高中数学第二章平面向量数量积的物理背景及其含义（一）学案（无答案）新人教A版.docx

2.4平面向量的数量积24.1平面向量数量积的物理背景及其含义(一)学习目标1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直知识点一平面向量数量积的物理背景及其定义一个物体在力F的作用下产生位移s，如图思考1如何计算这个力所做的功？答案W|F|s|cos.思考2力做功的大小与哪些量有关？答案与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关梳理条件非零向量a与b，a与b的夹角为结论数量|a|b|cos叫做向量a与b的数量积(或内积)记法向量a与b的数量积记作ab，即ab|a|b|cos规定零向量与任一向量的数量积为0知识点二平面向量数量积的几何意义思考1什么叫做向量b在向量a方向上的投影？什么叫做向量a在向量b方向上的投影？答案如图所示，a，b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1|b|cos.|b|cos叫做向量b在a方向上的投影，|a|cos叫做向量a在b方向上的投影思考2向量b在向量a方向上的投影与向量a在向量b方向上的投影相同吗？答案由投影的定义知，二者不一定相同梳理(1)条件：向量a与b的夹角为.(2)投影向量b在a方向上的投影|b|cos向量a在b方向上的投影|a|cos(3)ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积知识点三平面向量数量积的性质思考1向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？答案向量的线性运算结果是向量，而向量的数量积是数量思考2非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？答案由两个非零向量的夹角决定当090时，非零向量的数量积为正数当90时，非零向量的数量积为零当90180时，非零向量的数量积为负数梳理设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为，(1)abab0.(2)当ab时，ab(3)aa|a|2或|a|.(4)cos.(5)|ab|a|b|.1向量数量积的运算结果是向量()2向量a在向量b上的投影一定是正数()3在等边ABC中，向量与向量夹角为60.()提示向量与向量夹角为120.类型一求两向量的数量积例1已知正三角形ABC的边长为1，求：(1)；(2)；(3).考点平面向量数量积的概念与几何意义题点平面向量数量积的概念与几何意义解(1)与的夹角为60.|cos6011.(2)与的夹角为120，|cos12011.(3)与的夹角为60，|cos6011.反思与感悟求平面向量数量积的两个方法(1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式ab|a|b|cos.运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件(2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影，可利用数量积的几何意义求ab.跟踪训练1已知|a|4，|b|7，且向量a与b的夹角为120，求(2a3b)(3a2b)考点平面向量数量积的概念与几何意义题点平面向量数量积的概念与几何意义解(2a3b)(3a2b)6a24ab9ba6b26|a|25ab6|b|2642547cos120672268.类型二求向量的模例2已知|a|b|5，向量a与b的夹角为，求|ab|，|ab|.考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的模解ab|a|b|cos55.|ab|5.|ab|5.引申探究若本例中条件不变，求|2ab|，|a2b|.解ab|a|b|cos55，|2ab|5.|a2b|5.反思与感悟求解向量模的问题就是要灵活应用a2|a|2，即|a|，勿忘记开方跟踪训练2已知|a|1，|b|3，且|ab|2，求|ab|.考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的模解方法一|ab|2(ab)2a22abb2192ab4，ab3.|ab|2(ab)2a22abb2192316，|ab|4.方法二|ab|2(ab)2a22abb2，|ab|2(ab)2a22abb2，|ab|2|ab|22a22b2212920.又|ab|2，|ab|216，|ab|4.类型三求向量的夹角例3(1)设n和m是两个单位向量，其夹角是60，求向量a2mn与b2n3m的夹角考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的夹角解|n|m|1且m与n夹角是60，mn|m|n|cos6011.|a|2mn|，|b|2n3m|，ab(2mn)(2n3m)mn6m22n26121.设a与b的夹角为，则cos.又0，故a与b的夹角为.(2)已知非零向量a，b满足|a|b|ab|，求a与ab的夹角及a与ab的夹角考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的夹角解如图所示，在平面内取一点O，作a，b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，使|，四边形OACB为菱形，OC平分AOB，这时ab，ab.由于|a|b|ab|，即|，AOC60，即a与ab的夹角为60.AOC60，AOB120，又|，OAB30，即a与ab的夹角为30.反思与感悟(1)求向量的夹角，主要是利用公式cos求出夹角的余弦值，从而求得夹角可以直接求出ab的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，ab三者之间的关系，然后代入求解(2)求向量的夹角，还可结合向量线性运算、模的几何意义，利用数形结合的方法求解(3)求向量的夹角时，注意向量夹角的范围是0，跟踪训练3已知|a|b|2，(a2b)(ab)2，求a与b的夹角考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的夹角解(a2b)(ab)|a|22|b|2ab2.|a|b|2，ab2，设a与b的夹角为，cos，又0，.1已知|a|1，|b|2，a与b的夹角为，则ab等于()A1B2C3D4考点平面向量数量积的概念与几何意义题点平面向量数量积的概念与几何意义答案A解析ab12cos1，故选A.2在等腰直角三角形ABC中，若C90，AC，则的值等于()A2B2C2D2考点平面向量数量积的概念与几何意义题点平面向量数量积的概念与几何意义答案B解析|cosABC2cos452.3已知|a|8，|b|4，a，b120，则向量b在a方向上的投影为()A4B4C2D2考点平面向量的投影题点求向量的投影答案D解析向量b在a方向上的投影为|b|cosa，b4cos1202.4已知菱形ABCD的边长为a，ABC60，则等于()Aa2Ba2C.a2D.a2考点平面向量数量积的概念与几何意义题点平面向量数量积的概念与几何意义答案D解析如图所示，由题意，得BCa，CDa，BCD120.()2aacos60a2a2.5已知向量a，b的夹角为60，且|a|2，|b|1，若c2ab，da2b，求：(1)cd；(2)|c2d|.考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的模解(1)cd(2ab)(a2b)2a22b23ab24213219.(2)|c2d|2(4a3b)216a29b224ab16491242197，|c2d|.1两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a0，b0,090时)，也可以为负(当a0，b0,90180时)，还可以为0(当a0或b0或90时)2两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆3求投影有两种方法(1)b在a方向上的投影为|b|cos(为a，b的夹角)，a在b方向上的投影为|a|cos.(2)b在a方向上的投影为，a在b方向上的投影为.4两非零向量a，b，abab0，求向量模时要灵活运用公式|a|.一、选择题1(2017辽宁大连二十中高一月考)设非零向量a，b，c满足|a|b|c|，abc，则a与b的夹角为()A150B120C60D30考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的夹角答案B解析由|a|b|c|且abc，得|ab|b|，平方得|a|2|b|22ab|b|22ab|a|22|a|b|cos|a|2cos120.2已知|a|3，|b|4，且a与b的夹角150，则ab等于()A6B6C6D6考点平面向量数量积的概念与几何意义题点平面向量数量积的概念与几何意义答案C3已知a，b方向相同，且|a|2，|b|4，则|2a3b|等于()A16B256C8D64考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的模答案A解析|2a3b|24a29b212ab1614496256，|2a3b|16.4已知|a|6，|b|3，ab12，则向量a在向量b方向上的投影是()A4B4C2D2考点平面向量的投影题点求向量的投影答案A解析根据投影的定义，设a，b的夹角为，可得向量a在b方向上的投影是|a|cos4，故选A.5已知平面上三点A，B，C，满足|3，|4，|5，则的值等于()A7B7C25D25考点平面向量数量积的概念与几何意义题点平面向量数量积的概念与几何意义答案D解析由条件知ABC90，所以原式045cos(180C)53cos(180A)20cosC15cosA201516925.6设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab等于()A1B2C3D5考点平面向量数量积的概念与几何意义题点平面向量数量积的概念与几何意义答案A解析|ab|2(ab)2a22abb210，|ab|2(ab)2a22abb26，由得4ab4，ab1.7在ABC中，AB6，O为ABC的外心，则等于()A.B6C12D18考点平面向量数量积的概念与几何意义题点平面向量数量积的概念与几何意义答案D解析如图，过点O作ODAB于D，可知ADAB3，则()36018，故选D.二、填空题8(2017全国)已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|_.考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的模答案2解析方法一|a2b|2.方法二(数形结合法)由|a|2b|2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a2b|.又AOB60，所以|a2b|2.9设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60，则(2e1e2)(3e12e2)_.考点平面向量数量积的概念与几何意义题点平面向量数量积的概念与几何意义答案10(2017四川绵阳南山中学高一月考)已知在ABC中，ABAC4，8，则ABC的形状是_考点平面向量数量积的应用题点数量积在三角形中的应用答案等边三角形解析|cosBAC，即844cosBAC，于是cosBAC，因为0BAC180，所以BAC60.又ABAC，故ABC是等边三角形11在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点，若1，则AB的长为_考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的模答案解析如图，由题意可知，.因为1，所以()1，即221.因为|1，BAD60，所以式可化为1|21.解得|0(舍去)或|，所以AB的长为.12已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.则向量a在向量ab方向上的投影为_考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的模答案解析(2a3b)(2ab)4a23b24ab416394ab61，解得ab6，|ab|2a2b22ab1691213，|ab|，设a与ab的夹角为，a(ab)a2ab10，cos，则a在ab方向上的投影为|a|cos4.三、解答题13如图，在ABCD中，a，b，.(1)用a，b表示；(2)若|a|1，|b|4，DAB60，分别求|和的值考点平面向量数量积的概念与几何意义题点平面向量数量积的概念与几何意义解(1)ab.(2)因为|a|1，|b|4，DAB60，所以|22|b|2ab|a|214cos60.所以|.(ab)|a|2ab|b|214cos604.四、探究与拓展14已知向量a，b满足|a|1，a与b的夹角为，若对一切实数x，|xa2b|ab|恒成立，则|b|的取值范围为()A2，) B1,1C1，) D(，1)考点平面向量数量积的运算性质和法则题点求向量的数量积的最值答案C解析对不等式|xa2b|ab|两边平方得，(xa2b)2(ab)2，所以x2|a|24abx4|b|2|a|22ab|b|2，又a与b的夹角为，且|a|1，则有ab|a|b|cos|b|，所以有x24x|b|4|b|21|b|b|2，即x22|b|x3|b|21|b|0，此式对一