小环C活套在OA杆和半径为R的固定圆环上,此固定圆环与.ppt

,补充例题：杆OA绕O点作定轴转动，小环C活套在OA杆和半径为R的固定圆环上，此固定圆环与OA杆在同一平面内且通过O点，已知OA杆与 的夹角 ，求小环C在任一时刻的速度、加速度的大小。,解：方法1: 选直角坐标系,方法2： 选取极坐标系 （以O为极点，OX为极轴， 为极角） C点的极坐标运动方程为：,方法3：选自然坐标系 取C点的已知轨道（大园环）为弧坐标， 时，C点位置（D点）为弧坐标的原点，并以 角正向为弧坐标的正方向，则C点的弧坐标运动方程为：,4 质点运动微分方程及其积分 The equation and their integration of motion of particle,一、牛顿三定律,明确: 1. 第一定律是第二定律所不可缺少的前提, 因为第一定律为整个 力学体系选定了一类特殊的参考系-惯性参考系 2. 第二定律中的质量是惯性质量,与万有引力中的质量相比,近年 来的实验结果已经证实相差不到10-12. 爱因斯坦把引力质量等于 惯性质量作为广义相对论的基本公设.,3. 一般工程问题地球可以看作惯性参考系;如果物体运动的尺度 很大问题的精确度要求很高,应当考虑地球自转的影响,可取地心 为惯性参考系; 在分析行星的运动时,地心本身作公转,必须取日 心参考系. 太阳本身在银河系的加速度大约是310-8厘米/秒2, 一般来说可以不用考虑了,可以认为足够精确的了.,基本定律: 质量为m的质点受力Fi(i=1,2,.n)的作用,在惯性系 中的加速度为a, 则:,二、运动微分方程,将动力学基本方程 表示为微分形式的方程，称为质点的运动微分方程。,（1）矢量形式,1.运动微分方程,（2）直角坐标形式,解二阶常微分方程将出现积分常数，共6个。由质点的 初始条件决定：,线性:力是位置和速度的线性函数，有一般的解法，线性方程只是实际问题中的少数情况.,非线性:力是位置和速度的非线性函数，无一般的解法，实际问题中大多数是非线性的.,（3）自然形式,（4）平面极坐标形式,若质点在xOy平面上运动:,R为约束反作用力,质点运动微分方程除以上三种基本形式外,还可有球坐标形式, 柱坐标形式等等。,2.约束 牛顿力学中力的分类,若质点被限制在某一曲线或曲面上运动,该曲线或曲面称 为约束, 其方程为约束方程, 约束对质点的作用力为约束力 (约束反力).,约束力是待定的,取决于约束本身的性质,质点的 运动状态及其质点受主动力的情况,只靠约束力不能引起质 点的运动,故称约束力为被动力.,质点受到约束, 其自由度减少.,（1） 约束的概念和约束方程,钢轨，平面，摆长,第一章,（2） 约束力和主动力,约束是通过约束物实现的, 为强制质点满足约束条件, 约束物与质点间有力的相互作用, 称约束物对质点施加的力为约束力 (或称为约束反力, 约束反作用力). 用数学方法表述约束条件的方程称为约束方程。,弹簧弹性力、万有引力、电磁力,主动力已知力的函数 , 约束力是未知的.,而把质点所受的, 除约束力之外的其他力称为主动力 (叫非 约束力可能更准确).,主动力的主要特点是已知，或大小，或方向，或函数关系,空气阻力也是主动力,第一章,而约束力的主要特点是未知，取决于约束与介质的性质以及 质点的运动状态。,被动。,只有被动力不能引起质点的任何运动。,绳的张力、面的支撑力、摩擦力,质点运动的约束微分方程：,第一章,一般采用自然坐标系.,1) 光滑约束，约束力在轨道的法平面内,(1)式求出运动规律,(2)和(3)解出约束力,方便之处在于 运动规律和约束力可分开求解.,第一章,2) 非光滑约束,4个方程4个未知数,可解,应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。,第一章,两类基本问题： 1)已知运动求力 2)已知力求运动，解微分方程，为理论力学主要课题。 解体步骤：1）作图，受力分析; 2）写出方程，选坐标系投影; 3）积分求解，分析解的物理意义.,4.运动微分方程的解,1)自由质点的运动微分方程组及例题,（1） 力仅是时间的函数, F=F(t),例:研究自由电子在沿x轴的振荡电场中的运动,电子所受的力则为：,根据牛顿运动定律，电子运动的微分方程为：,设起始条件是：当 时， ，,上式积分两次得：,振荡项与电场具有相同的角频率 ，且与初始条件无关。非振荡项与起始条件有关，对波的传播特性无贡献，只能影响波到达的前沿位置。,设沿 轴的电场强度为：,第一章,设阻力 只与速度 的量值的一次方成正比，即,当 时，,上两式积分，得：,2.力只是速度的函数 在具有阻力的媒质中运动的抛射体,选取直角坐标系，其运动微分方程为：,第一章,当 时，,上式再积分一次得：,第一章,上式展开为级数后，可得：,(2)当mvx0-bx0, y 无穷, 说明轨道在x=mvx0/b处变成竖直直线.,当抛射体的速度接近枪弹的速度时， 与 的正比关系已经不再适用。如为低速炮弹，可以认为 与 成正比；当速度接近声速时， 与 正比的关系又不再适用。,如果阻力很小或距离很短，即：,轨道方程为：,第一章,可见:(1) 若阻力较小(b很小)或x很小, 可以忽略x3以上的项, 与真空中弹道一致,解：质点受力分析如图所示，选取直角坐标 系，其运动微分方程为：,即,上式积分得：,当时间逐渐增加时，速度逐渐接近于定值极限速度 ，而运动几乎是匀速直线运动。这是因为时间增加时，和重力相反的阻力也随之增加（因速度随着时间逐渐加大），等它增加到和重力mg 相等时，物体等于没有受到外力作用，因而作匀速直线运动。,例题1.质量为m 的质点，在有阻力的空气中无初速地自离地面为h的地方竖直下落。如阻力与速度成正比，试研究其运动。,第一章,当时间逐渐增加时，速度逐渐接近于定值极限速度 ，而运动几乎是匀速直线运动。这是因为时间增加时，和重力相反的阻力也随之增加（因速度随着时间逐渐加大），等它增加到和重力mg 相等时，物体等于没有受到外力作用，因而作匀速直线运动。,第一章,质点运动微分方程为（步骤与例题1相仿，故从略）：,积分得：,当 时， ，故物体的速度由零逐渐增大，但以定值 为其极限。极限速度与运动物体在运动垂直方向的最大截面积有关。,例题2.在例题1中，如阻力与速度平方成正比，试研究该 质点的运动。,解：阻力表示为 ，式中 为常数,第一章,3. 力只是坐标的函数三维谐振动,是比例系数，常称为倔强系数。,方向：,其解为：,所以：,原子在晶体点阵中的运动，在简单情况下，力只是坐标 x 、y 、 z 的函数，且可互相分开，故其运动微分方程可写为,第一章,第一章,1.22）带电粒子在正交电磁场中的运动,假定,粒子运动微分方程为:,粒子运动分量微分方程为:,（1）,（2）,（3）,第一章,（1）,（2）,（3）,由（1）得：,利用初始条件，积分，得,代入（2），,上式的解为,第一章,t=0时,积分常数为,积分，得,积分(3) z 0,第一章,2)非自由质点的运动微分方程组及例题,（1）有关约束力的进一步讨论,约束力是约束物施加给质点的力： 1）未知的. 只有通过求解质点的动力学方程才可以确定. 2）被动的. 只有当被约束物体相对约束物有运动趋势时, 约束力才存在；单靠约束力本身不能引起被约束物体相对于约束物的运动.,（2）非自由质点的动力学方程组,约束方程,第一章,牛顿力学的缺点: 要同时计及约束力和约束方程, 同时考虑约束的两个侧面.,不好，不好！自由度减少了，为什么方程反而复杂了？,分析力学！,（1） （2）,解：小环受力分析，如图所示。 小环在任意位置P处的运动微分方程为：,第一章,（1）式变为：,（2）（3）（4）联立得：,求得,由,（4）,对上式积分得：,（3）,利用,（1）式变为：,第一章,第一章,例题4:p.80:1.27)一质点自一水平放置的光滑固定圆柱面凸面的最高点自由滑下。问滑至何处，此质点将离开圆柱面？假定圆柱体的半径为r.,解：,第一章,第一章,解的适用范围为,当 时滑块脱离球面,正确选用适当的坐标系是很重要的, 关系解决问题的繁简以至成败, 而且又没有简单的规则可以遵循, 所以读者在学习理论及解算例题习题的过程中, 对这个问题要给以足够的重视.,第一章,作业：,周衍柏：18-31,习题：p.79 1.19),1.21)1.22)。,第一章,质点在加速平动参照系中的运动,所以有：,故相对于作加速直线运动的非惯性参照系，牛顿运动定律,有,相对于非惯性系来讲，牛顿第二定律在形式上仍然成立。,不再成立，上式改写为： 令：,5. 非惯性系动力学(一),这样除了物体间相互作用的力之外，还有一种非相互作用力 ，这种力是由于参照系本身相对于惯性参照系作加速运动所引起的，这种力叫做惯性力。,第一章,一、功与能 （Mechanical work and energy),1.功和功率,其中，r 是力的作用点之位移。,1） 质点在恒力作用下沿直线运动,5 功与能 保守力与耗散力 势能,2） 质点受变力沿曲线运动,第一章,功是标量，其值与坐标选取无关。,选坐标系较方便，在直角坐标系下：,3. 若质点受几个力F1 F2 _Fn作用, 合力,即合力之功等于分力功之代数和。,4. 功率：描述做功快慢的量,第一章,二、能,物体具有做功的本领，称它具有一定的能量。力学 中机械能. 当能量发生变化时，总有一定数量的功 表现出来功是能量变化的度量。,对能的理解:哲学上：能量是物质运动的度量，运动是永恒 的。 能量是推动一切过程的本因可用能。 我国能源及其利用现状.,第一章,三、保守力、非保守力与耗散力,1. 力场: 一般,若质点在某空间区域任意位置上，受到确定的力F (r)，力是 位置的单值有界可微函数，则该区域称为力场，F为场力。 如：万有引力场、静电场,若含有时间称为非稳定场.,2. 保守力场:,积分一般与路径有关,若力场是稳定的，当质点运动时，场力做功单值地有始末位置确定（与轨道形状无关）该力场为保守力场。质点受到的场力为保守力。,否则场力做功与路径有关，这种力为非保守力，力场为非保守力场。,如：摩擦力与路径有关耗散能量耗散力,第一章,3. 保守力的判据:,F(r)为保守力的充要条件是:,即:,证: 先证必要性,与路径无关，只与始末位置有关,必存在一可微函数V 使得,第一章,同理,再证充分性:,根据Stokes定理,即积分与路径无关！,第一