1(ab0),又椭圆的一个顶点为A(0,-1),离心率为,所以b=1,e=,即b=1,c=a,又a2=b2+c2,所以a2=1+a2,所以a2=3,所以椭圆的方程为:+y2=1.(2)联立消y得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0,因为直线与椭圆相交于不同的两点,设M(x1,y1),N(x2,y2),所以=(6km)2-4(1+3k2)(3m2-3)0,得:3k2-m2+10,所