高中数学第二章平面向量的数量积（第2课时）平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教案.docx

第2课时平面向量数量积的坐标表示、模、夹角核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P106P107的内容，回答下列问题已知两个向量a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)若i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量，则a，b如何用i，j表示？提示：ax1iy1j，bx2iy2j.(2)|a|，|b|分别用坐标怎样表示？提示：|a|；|b|.(3)能用a，b的坐标表示ab吗？提示：ab(x1iy1j)(x2iy2j)x1x2i2(x1y2x2y1)ijy1y2j2x1x2y1y2.2归纳总结，核心必记(1)平面向量数量积的坐标表示若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和(2)两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.(3)三个重要公式向量模的公式：设a(x1，y1)，则|a|.两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则| |.向量的夹角公式：设两非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为，则cos .问题思考(1)已知向量a(x，y)，你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？提示：设与a共线的单位向量为a0，则a0a，其中正号，负号分别表示与a同向和反向易知b(y，x)和a(x，y)垂直，与a垂直的单位向量b0的坐标为，其中正，负号表示不同的方向(2)你能用向量法推导两点间距离公式|AB|吗？提示：(x2x1，y2y1)，2| |2(x2x1)2(y2y1)2，即| |.|AB|.课前反思(1)平面向量数量积的坐标表示： ；(2)两个向量垂直的坐标表示： ；(3)向量模的公式： ；(4)向量的夹角公式： .知识点1平面向量数量积的坐标运算讲一讲1(1)设a(1，2)，b(3,4)，c(3,2)，则(a2b)c()A12 B0 C3 D11(2)已知a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，若(8ab)c30，则x()A6 B5 C4 D3(3)已知a(2，1)，a2b(6,3)，若bc14，|c|5，则向量c的坐标为_尝试解答(1)a(1，2)，b(3,4)，c(3,2)，a2b(5,6)，(a2b)c(5)3623.(2)由题意可得，8ab(6,3)，又(8ab)c30，c(3，x)，183x30，解得x4.(3)因为2b(a2b)a(6,3)(2，1)(4,4)，所以b(2,2)设c(x，y)，则由题可知解得或所以c(3,4)或c(4,3)答案：(1)C(2)C(3)(3,4)或(4,3)类题通法数量积运算的途径及注意点(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解练一练1已知向量a与b同向，b(1,2)，ab10.(1)求向量a的坐标；(2)若c(2，1)，求(bc)a.解：(1)因为a与b同向，又b(1,2)，所以ab(，2)又ab10，所以12210，解得20.因为2符合a与b同向的条件，所以a(2,4)(2)因为bc122(1)0，所以(bc)a0a0.知识点2向量模的问题思考向量的模与两点间的距离有什么关系？名师指津：向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a(x，y)，则在平面直角坐标系中，一定存在点A(x，y)，使得a(x，y)，|a|，即|a|为点A到原点的距离同样若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，| |，即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式由此可知向量的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算讲一讲2(1)若向量a(2x1,3x)，b(1x,2x1)，则|ab|的最小值为_(2)若向量a的始点为A(2,4)，终点为B(2,1)，求：向量a的模；与a平行的单位向量的坐标；与a垂直的单位向量的坐标尝试解答(1)a(2x1,3x)，b(1x,2x1)，ab(2x1,3x)(1x,2x1)(3x2,43x)，|ab|.当x1时，|ab|取最小值为.(2)a(2,1)(2,4)(4，3)，|a|5.与a平行的单位向量是(4，3)，即坐标为或.设与a垂直的单位向量为e(m，n)，则ae4m3n0，.又|e|1，m2n21.解得或e或.答案：(1)类题通法求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a|2a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题(2)坐标表示下的运算：若a(x，y)，则aaa2|a|2x2y2，于是有|a|.练一练2已知向量a(，1)和b(1，)，若acbc，试求模为的向量c的坐标解：法一：设c(x，y)，则ac(，1)(x，y)xy，bc(1，)(x，y)xy，由acbc及|c|，得解得或所以c或c.法二：由于ab1(1)0，且|a|b|2，从而以a，b为邻边的平行四边形是正方形，且由于acbc，所以c与a，b的夹角相等，从而c与正方形的对角线共线此外，由于|c|，即其长度为正方形对角线长度(|b|2)的一半，故c(ab)或c(ab).知识点3向量的夹角与垂直问题思考当a与b是非坐标形式时，如何求a与b的夹角？如果a与b是坐标形式时，又如何求a与b的夹角？名师指津：(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求出ab，|a|和|b|或直接得出它们之间的关系(2)若a，b是坐标形式，则可直接利用公式cos 求解讲一讲3已知平面向量a(3,4)，b(9，x)，c(4，y)，且ab，ac.(1)求b与c；(2)若m2ab，nac，求向量m，n的夹角的大小尝试解答(1)ab，3x49，x12.ac，344y0，y3，b(9,12)，c(4，3)(2)m2ab(6,8)(9,12)(3，4)，nac(3,4)(4，3)(7,1)设m、n的夹角为，则cos .0，即m、n的夹角为.类题通法解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积ab以及|a|b|，再由cos 求出cos ，也可由坐标表示cos 直接求出cos .由三角函数值cos 求角时，应注意角的取值范围是0.(2)由于0，所以利用cos 来判断角时，要注意cos 0也有两种情况：一是为锐角，二是0.练一练3已知a(1,2)，b(1，)，求满足下列条件的实数的取值范围(1)a与b的夹角为90.(2)a与b的夹角为锐角解：(1)设a与b的夹角为.|a|，|b|，ab(1,2)(1，)12.因为ab，所以ab0，所以120，所以.(2)因为a与b的夹角为锐角，所以cos 0，且cos 1，所以ab0且a与b不同向因此120，所以.又a与b共线且同向时，2.所以a与b的夹角为锐角时，的取值范围为(2，)课堂归纳感悟提升1本节课的重点是向量的坐标表示以及用向量的坐标解决模、夹角、垂直等问题2要掌握平面向量数量积的坐标运算及应用(1)求平面向量的数量积，见讲1；(2)解决向量模的问题，见讲2；(3)解决向量的夹角与垂直问题，见讲3.3本节课的易错点解决两向量的夹角问题时，易忽视夹角为0或的特殊情况，如练3.课下能力提升(二十)学业水平达标练题组1平面向量数量积的坐标运算1已知向量a(1，k)，b(2,2)，且ab与a共线，则ab的值为()A1 B2 C3 D4解析：选Dab(3，k2)，由ab与a共线，可得3k(k2)0，解得k1，则a(1,1)，从而ab12124.2已知向量a(0，2)，b(1，)，则向量a在b方向上的投影为()A. B3 C D3解析：选D向量a在b方向上的投影为3.选D.3已知向量a(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且ab，则b()A. B. C. D(1,0)解析：选B法一：设b(x，y)，其中y0，则abxy.由，解得即b.故选B.法二：利用排除法D中，y0，D不符合题意；C中，向量不是单位向量，C不符合题意；A中，向量使得ab2，A不符合题意故选B.题组2向量模的问题4已知平面向量a(2,4)，b(1,2)，若ca(ab)b，则|c|等于()A4 B2C8 D8解析：选D易得ab2(1)426，所以c(2,4)6(1,2)(8，8)，所以|c|8.5已知向量m(1,1)，向量n与向量m的夹角为，且mn1，则|n|()A1 B1 C2 D2解析：选Bcos ，|n|1.故选B.6已知a(2,1)与b(1,2)，要使|atb|最小，则实数t的值为_解析：atb(2t,12t)，|atb|.当t时，|atb|有最小值.答案：题组3向量的夹角与垂直问题7设向量a(1,0)，b，则下列结论中正确的是()A|a|b| BabCab与b垂直 Dab解析：选C由题意知|a|1，|b|，ab10，(ab)bab|b|20，故ab与b垂直8已知向量a(1,2)，b(2，3)，若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c等于()A. B.C. D.解析：选D设c(m，n)，则ac(1m,2n)，ab(3，1)，由(ca)b，得3(1m)2(2n)，又c(ab)，得3mn0，故m，n.9已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)，(1)求证：ABAD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD的两对角线所成的锐角的余弦值解：(1)证明：A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)，(1,1)，(3,3)又1(3)130，即ABAD.(2)，四边形ABCD为矩形，.设C点坐标为(x，y)，则(x1，y4)，解得，点C的坐标为(0,5)由于(2,4)，(4,2)，88160，|2，|2.设与的夹角为，则cos 0，矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为.10已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a(1,2)(1)若|c|2，且ca，求c的坐标；(2)若|b|，且a2b与2ab垂直，求a与b的夹角.解：(1)设c(x，y)，|c|2，2，x2y220.由ca和|c|2，可得解得或故c(2,4)或c(2，4)(2)(a2b)(2ab)，(a2b)(2ab)0，即2a23ab2b20，253ab20，整理得ab，cos 1.又0，.能力提升综合练1已知向量(1,2)，(3，m)，若，则m的值是()A. B C4 D4解析：选C(1,2)，(3，m)，(4，m2)，又，142(m2)82m0，解得m4.2已知向量(2,2)，(4,1)，在x轴上有一点P，使有最小值，则点P的坐标是()A(3,0) B(2,0) C(3,0) D(4,0)解析：选C设P(x,0)，则(x2，2)，(x4，1)，(x2)(x4)2x26x10(x3)21，故当x3时，最小，此时点P的坐标为(3,0)3a，b为平面向量，已知a(4,3)，2ab(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于()A. B C. D解析：选C设b(x，y)，则2ab(8x,6y)(3,18)，所以解得故b(5,12)，所以cos .4已知向量a(1,0)，b(cos ，sin )，则|ab|的取值范围是()A0， B1， C1,2 D，2解析：选D|ab|.，cos 0,1|ab|，25.如图，已知点A(1,1)和单位圆上半部分上的动点B，若，则向量的坐标为_解析：依题意设B(cos ，sin )，0，则(cos ，sin )，(1,1)因为，所以0，即cos sin 0，解得，所以.答案：6已知a(，2)，b(3，2)，若a与b的夹角为锐