高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.2奇偶性练习新人教A版.docx

1.3.2奇偶性课时过关能力提升基础巩固1.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是()解析:图象关于原点对称时,函数为奇函数;图象关于y轴对称时,函数为偶函数.从而判断选项B正确.答案:B2.函数f(x)=x4+x2()A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数也是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数解析:定义域是R,f(-x)=(-x)4+(-x)2=x4+x2=f(x),所以函数f(x)是偶函数.答案:B3.已知f(x)是奇函数,且f(a)=-2,则f(-a)等于()A.-2B.2C.2D.0解析:f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x),f(-a)=-f(a)=2.答案:B4.函数y=x2(x+1)x+1()A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数也是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数解析:函数的定义域是(-,-1)(-1,+),不关于原点对称,所以该函数既不是奇函数也不是偶函数.答案:D5.若定义在R上的偶函数f(x)在(0,+)内是增函数,则()A.f(3)f(-4)f(-)B.f(-)f(-4)f(3)C.f(3)f(-)f(-4)D.f(-4)f(-)f(3)答案:C6.若函数f(x)=ax2+2x是奇函数,则a=.解析:因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),即ax2-2x=-ax2-2x,由对应项系数相等得a=0.答案:07.已知函数f(x)是定义在(-,-33,+)上的奇函数,当x3时,f(x)=5x+1,则f(-9)=.解析:f(9)=59+1=12.f(x)是奇函数,f(-9)=-f(9)=-12.答案:-128.已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x0时,f(x)=2x+1,试求f(x)的解析式.解:当x0,此时f(x)=f(-x)=2-x+1,故f(x)=2x+1,x0,2-x+1,x0,即f(x)=2|x|+1.9.求证:函数f(x)=x2+1x2的图象关于y轴对称.分析转化为证明函数f(x)=x2+1x2是偶函数.证明函数f(x)的定义域是(-,0)(0,+).因为f(-x)=(-x)2+1(-x)2=x2+1x2=f(x),所以函数f(x)=x2+1x2是偶函数.故函数f(x)=x2+1x2的图象关于y轴对称.10.定义在-3,-11,3上的函数f(x)是奇函数,其部分图象如图所示.(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象;(2)比较f(1)与f(3)的大小.解:(1)因为f(x)是奇函数,所以其图象关于原点对称,如图所示.(2)观察图象,知f(3)”或“3,f(5)f(3).f(-5)f(3).答案:6.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)=.解析:f(6)=f(4+2)=-f(4)=-f(2+2)=f(2)=f(0+2)=-f(0).又f(x)是定义在R上的奇函数,f(-0)=-f(0).f(0)=0,f(6)=0.答案:07.已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在(-1,1)内的奇函数,且f12=25.(1)确定函数f(x)的解析式;(2)用定义证明:f(x)在(-1,1)内是增函数;(3)解不等式:f(t-1)+f(t)0.(1)解:由题意知f(0)=0,f12=25,即b1+02=0,a2+b1+14=25,解得a=1,b=0,故f(x)=x1+x2.(2)证明任取-1x1x20,f(x2)-f(x1)=x21+x22-x11+x12=(x2-x1)(1-x1x2)(1+x12)(1+x22).-1x1x21,-1x1x20.于是f(x2)-f(x1)0,f(x)为(-1,1)内的增函数.(3)解:f(t-1)-f(t)=f(-t).f(x)在(-1,1)内是增函数,-1t-1-t1,解得0t12.8.已知函数f(x)=x4.(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)分别指出函数f(x)在区间(1,6)和(-6,-1)内的单调性,并证明;(3)由此你能发现什么结论?解:(1)f(x)的定义域为R,f(-x)=(-x)4=x4=f(x),故f(x)是偶函数.(2)函数f(x)在区间(1,6)内是增函数,在区间(-6,-1)内是减函数.证明如下:设x1,x2是区间(1,6)内的任意两个不相等的实数,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=x14-x24=(x12-x22)(x12+x22)=(x1-x2)(x1+x2)(x12+x22).1x1x26,x1-x20,x12+x220.f(x1)