高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3抛物线2.3.1抛物线及其标准方程学案（含解析）新人教A版.docx

2.3抛物线2.3.1抛物线及其标准方程学习目标1.理解抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题知识点一抛物线的定义思考1平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是什么？答案连接两定点所得线段的垂直平分线思考2平面内，到一定点和一条定直线(点不在定直线上)距离相等的点的轨迹是直线还是曲线呢？答案曲线梳理(1)定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹叫抛物线(2)焦点：定点F叫抛物线的焦点(3)准线：定直线l叫抛物线的准线知识点二抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)xy22px(p0)xx22py(p0)yx22py(p0)y特别提醒：(1)方程特点：焦点在x轴上，x是一次项，y是平方项；焦点在y轴上，y是一次项，x是平方项(2)一次项表明焦点所在轴，它的符号表明开口方向，有如下口诀：焦点轴一次项，符号确定开口向；若y是一次项，负时向下正向上；若x是一次项，负时向左正向右1到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线()2抛物线的方程都是y关于x的二次函数()3方程x22ay(a0)是表示开口向上的抛物线()类型一求抛物线的标准方程例1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程(1) 过点(3，4)；(2) 焦点在直线x3y150上考点抛物线的标准方程题点求抛物线方程解(1)方法一点(3，4)在第四象限，设抛物线的标准方程为y22px (p0)或x22p1y (p10)把点(3，4)分别代入y22px和x22p1y，得(4)22p3,322p1(4)，即2p，2p1.所求抛物线的标准方程为y2x或x2y.方法二点(3，4)在第四象限，抛物线的方程可设为y2ax (a0)或x2by (b0)把点(3，4)分别代入，可得a，b.所求抛物线的标准方程为y2x或x2y.(2)令x0得y5；令y0得x15.抛物线的焦点为(0，5)或(15,0)所求抛物线的标准方程为x220y或y260x.反思与感悟求抛物线的标准方程的关键与方法(1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数(2)方法：直接法，建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程直接根据定义求p，最后写标准方程利用待定系数法设标准方程，找有关的方程组求系数跟踪训练1已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程(1)y26x；(2)3x25y0；(3)y4x2；(4)y2a2x(a0)考点抛物线的几何性质题点与准线、焦点有关的简单几何性质解(1)由方程y26x，知抛物线开口向左，2p6，p3，所以焦点坐标为，准线方程为x.(2)将3x25y0变形为x2y，知抛物线开口向下，2p，p，所以焦点坐标为，准线方程为y.(3)将y4x2化为x2y，知抛物线开口向上，2p，p，所以焦点坐标为，准线方程为y.(4)由方程y2a2x(a0)知抛物线开口向右，2pa2，p，所以焦点坐标为，准线方程为x.类型二抛物线定义的应用例2若动圆M与圆C：(x2)2y21外切，又与直线x10相切，则动圆圆心的轨迹方程为_考点抛物线的定义题点由抛物线定义确定轨迹及轨迹方程答案y28x解析设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2,0)，半径r1.因为两圆外切，所以|MC|R1.又动圆M与已知直线x10相切，所以圆心M到直线x10的距离dR.所以|MC|d1.即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x20的距离由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x20为准线的抛物线，且2，p4，故其方程为y28x.反思与感悟(1)确定定点与定直线(定点在定直线外)(2)满足动点到定点与定直线的距离相等，便可确定动点轨迹为抛物线跟踪训练2若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，求点M的轨迹方程考点抛物线的定义题点由抛物线定义确定轨迹及轨迹方程解由位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F的距离与它到直线l：x的距离相等由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y22px(p0)的形式，而，所以p1,2p2，故点M的轨迹方程为y22x(x0)类型三抛物线的实际应用例3如图所示，汽车前灯反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反光镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反光镜顶点(即截得抛物线的顶点)的距离为()A10cmB7.2cmC3.6cmD2.4cm考点抛物线的标准方程题点抛物线方程的应用答案C解析以截得抛物线的顶点为原点，以反光镜的轴为x轴，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为y22px(p0)，点(10,12)在抛物线y22px上，1442p10，3.6，灯泡与反光镜顶点的距离为3.6cm.反思与感悟求抛物线实际应用的五个步骤(1)建系：建立适当的坐标系(2)设方程：设出合适的抛物线标准方程(3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程(4)求解：求出需要求出的量(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题跟踪训练3如图是抛物线型拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m水位下降1m后，水面宽_m.考点抛物线的标准方程题点抛物线方程的应用答案2解析以抛物线顶点为原点，以过原点平行于水面的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x22py，则点(2，2)在抛物线上，代入可得p1，所以x22y.当y3时，x26，所以水面宽为2米1抛物线yx2的准线方程是()Ay1By2Cx1Dx2考点抛物线的几何性质题点与准线、焦点有关的简单几何性质答案A解析由yx2，得x24y，则抛物线的焦点在y轴正半轴上，且2p4，即p2，因此准线方程为y1.2设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A4B6C8D12考点抛物线的几何性质题点与准线、焦点有关的简单几何性质答案B解析由抛物线的定义可知，点P到抛物线焦点的距离是426.3已知抛物线x24y上的一点M到此抛物线的焦点的距离为2，则点M的纵坐标是()A0B.C1D2考点抛物线的定义题点抛物线定义的直接应用答案C解析根据抛物线方程可求得焦点坐标为F(0,1)，准线方程为y1，设M(xM，yM)，根据抛物线定义，得yM12，解得yM1.4若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x50的距离少1，则动点P的轨迹方程是_考点抛物线的定义题点由抛物线定义确定轨迹及轨迹方程答案y216x解析点P到点F(4,0)的距离比它到直线x50的距离少1，点P到直线x4的距离和它到点(4,0)的距离相等根据抛物线的定义可得点P的轨迹是以点(4,0)为焦点，以直线x4为准线的抛物线，设抛物线的标准方程为y22px(p0)，4，动点P的轨迹方程为y216x.5求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点为(0，2)；(2)准线方程为y1；(3)过点(2，1)；(4)焦点到准线的距离为8.考点抛物线的标准方程题点求抛物线方程解(1)因为焦点在y轴的负半轴上，2，即p4，所以抛物线方程为x28y.(2)焦点在y轴正半轴上，且1，p2，抛物线的标准方程为x24y.(3)点(2，1)在第三象限，分两种情况：当焦点在x轴上时，设其方程为y22px，则14p，即p，抛物线方程为y2x；当焦点在y轴上时，设其方程为x22py，则42p，即p2，抛物线方程为x24y.(4)焦点到准线的距离为8，p8，所以抛物线方程有四种形式y216x，y216x，x216y，x216y.1抛物线的定义中不要忽略条件：点F不在直线l上2确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论，有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y22mx (m0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x22my (m0)3对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离.一、选择题1对抛物线y4x2，下列描述正确的是()A开口向上，焦点为(0,1)B开口向上，焦点为C开口向右，焦点为(1,0)D开口向右，焦点为考点抛物线的几何性质题点与准线、焦点有关的简单几何性质答案B解析由y4x2得x2y，开口向上，焦点坐标为.2已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线的焦点坐标为()A(1,0) B(1,0)C(0，1) D(0,1)考点抛物线的标准方程题点与准线、焦点有关的问题答案B解析抛物线y22px(p0)的准线方程为x，由题设知1，即p2，故焦点坐标为，故选B.3过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为()A圆B椭圆C直线D抛物线考点抛物线的定义题点由抛物线定义确定轨迹及轨迹方程答案D解析设P为满足条件的点，则点P到点A的距离等于点P到y轴的距离，即点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上，所以点P的轨迹为抛物线故选D.4经过点P(4，2)的抛物线的标准方程为()Ay2x或x28yBy2x或y28xCy28xDx28y考点抛物线的标准方程题点求抛物线方程答案A解析因为点P在第四象限，所以抛物线开口向右或向下当开口向右时，设抛物线方程为y22p1x(p10)，则(2)28p1，所以p1，所以抛物线方程为y2x.当开口向下时，设抛物线方程为x22p2y(p20)，则424p2，p24，所以抛物线方程为x28y.5已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，2)到焦点的距离为4，则m的值为()A4B2C4或4D12或2考点抛物线的标准方程题点抛物线方程的应用答案C解析由题可设抛物线的标准方程为x22py(p0)由定义知点P到准线的距离为4，故24，p4，x28y.将点P的坐标代入x28y，得m4.6已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()Ax2yBx2yCx28yDx216y考点抛物线的标准方程题点求抛物线的标准方程答案D解析双曲线的渐近线方程为yx，由于2，所以，所以双曲线的渐近线方程为yx.抛物线的焦点坐标为，所以2，所以p8，所以抛物线方程为x216y.7O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点，若|PF|4，则POF的面积为()A2B2C2D4考点抛物线的定义题点由抛物线定义求点坐标答案C解析抛物线C的准线方程为x，焦点F(，0)，由|PF|4及抛物线的定义知，P点的横坐标xP3，从而纵坐标yP2.SPOF|OF|yP|22.二、填空题8若抛物线yax2(a0)的准线方程是y2，则a_.考点抛物线的标准方程题点与准线、焦点有关的问题答案解析yax2可化为x2y.准线方程为y2，a0)的焦点为F，点A(0,2)若线段FA的中点B在抛物线上，则点B到该抛物线准线的距离为_考点抛物线的定义题点由抛物线定义求距离答案解析如图所示，由已知，得点B的纵坐标为1，横坐标为，即B.将其代入y22px，得12p，解得p，故点B到准线的距离为.三、解答题12已知抛物线的顶点在原点，它的准线过1的一个焦点，且与x轴垂直又抛物线与此双曲线交于点，求抛物线和双曲线的方程考点抛物线的几何性质题点抛物线与其他曲线结合的有关问题解因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，所以可设抛物线方程为y22px(p0)将点代入方程，得p2，所以抛物线方程为y24x.准线方程为x1.由此知双曲线方程中c1，焦点为(1,0)，(1,0)，点到两焦点距离之差2a1，所以双曲线的标准方程为1.13.如图，已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)过点M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标考点抛物线的标准方程题点求抛物线方程解(1)抛物线y22px(p0)的准线方程为x，于是45，p2，所以抛物线的方程为y24x.(2)由题意得A(4,4)，B(0,4)，M(0,2)又F(1,0)，所以kAF，则FA的方程为y(x1)因为MNFA，所以kMN，则MN的方程为yx2.解方程组得所以N.四、探究与拓展14如果P1，P2，Pn是抛物线C：y24x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，xn，F是抛物线C的焦点，若x1x2xn10，则|P1F|P2F|PnF|等于()An10Bn20C2n10D2n20考点抛物线的定义题点抛物线定义的直接应用答案A解析由抛物线的方程y24x可知其焦点为(1,0)，准线为x1，由抛物线的定义可知|P1F|x11，|P2F|x21，|PnF|xn1，所以|P1F|P2F|PnF|x11x21xn1(x1x2xn)nn10，故选A.15已知曲线C上的任意一点到定点F(1,0)的距离与到定直线x1的距离相等(1)求曲