方阵的特征值和特征向量.ppt

2 方阵的特征值与特征向量,引言,纯量阵 lE 与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律，即 (lEn)An = An (lEn) = lAn 矩阵乘法一般不满足交换律，即AB BA 数乘矩阵时，数 l 都是可交换的，即 l (AB) = (lA)B = A(lB) Ax = l x ? 例：,定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足 Ax = l x， 那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量 例1： 则 l = 4 为 的特征值， 为对应于l = 4 的特征向量.,一、基本概念,一、基本概念,定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足 Ax = l x， 那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量 Ax = l x = lE x Ax - lE x = 0 非零向量 x 满足 (AlE) x = 0（零向量） 齐次线性方程组有非零解 系数行列式 | AlE | = 0,特征方程,特征多项式,特征方程 | AlE | = 0 特征多项式 | AlE |,二、基本性质,在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计算） 设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, , ln，则 l1 + l2 + + ln = a11 + a22 + + ann （称为矩阵A的迹,TrA） l1 l2 ln = |A|,当 时, A的特征值全为非零数;,结论：,当 时, A至少有一个特征值等于零.,因而, A 的特征多项式中, n 与 n-1 的系数由该项,中, 有一项是主对角线上 n 个元素的乘积,( - a11) ( - a22) ( - ann),而其他各项至多含有主对角线上的 n - 2 个元素.,证明：,另外, 在特征多项式中,故,令 = 0 可得其常数项为,| E - A | = n - (a11 + a22 + + ann)n-1+ + (-1)n |A|.,另一方面，由于 1 , 2 , , n 是 A 的 n 个特征值, 所以,| E - A | = ( - 1)( - 2) ( - n) .,由此推出其常数项为 | 0E - A | =,12 n = |A|. 证毕,比较上述两式，对应项的系数相同，可得,1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann ;,| E - A | = n - (a11 + a22 + + ann)n-1+ + (-1)n |A|.,| E - A | = ( - 1)( - 2) ( - n) .,推论：,方阵 A 可逆 A的特征值都不是零,例2：求矩阵 的特征值和特征向量 解：A 的特征多项式为 所以 A 的特征值为 l1 = 2，l2 = 4 当 l1 = 2 时， 对应的特征向量应满足方程组 即 解得基础解系 ,k p1（k 0）就是对应的特征向量,例2：求矩阵 的特征值和特征向量 解（续）：A 的特征多项式为 所以 A 的特征值为 l1 = 2，l2 = 4 当 l2 = 4 时， 对应的特征向量应满足方程组 解得基础解系,k p2（k 0）就是对应的特征向量,例3：求矩阵 的特征值和特征向量 解： 所以 A 的特征值为 l1 = 1，l2 = l3 = 2 ,例3：求矩阵 的特征值和特征向量 解（续）：当 l1 = 1 时，因为 解方程组 (A + E) x = 0 解得基础解系 ；,k p1（k 0）就是对应的特征向量,例3：求矩阵 的特征值和特征向量 解（续）：当 l2 = l3 = 2 时，因为 解方程组 (A2E) x = 0 解得基础解系 k2 p2 + k3 p3 （k2 , k3 不同时为零）就是对应的特征向量,证明：由于 是齐次线性方程组,是A的属于 的特征向量.,定理: 若 和 都是A的属于特征值 的特征向量, 则 也是A的属于 的特征向量(其中 是任意常数,但 ),因此 也是方程组的解。,故当 时,的解.,因此 也是方程组的解。,二、基本性质（续）,在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计算） 设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, , ln，则 l1 + l2 + + ln = a11 + a22 + + ann l1 l2 ln = |A| 若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组(AlE) x = 0的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大无关组,例4（书上例8）：设 l 是方阵 A 的特征值，证明 (1) l2 是 A2 的特征值； (2) 当 A 可逆时，1/l 是 A1 的特征值 证明： 结论：若非零向量 p 是 A 对应于特征值 l 的特征向量，则 l2 是 A2 的特征值，对应的特征向量也是 p 推广：lk 是 Ak 的特征值，对应的特征向量也是 p 当 A 可逆时，1/l 是 A1 的特征值，对应的特征向量仍然是 p ,二、基本性质（续）,在复数范围内 n 阶矩阵 A 有n 个特征值（重根按重数计算） 设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, , ln，则 l1 + l2 + + ln = a11 + a22 + + ann l1 l2 ln = |A| 若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组(AlE) x = 0的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大无关组 若 l 是 A 的一个特征值，则 j (l) = a0 + a1 l + + am l m 是矩阵多项式 j (A) = a0 + a1 A + + am A m 的特征值,若 l 是 A 的一个特征值，则 j (l) = a0 + a1 l + + am l m 是矩阵多项式 j (A) = a0 + a1 A + + am A m 的特征值,例 5 设 A 为可逆矩阵, 为 A 的特征值,p 为对应的特征向量, 证明:,特征值, p 为 A* 对应的特征向量.,由已知条件可知：,故,证明,为 A* 的,因此结论成立.,例6（书上例9）：设3 阶方阵 A 的特征值为1, 1, 2，求 A* +3A2E 的特征值 解： A* +3A2E = |A| A1 +3A2E = 2A1 +3A2E = j (A) 其中|A| = 1(1) 2 = 2 ，所以 A 是可逆矩阵. 设 l 是 A 的一个特征值， p 是对应的特征向量令,练习：,关于矩阵的特征值的几点说明,1. 由于 n 阶矩阵的特征方程是一元 n 次方程，,所以在复数域上，n 阶矩阵一定有 n 个特征值，但,不一定有 n 个实特征值.,2. 若 n 阶矩阵的特征值都是实数，则它们不一,定各不相同, 即矩阵的特征值可以是特征方程的重根.,在计算特征值的个数时，重根按重数计算. k重根叫 做k重特征值。,3. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的. 一个特征向量不能属于不同的特征值.,反证法：若p 同时是A的属于特征值 的特征向量, 即有,则 即,由于 而这是不可能的.,4. 矩阵 A 和 AT 的特征值相同.,证明:,因此, A和AT有完全相同的特征值.,定理 2： 设 1 , 2 , m 是方阵 A 的 m 个各,不相等特征值, p1 , p2 , , pm 依次是与之对应的,特征向量.,则 p1 , p2 , , pm 线性无关.,证 用数学归纳法（课上不讲证明过程）,当 m = 1 时，A 的属于特征值 1 的特征向量 p1 0，,而单个的非零向量是线性无关的.,设 m = s 1 时，结论成立.,只需证明 m = s 时,向量 p1 , p2 , , ps 线性无关.,设有数 k1 , k2 , , ks ,使,k1p1 + k2p2 + + ksps = 0 (),在上式两边左乘矩阵 A , 得,A(k1p1 + k2p2 + + ksps ) = 0,即,k1Ap1 + k2Ap2 + + ksAps = 0,由于 Api = ipi ( i = 1, 2, , s )，,所以有,k11p1 + k22p2 + + kssps = 0 (),在 k1p1 + k2p2 + + ksps = 0 两边乘以 s ，得,k1sp1 + k2sp2 + + kssps = 0 (),() 式减去 () 式，得,k1(s - 1)p1 + k2(s - 2)p2 + + ks-1(s - s-1)ps-1 = 0,由归纳法假设 p1 , p2 , , ps-1 线性无关，所以,ki(s - i) = 0 , i = 1, 2, , s 1,但 s i ( i = 1, 2, , s 1 )，所以必有,k1 = k2 = = ks-1 = 0,代入 k1p1 + k2p2 + + ksps = 0 ，又有,ksps = 0 (ps 0),于是 k