高中数学第二章2.1指数函数2.1.2指数函数及其性质（二）学案（含解析）新人教A版.docx

2.1.2指数函数及其性质(二)学习目标1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断.2.能借助指数函数的性质比较大小.3.会解简单的指数方程、不等式知识点一不同底指数函数图象的相对位置思考y2x与y3x都是增函数，都过点(0,1)，在同一坐标系内如何确定它们两个的相对位置？答案经描点观察，在y轴右侧，2x3x，即y3x图象在y2x上方，经(0,1)点交叉，位置在y轴左侧反转，y2x在y3x图象上方梳理一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系：(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大这一性质可通过令x1时，ya去理解，如图(2)指数函数yax与yx(a0且a1)的图象关于y轴对称知识点二比较幂的大小思考若x1x2，则与(a0且a1)的大小关系如何？答案当a1时，yax在R上为增函数，所以当0a1时，yax在R上为减函数，所以梳理一般地，比较幂大小的方法有：(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断；(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图象的变化规律来判断；(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断知识点三解指数方程、不等式简单指数不等式的解法(1)形如af(x)ag(x)的不等式，可借助yax的单调性求解；(2)形如af(x)b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助yax的单调性求解；(3)形如axbx的不等式，可借助两函数yax，ybx的图象求解知识点四与指数函数复合的函数单调性思考的定义域与y的定义域是什么关系？的单调性与y的单调性有什么关系？答案由于yax(a0且a1)的定义域为R，故的定义域与y的定义域相同，故研究的单调性，只需在y的定义域内研究若设0x1x2，则，不等号方向的改变与yx，y的单调性均有关梳理一般地，有形如yaf(x)(a0，且a1)函数的性质(1)函数yaf(x)与函数yf(x)有相同的定义域(2)当a1时，函数yaf(x)与yf(x)具有相同的单调性；当0a0.1b，则ab.()3a，b均大于0且不等于1，若axbx，则x0.()4由于yax(a0且a1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也组不成具有奇偶性的函数()类型一解指数方程例1解下列方程(1)8132xx2；(2)22x232x10.考点指数方程的解法题点指数方程的解法解(1)8132xx2，32x432(x2)，2x42(x2)，x2.(2)22x232x10，4(2x)232x10.令t2x(t0)，则方程可化为4t23t10，解得t或t1(舍去)2x，解得x2.反思与感悟(1)af(x)b型通常化为同底来解(2)解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围转化为解二次方程，用二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍跟踪训练1解下列方程(1)33x281；(2)；(3)52x65x50.考点指数方程的解法题点指数方程的解法解(1)8134，33x234，3x24，解得x2.(2)，解得x.(3)令t5x，则t0，原方程可化为t26t50，解得t5或t1，即5x5或5x1，x1或x0.类型二指数函数单调性的应用命题角度1比较大小例2比较下列各题中两个值的大小(1)1.72.5,1.73；(2)1.70.3,1.50.3；(3)1.70.3,0.83.1.考点指数幂的大小比较题点比较指数幂大小解(1)1.71，y1.7x在(，)上是增函数2.53，1.72.51.73.(2)方法一1.71.5，在(0，)上，y1.7x的图象位于y1.5x的图象的上方而0.30，1.70.31.50.3.方法二1.50.30，且0.3，又1,0.30，0.31，1.70.31.50.3.(3)1.70.31.701,0.83.10.801，1.70.30.83.1.反思与感悟当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和1.跟踪训练2比较下列各题中的两个值的大小(1)0.80.1,1.250.2；(2)，1；(3)0.23，(3)0.2.考点指数幂的大小比较题点比较指数幂大小解(1)00.81，y0.8x在R上是减函数0.20.1，0.80.20.80.1，即0.80.11.250.2.(2)01，函数yx在R上是减函数又0，01，即1.(3)0.233353，命题角度2解指数不等式例3解关于x的不等式：a2x1ax5(a0，且a1)考点指数不等式的解法题点指数不等式的解法解当0a1时，a2x1ax5，2x1x5，解得x6.综上所述，当0a1时，不等式的解集为x|x6反思与感悟解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响跟踪训练3已知(a2a2)x(a2a2)1x，则x的取值范围是_考点指数不等式的解法题点指数不等式的解法答案解析a2a221，(a2a2)x(a2a2)1xx1xx.x.类型三求与指数函数复合的函数的单调区间例4(1)求函数的单调区间；(2)求函数y2x8x17的单调区间考点指数函数的单调性题点指数型复合函数的单调区间解(1)函数的定义域为R.在(，3上，yx26x17是减函数，在(，3上是增函数在3，)上，yx26x17是增函数，在3，)上是减函数的增区间是(，3，减区间是3，)(2)函数y2x8x17的定义域为R.设tx0，又yt28t17在(0,4上单调递减，在4，)上单调递增，令x4，得x2，当2x1t2，t8t117t8t217.y2x8x17的单调增区间是2，)同理可得减区间是(，2反思与感悟复合函数单调性问题归根结底是由x11时，y关于u为增函数；当0a1时，原函数的增区间为1，)，减区间为(，1；当0a1时，原函数的增区间为(，1，减区间为1，)(2)已知函数的定义域为x|x0设y，u0.2x，易知u0.2x为减函数而根据y的图象可知在区间(，1)和(1，)上，y是关于u的减函数，原函数的增区间为(，0)和(0，).1下列大小关系正确的是()A0.4330.40B0.43030.4C30.40.430D030.40.43考点指数幂的大小比较题点比较指数幂大小答案B解析0.430.4003030.4.2方程42x116的解是()AxBxCx1Dx2考点指数方程的解法题点指数方程的解法答案B解析42x142，2x12，x.3函数的单调递增区间为()A(，0 B0，)C(1，) D(，1)考点指数函数的单调性题点指数型复合函数的单调区间答案A解析，01，f(x)的单调递增区间为u(x)x21的单调递减区间，即(，04设0a1，则关于x的不等式的解集为_考点指数不等式的解法题点指数不等式的解法答案(1，)解析0a1，yax在R上是减函数，又，2x23x22x22x3，解得x1.5f(x)2x2x的奇偶性是_考点与指数函数相关的函数的奇偶性题点与指数函数相关的函数的奇偶性答案偶函数解析f(x)的定义域为R.f(x)2x2(x)2x2xf(x)，f(x)为偶函数1比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数yax的单调性(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且cbn，则amc且cbn，则ambn.2解简单指数不等式问题的注意点(1)形如axay的不等式，可借助yax的单调性求解如果a的值不确定，需分0a1两种情况进行讨论(2)形如axb的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助yax的单调性求解(3)形如axbx的不等式，可借助图象求解3(1)研究yaf(x)型单调区间时，要注意a1还是0a1时，yaf(x)与f(x)单调性相同当0a1时，yaf(x)与f(x)单调性相反(2)研究yf(ax)型单调区间时，要注意ax属于f(u)的增区间还是减区间一、选择题1设x0，且1bxax，则()A0ba1B0ab1C1baD1ab考点指数不等式的解法题点指数不等式的解法答案B解析1bxax，x0，0a1,0b1.当x1时，a，0abf(n)，则m，n的关系为()Amn0CmnDmn考点指数不等式的解法题点指数不等式的解法答案D解析0f(n)，m0，且a1)，满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是()A(，2 B2，)C2，) D(，2考点指数函数的单调性题点指数型复合函数的单调区间答案B解析由f(1)得a2，所以a(a舍去)，即f(x)|2x4|.由于y|2x4|在(，2上递减，在2，)上递增，所以f(x)在(，2上递增，在2，)上递减故选B.5设y140.9，y280.48，y31.5，则()Ay3y1y2By2y1y3Cy1y2y3Dy1y3y2考点指数幂的大小比较题点比较指数幂大小答案D解析40.921.8,80.4821.44，1.521.5，根据y2x在R上是增函数，得21.821.521.44，即y1y3y2，故选D.6设f(x)|3x1|，cbf(a)f(b)，则下列关系式中一定成立的是()A3c3bB3c3bC3c3a2D3c3af(a)f(b)可知c，b，a不在同一个单调区间上故有c0.f(c)13c，f(a)3a1.f(c)f(a)，即13c3a1,3c3a2.7已知函数f(x)x(exaex)(xR)，若f(x)是偶函数，记am，若f(x)是奇函数，记an，则m2n的值为()A0B1C2D1考点与指数函数相关的函数的奇偶性题点与指数函数相关的函数的奇偶性答案B解析当f(x)是偶函数时，f(x)f(x)，即x(exaex)x(exaex)，即(1a)(exex)x0，因为上式对任意实数x都成立，所以a1，即m1.当f(x)是奇函数时，f(x)f(x)，即x(exaex)x(exaex)，即(1a)(exex)x0，因为上式对任意实数x都成立，所以a1，即n1，所以m2n1.8若存在正实数x使2x(xa)1，则a的取值范围是()A(，) B(2，)C(0，) D(1，)考点指数函数的单调性题点根据指数函数的单调性求参数的取值范围答案D解析由2x(xa)x(x0)，令f(x)x，即af(x)有解，则af(x)min，又f(x)在(0，)上是增函数，f(x)f(0)1，a1.故选D.二、填空题9函数f(x)的单调递减区间是_考点指数函数的单调性题点指数型复合函数的单调区间答案(2，)解析函数由f(t)t，t(x)x24x5复合而成，其中f(t)t是减函数，t(x)x24x5在(，2)上是减函数，在(2，)上是增函数由复合函数的单调性可知，函数的单调递减区间为(2，)10某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量f(x)(mg/mL)随时间x(h)变化的规律近似满足解析式f(x)规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.02mg/mL，据此可知，此驾驶员至少要过_h后才能开车(精确到1h)考点指数函数的实际应用题点指数函数的实际应用答案4解析当0x1时，5x2，此时不宜开车；由x0.02，可得x3.10.故至少要过4h后才能开车11若4x2x1m1对一切实数x成立，则实数m的取值范围是_考点指数函数性质的综合应用题点与指数函数有关的恒成立问题答案1，)解析4x2x1m1等价于(2x)222x12m，即(2x1)22m.2x(0，)，2x1(1，)，2m1，解得m1.三、解答题12已知函数f(x)2a4x2x1.(1)当a1时，解不等式f(x)0；(2)当a，x0,2时，求f(x)的值域考点指数函数性质的综合应用题点与指数函数有关的恒成立问题解(1)当a1时，f(x)24x2x1.f(x)0，即2(2x)22x10，解得2x1或2x0，不等式f(x)0的解集为x|x0(2)当a时，f(x)4x2x1，x0,2设t2x，x0,2，t1,4令yg(t)t2t1(1t4)，画出g(t)t2t1(1t4)的图象(如图)，可知g(t)ming(1)1，g(t)maxg(4)11，f(x)的值域为1,1113已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)12x，(1)写出f(x)的单调区间；(2)求不等式f(x)的解集考点指数函数性质的综合应用题点与指数函数有关的恒成立问题解(1)f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0.f(x)在0，)上是增函数，f(x)在(，)上是增函数(2)f(x)f(1)f(1)，由(1)知f(x)在R上是增函数，x1.即f(x)2时，f(x)是增函数，则af(1.10.9)，bf(0.91.1)，cf(2)的大小关系是_(按由大到小排列)考点指数幂的大小比较题点比较指数幂大小答案bac解析f(x)f(4x)，f(x)关于x2对称又f(x)在(2，)上是增函数，f(x)在(，2)上是减函数又1.10.91,00.91.11，0.91.11.10.9f(1.10.9)f(2)，即b