高中数学第二章平面向量的数量积（第1课时）平面向量数量积的物理背景及其含义教案.docx

第1课时平面向量数量积的物理背景及其含义核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P103P105的内容，回答下列问题观察教材P103图2.41和图2.42，思考：(1)如何计算力F所做的功？提示：W|F|s|cos .(2)力F在位移方向上的分力是多少？提示：|F|cos .(3)力做功的大小与哪些量有关？提示：与力F的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关2归纳总结，核心必记(1)向量的数量积的定义已知条件向量a，b是非零向量，它们的夹角为定义数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)记法ab|a|b|cos 规定零向量与任一向量的数量积为0(2)向量的数量积的几何意义投影的概念：()向量b在a的方向上的投影为|b|cos .()向量a在b的方向上的投影为|a|cos .数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积(3)向量数量积的性质设a与b都是非零向量，为a与b的夹角abab0.当a与b同向时，ab|a|b|，当a与b反向时，ab|a|b|.aa|a|2或|a|.cos .|ab|a|b|.(4)向量数量积的运算律abba(交换律)(a)b(ab)a(b)(结合律)(ab)cacbc(分配律)问题思考(1)向量的数量积与数乘向量的区别是什么？提示：平面向量的数量积是关于两个向量间的运算，其运算结果是一个实数，这个实数的符号由两向量夹角的余弦值来确定向量的数乘是实数与向量间的运算，其结果是一个向量，这个向量与原向量是共线向量(2)数量积ab与实数乘法ab的区别是什么？提示：在实数中，若a0，且ab0，则b0，但在数量积中，若a0且ab0，不一定能推出b0，这是因为|b|cos 有可能为0，即ab.在实数中|ab|a|b|，但在向量中|ab|a|b|.(3)ab与ab0等价吗？提示：当a与b为非零向量时，两者等价；当其中一个为零向量时，两者不等价(4)ab0，则a，b是钝角吗？提示：ab|a|b|cosa，b0，cosa，b0，a，b是钝角或180.(5)ab中的“”能省略不写吗？提示：不能省略，也不能换成其它符号，a与b的数量积又称a与b的点乘(6)对于向量a，b，c，等式(ab)ca(bc)一定成立吗？提示：不一定成立，若(ab)c0，其方向与c相同或相反，而a(bc)0时其方向与a相同或相反，而a与c方向不一定相同，故该等式不一定成立课前反思(1)向量数量积的定义： ；(2)向量数量积的几何意义： ；(3)向量数量积的性质： ；(4)向量数量积的运算律： .知识点1向量数量积的运算思考1要求ab，需要知道哪些量？名师指津：要求ab，需要知道|a|、|b|、cos .思考2你认为，求平面向量数量积的步骤是什么？名师指津：求平面向量数量积的步骤为：(1)求a与b的夹角 ，0，；(2)求|a|和|b|；(3)代入公式求ab的值讲一讲1(1)已知向量a与b的夹角为120，且|a|4，|b|2，求：ab；(ab)(a2b)(2)设正三角形ABC的边长为，c，a，b，求abbcca.尝试解答(1)由已知得ab|a|b|cos 42cos 1204.(ab)(a2b)a2ab2b216(4)2412.(2)|a|b|c|，且a与b、b与c、c与a的夹角均为120，abbccacos 12033.类题通法向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算练一练1(1)已知下列命题：若a2b20，则ab0；已知a，b，c是三个非零向量，若ab0，则|ac|bc|；|a|b|0，则a与b的夹角为锐角其中所有正确命题的序号是_(2)已知|a|2，|b|3，a与b的夹角为60，求：ab；(2ab)(a3b)；|ab|.解析：(1)对于，a2b20，|a|2|b|20，|a|b|0，ab0，故正确；对于，ab0，a与b互为相反向量，设a与c夹角为，则b与c夹角为，则ac|a|c|cos ，bc|b|c|cos()|b|c|cos ，|ac|bc|，所以正确；对于，|ab|a|b|cos |a|b|，故错误；对于，aaa|a|2a，其结果为向量，故错误；对于，当a与b为同向的非零向量时，ab|a|b|cos 0|a|b|0，但夹角不是锐角，故错误(2)ab|a|b|cos 23cos 603.(2ab)(a3b)2a25ab3b22|a|25ab3|b|2222533324.|ab|.答案：(1)知识点2向量的模思考如何求向量的模|a|?提示：|a|.讲一讲2已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|.尝试解答(1)由(2a3b)(2ab)61，得4|a|24ab3|b|261.将|a|4，|b|3代入上式，得ab6，所以cos .又0，所以.(2)因为|ab|2(ab)2a22abb2|a|22ab|b|213，所以|ab|.类题通法向量模的常见求法在求向量的模时，直接运用公式|a|，但计算两向量的和与差的长度用|ab|.练一练2(1)已知非零向量a2b2c，|b|c|1，若a与b的夹角为，则|a|_；(2)已知向量a、b满足|a|2，|b|3，|ab|4，则|ab|_.解析：(1)由于cab，所以c2|a|2|b|22|a|b|，整理得|a|22|a|0，所以|a|2或|a|0(舍去)(2)由已知，|ab|4，|ab|242，a22abb216.(*)|a|2，|b|3，a2|a|24，b2|b|29，代入(*)式得42ab916，即2ab3.又|ab|2(ab)2a22abb243910，|ab|.答案：(1)2(2)知识点3两向量的夹角与垂直问题思考1如何求a与b的夹角？名师指津：利用cos 求出cos 的值，然后借助0，求.思考2两非零向量a与b垂直的充要条件是什么？名师指津：两非零向量a与b垂直的充要条件是ab0.讲一讲3(1)已知向量a，b满足(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，则a与b的夹角为_(2)已知非零向量a，b满足a3b与7a5b互相垂直，a4b与7a2b互相垂直，求a与b的夹角尝试解答(1)设a与b的夹角为，依题意有：(a2b)(ab)a2ab2b272cos 6，所以cos ，因为0，故.(2)由已知条件得即得23b246ab0，2abb2，代入得a2b2，|a|b|，cos .0，.答案：(1)类题通法求向量a，b的夹角的思路(1)求向量的夹角的关键是计算ab及|a|b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos ，最后借助0，求出值(2)在个别含有|a|，|b|与ab的等量关系式中，常利用消元思想计算cos 的值练一练3已知|a|3，|b|2，向量a，b的夹角为60，c3a5b，dma3b，求当m为何值时，c与d垂直？解：由已知得ab32cos 603.由cd，得cd0，即cd(3a5b)(ma3b)3ma2(5m9)ab15b227m3(5m9)6042m870，m，即m时，c与d垂直课堂归纳感悟提升1本节课的重点是向量数量积的定义、几何意义以及向量数量积的性质、运算律，难点是向量数量积的几何意义2要掌握与数量积相关的三个问题(1)数量积的计算，见讲1；(2)向量的模的计算，见讲2；(3)向量的夹角及垂直问题，见讲3.3要注意区分向量数量积与实数运算的区别(1)在实数运算中，若ab0，则a与b中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从ab0推出a0或b0.实际上由ab0可推出以下四种结论：a0，b0；a0，b0；a0，b0；a0，b0，但ab.(2)在实数运算中，若a，bR，则|ab|a|b|，但对于向量a，b，却有|ab|a|b|，当且仅当ab时等号成立这是因为|ab|a|b|cos |，而|cos |1.(3)实数运算满足消去律：若bcca，c0，则有ba.在向量数量积的运算中，若abac(a0)，则向量c，b在向量a方向上的投影相同，因此由abac(a0)不能得到bc.(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(ab)c不一定等于a(bc)，这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线课下能力提升(十九)学业水平达标练题组1向量数量积的运算1下面给出的关系式中正确的个数是()0a0；abba；a2|a|2；|ab|ab；(ab)2a2b2.A1 B2 C3 D4解析：选C正确，错误，|ab|a|b|cos |ab，(ab)2(|a|b|cos )2a2b2cos2a2b2.2已知|b|3，a在b方向上的投影是，则ab为()A. B3 C2 D.解析：选A|a|cosa，b，|b|3，ab|a|b|cosa，b3.3在ABC中，M是BC的中点，AM1，点P在AM上且满足2，则()等于()A. B. C D解析：选AAM1，且2，|.如图，()2()22.4.如图所示，在平行四边形ABCD中，|4，|3，DAB60.求：(1) ；(2) ；(3) .解：(1) |29；(2) | |216；(3) | |cos (18060)436.题组2向量的模5已知平面向量a，b满足|a|，|b|2，ab3，则|a2b|()A1 B.C4 D2解析：选B根据题意，得|a2b|.故选B.6若向量a与b的夹角为60，|b|4，(a2b)(a3b)72，则|a|()A2 B4C6 D12解析：选C(a2b)(a3b)72，a2ab6b272，|a|2|a|b|cos 606|b|272，|a|22|a|240，|a|6或|a|4.又|a|0，|a|6.7已知非零向量a，b，满足ab，且a2b与a2b的夹角为120，则_.解析：(a2b)(a2b)a24b2，ab，|a2b|，|a2b|.故cos 120，得，即.答案：题组3两向量的夹角与垂直问题8若非零向量a，b满足|a|b|，(2ab)b0，则a与b的夹角为()A30 B60C120 D150解析：选C因为(2ab)b2abbb0，所以ab|b|2.设a与b的夹角为，则cos ，故120.9已知|a|3，|b|2，且a，b的夹角为60，如果(3a5b)(mab)，那么m的值为()A. B. C. D.解析：选C由题意知(3a5b)(mab)0，即3ma2(5m3)ab5b20,3m32(5m3)32cos 605220，解得m.10已知|a|3，|b|4，且(a2b)(2ab)4，则a与b的夹角的取值范围是_解析：(a2b)(2ab)2a2ab4ab2b2293|a|b|cos 21614334cos 4，cos ，.答案：11已知向量a，b满足|a|1，|b|4，且a，b的夹角为60.(1)求(2ab)(ab)；(2)若(ab)(a2b)，求实数的值解：(1)由题意，得ab|a|b|cos 60142.(2ab)(ab)2a2abb2221612.(2)(ab)(a2b)，(ab)(a2b)0，a2(2)ab2b20，2(2)320，12.能力提升综合练1已知|a|3，|b|5，且a与b的夹角45，则向量a在向量b上的投影为()A. B3 C4 D5解析：选A由已知|a|3，|b|5，cos cos 45，而向量a在向量b上的投影为|a|cos 3.2如图，e1，e2为互相垂直的两个单位向量，则|ab|()A20 B. C2 D.解析：选C由题意，知ae1e2，be1e2，所以ab2e14e2，所以|ab|2，故选C.3如图，在ABC中，ADAB，|1，则等于()A2 B. C. D.解析：选D因为 ，所以() .又ADAB，所以0，所以 .又，所以 () 2 .4已知平面向量a，b满足|ab|1，|ab|x，abx，则x()A. B2 C. D3解析：选B|ab|2a22abb21，|ab|2a22abb2x2，两式相减得4ab1x2.又abx，所以1x2x，解得x2或x(舍去)故选B.5已知平面向量，|1，|2，(2)，则|2|的值是_解析：|1，|2，由(2)，知(2)0,21，所以|2|2424242410，故|2|.答案：6设向量e1，e2满足|e1|2，|e2|1，e1，e2的夹角为60，若向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围解：由题意，知e4，e1，e1e21，(2te17e2)(e1te2)2te(2t27)e1e27te2