高中数学第三章3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型学案（含解析）新人教A版.docx

3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型学习目标1.了解指数函数、对数函数及幂函数等函数模型的增长差异.2.会根据函数的增长差异选择函数模型知识点一函数模型一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型知识点二三种常见函数模型的增长差异比较三种函数模型的性质，填写下表.函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定随n值而不同增长速度ax的增长快于xn的增长，xn的增长快于logax的增长增长后果会存在一个x0，当xx0时，有axxnlogax1先有实际问题，后有模型()2一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合，又能很好地推演和预测()3增长速度越来越快的一定是指数函数模型()4由于指数函数模型增长速度最快，所以对于任意xR恒有axx2(a1)()类型一几类函数模型的增长差异例1(1)下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是()Ay50xByx50Cy50xDylog50x(xN*)考点三种函数模型增长的差异题点三种函数模型增长速度的差异答案C解析四个函数中，增长速度由慢到快依次是ylog50x，y50x，yx50，y50x.(2)函数y2xx2的大致图象为()考点三种函数模型增长的差异题点三种函数模型增长速度的差异答案A解析在同一平面直角坐标系内作出y12x，y2x2的图象(图略)易知在区间(0，)上，当x(0,2)时，2xx2，即此时y0；当x(2,4)时，2xx2，即y0；当x(4，)时，2xx2，即y0；当x1时，y2110.据此可知只有选项A中的图象符合条件反思与感悟在区间(0，)上，尽管函数yax(a1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，yax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度，而ylogax(a1)的增长速度则会越来越慢因此，总会存在一个x0，当xx0时，就有logaxxnax.跟踪训练1函数f(x)的大致图象为()考点三种函数模型增长的差异题点三种函数模型增长速度的差异答案D解析f(x)为偶函数，排除A，B.当x1时，ylg|x|lgx0，且增长速度小于yx2，所以当x时，0且函数值为正数，故选D.类型二函数模型的增长差异在函数图象上的体现例2高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数vf(h)的大致图象是()考点三种函数模型增长的差异题点三种函数模型增长速度的差异答案B解析vf(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.反思与感悟一般来说，函数模型的增长速度与图象关系如下表：增长速度越来越快不变越来越慢图象/跟踪训练2某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年的年产量保持不变，将该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系用图象表示，则正确的是()考点三种函数模型增长的差异题点三种函数模型增长速度的差异答案A类型三函数模型的应用命题角度1选择函数模型例3某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求，对超市的商品种类做了一定的调整，结果调整初期利润增长迅速，随着时间的推移，增长速度越来越慢，如果建立恰当的函数模型来反映该超市调整后利润y与售出商品的数量x的关系，则可选用()A一次函数B二次函数C指数型函数D对数型函数考点建立函数模型解决实际问题题点对数函数模型的应用答案D解析四个函数中，A的增长速度不变，B，C增长速度越来越快，其中C增长速度比B更快，D增长速度越来越慢，故只有D能反映y与x的关系反思与感悟根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型同时，要注意利用函数图象的直观性来确定适合题意的函数模型跟踪训练3(2017河南安阳检测)四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f1(x)x2，f2(x)4x，f3(x)log2x，f4(x)2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()Af1(x)x2Bf2(x)4xCf3(x)log2xDf4(x)2x考点建立函数模型解决实际问题题点指数函数模型的应用答案D解析四个函数模型中，增长速度最快的为f4(x)2x.存在x0，当xx0时，有2xx24xlog2x.即时间足够长时，f4(x)路程最远故选D.命题角度2用函数模型决策例4某公司预投资100万元，有两种投资可供选择：甲方案年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；乙方案年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息哪种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)考点建立函数模型解决实际问题题点建立函数模型解决实际问题解按甲，每年利息10010%10,5年后本息合计150万元；按乙，第一年本息合计1001.09，第二年本息合计1001.092，5年后本息合计1001.095153.86(万元)故按乙方案投资5年可多得利3.86万元，乙方案投资更有利反思与感悟建立函数模型是为了预测和决策，预测过程就是依据模型研究相应性质，得到结论后再返回实际问题给出决策跟踪训练4一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价优惠”这两家旅行社的原价是一样的试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠考点建立函数模型解决实际问题题点建立函数模型解决实际问题解设家庭中孩子数为x(x1，xN*)，旅游收费为y，旅游原价为a.甲旅行社收费：ya(x1)(x3)；乙旅行社收费：y(x2)(x2)(x3)(x1)，当x1时，两家旅行社收费相等当x1时，甲旅行社更优惠.1下列函数中随x的增长而增长最快的是()AyexBylnxCyx100Dy2x考点三种函数模型增长的差异题点三种函数模型增长速度的差异答案A2能使不等式log2xx22x一定成立的x的取值区间是()A(0，) B(2，) C(，2) D(4，)考点三种函数模型增长的差异题点三种函数模型增长速度的差异答案D3某物体一天中的温度T(单位：)是时间t(单位：h)的函数：T(t)t33t60，t0表示中午12：00，其后t取正值，则下午3时温度为()A8B78C112D18考点建立函数模型解决实际问题题点幂函数模型的应用答案B4下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是_y101.05x；y20x1.5；y30lg(x1)；y50.考点建立函数模型解决实际问题题点建立函数模型解决实际问题答案5(2017临沂期中)甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是_(填序号)甲比乙先出发；乙比甲跑的路程多；甲、乙两人的速度相同；甲比乙先到达终点考点三种函数模型增长的差异题点三种函数模型增长速度的差异答案解析由图知，甲、乙两人S与t的关系均为直线上升，路程S的增长速度不变，即甲、乙均为匀速运动，但甲的速度快又甲、乙的路程S取值范围相同，即跑了相同的路程，故甲用时少，先到终点1四类不同增长的函数模型(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型(2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型(3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型(4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型2函数模型的应用(1)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论(2)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题.一、选择题1下列函数中，增长速度越来越慢的是()Ay6xBylog6xCyx6Dy6x考点三种函数模型增长的差异题点三种函数模型增长速度的差异答案B解析D增长速度不变，A，C增长速度越来越快，只有B符合题意2以下四种说法中，正确的是()A幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B对任意的x0，xalogaxC对任意的x0，axlogaxD不一定存在x0，当xx0时，总有axxalogax考点三种函数模型增长的差异题点三种函数模型增长速度的差异答案D解析对于A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较；对于B，C，显然不成立；对于D，当a1时，一定存在x0，使得当xx0时，总有axxalogax，但若去掉限制条件“a1”，则结论不成立3某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数yf(x)的图象大致是()考点三种函数模型增长的差异题点三种函数模型增长速度的差异答案D解析设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，axa(10.104)y，故ylog1.104x(x1)，yf(x)的图象大致为D中图象4下面给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是()A指数函数：y2tB对数函数：ylog2tC幂函数：yt3D二次函数：y2t2考点建立函数模型解决实际问题题点指数函数模型的应用答案A解析由题干中的图象可知，该函数模型应为指数函数5某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：时)之间的函数关系式为：PP0ekt(k，P0均为正的常数)若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么，至少还需要过滤的时间为()A.小时B.小时C5小时D10小时考点建立函数模型解决实际问题题点建立函数模型解决实际问题答案C解析由题意知前5个小时消除了90%的污染物PP0ekt，(190%)P0P0e5k，0.1e5k，即5kln0.1，kln0.1.由1%P0P0ekt，即0.01ekt，ktln0.01，tln0.01，t10，至少还需要过滤5小时才可以排放6向高为H的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V与水深h的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是()考点三种函数模型增长的差异题点三种函数模型增长速度的差异答案B解析水深h为自变量，随着h增大，A中V增长速度越来越快，C中先慢后快，D增长速度不变，只有B中V增长速度越来越慢7某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份()A甲食堂的营业额较高B乙食堂的营业额较高C甲、乙两食堂的营业额相同D不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高考点建立函数模型解决实际问题题点建立函数模型解决实际问题答案A解析设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x，由题意可知，m8am(1x)8，则5月份甲食堂的营业额y1m4a，乙食堂的营业额y2m(1x)4，因为yy(m4a)2m(m8a)16a20，所以y1y2，故本年5月份甲食堂的营业额较高8我们处在一个有声的世界里，不同场合人们对声音的音量会有不同的要求音量大小的单位是分贝(dB)对于一个强度为I的声波，其音量的大小可由如下公式计算：10lg(其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)设170dB的声音强度为I1，260dB的声音强度为I2，则I1是I2的()A.倍B10倍C10倍Dln倍考点建立函数模型解决实际问题题点对数函数模型的应用答案B解析由题意，令7010lg，则有I1I0107.同理得I2I0106，所以10.二、填空题9某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(双)的关系式为y5x4000，而手套出厂价格为每双10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为_双考点建立函数模型解决实际问题题点建立函数模型解决实际问题答案800解析要使该厂不亏本，只需10xy0，即10x(5x4000)0，解得x800.10在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度vm/s和燃料质量Mkg，火箭(除燃料外)质量mkg的关系是v2000ln，则当燃料质量是火箭质量的_倍时，火箭的最大速度可达12km/s.考点建立函数模型解决实际问题题点对数函数模型的应用答案e61解析由题意可知2000ln12000，ln6，从而e61.11某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系式为yalog2(x1)，设这种动物第一年有100只，则到第7年这种动物发展到_只考点建立函数模型解决实际问题题点对数函数模型的应用答案300解析把x1，y100代入yalog2(x1)中，得a100，故函数关系式为y100log2(x1)，所以当x7时，y100log2(71)300，所以到第7年这种动物发展到300只三、解答题12某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，求本利和y随存期x变化的函数关系式考点建立函数模型解决实际问题题点指数函数模型的应用解已知本金为a元，利率为r，则1期后本利和为yaara(1r)，2期后本利和为ya(1r)a(1r)ra(1r)2，3期后本利和为ya(1r)3，x期后本利和为ya(1r)x，xN*.13某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖挂4节车厢，一天能来回16次，如果该车每次拖挂7节车厢，则每天能来回10次(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数的解析式和定义域；(2)在(1)的条件下，每节车厢能载乘客110人问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数考点建立函数模型解决实际问题题点建立函数模型解决实际问题解(1)设每天来回y次，每次拖挂x节车厢，由题意设ykxb(k0)，当x4时，y16，当x7时，y10，得到164kb,107kb，解得k2，b24，y2x24.依题意有解得定义域为xN|0x12(2)设每天来回y次，每次拖挂x节车厢，由题意知，每天拖挂车厢最多时，运营人数最多，设每天拖挂S节车厢，则Sxyx(2x24)2x224x2(x6)272，x0,12且xN.所以当x6时，Smax72，此时y12，则每日最多运营人数为110727920.故这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7920.四、探究与拓展14一