概率论与随机过程第1章6节.ppt

,第6节 随机变量及其分布,随机变量,离散性随机变量及其分布,连续性随机变量及其分布,随机变量的引入:,随机试验 E,基本事件e 随机事件A,样本空间 Se,?,数字 标记法,e与数 联系,(一) 随机变量,把试验结果数值化 -样本空间数值化,E2 ：将一枚硬币抛两次,观察正反面的 出现情况；,S2 : (H,T),(H,H),(T,H),(T,T) ,(二) 样本空间-随机试验E中，包括所有基本可能结果的集合，记为S。,随机试验 E E1: 抛一枚硬币,观察正面H,反面T出 现的情况。,样本空间 S S1 : H,T ,E5: 记录某一昼夜的最低温度x和最高 温度y。设这一地区的温度不会小于T0,不会大于T1。,E3： 掷一颗孤骰子，观察出现的点数；,E4 ：在一批灯泡中任意抽取一支,测试它的寿命；,S5 : (x,y) T0xyT1 ,S3 : 1，2，3，4，5，6 ,S4 : t t0,随机变量的定义,. 设S=e是试验的样本空间，如果量X是定义在S上的一个单值实值函数即对于每一个eS，有一实数X=X(e)与之对应，则称X为随机变量。 常用X、Y、Z 或 、等表示。,随机变量的特点:,1 X的全部可能取值是互斥且完备的,2 X的部分可能取值描述随机事件,可见：随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内. 也可以说，随机事件是从静态、局部的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态、全局的观点。就象数学分析中常量与变量的区别那样.,引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究.,事件及 事件概率,随机变量及其 取值规律,随机变量的分类： 随机变量,所有取值可以逐个 一一列举 （可列可举）,全部可能取值不仅 无穷多，而且还不能 一一列举，而是充满 一个区间. （连续不可列）,(二）离散型随机变量,定义 若随机变量X取值x1, x2, , xn, 且取这些值的概率依次为p1, p2, , pn, , 则称X为离散型随机变量，而称 PX=xk=pk, (k=1, 2, ) 为X的分布律。可表为 X PX=xk=pk, (k=1, 2, )， 或,X x1 x2 xK Pk p1 p2 pk ,所有可能取值,所有可能取值的概率,例1 设袋中有5只球，其中有2只白3只黑。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率。 解 k可取值0，1，2,2. 分布律的性质,几个常用的离散型分布 （1）贝努里(Bernoulli)概型与二项分布,1. (0-1)分布 若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，且事件发生的概率为p, 则称X服从(01)分布(两点分布),若以X表示n重贝努里试验事件A发生的次数，则称X服从参数为n,p的二项分布。记作X-B（n,p) 其分布律为：,2. 二项分布 设将试验独立重复进行n次，每次试验中，事件A发生的概率均为p，则称这n次试验为n重贝努里试验.,例2.从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3. (1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律. (2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.,解:(1)由题意,XB(6,1/3),于是,X的分布律为:,其中 l0 为常数, 则称X服从泊松分布, 记做 X P( l)。,3. 泊松分布：设随机变量X所有可能取值为0, 1, 2 , 而各取值的概率为,显然:,泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布， 当n 很大，p 很小时，二项分布就可近似地 看成是参数 =np 的泊松分布,例3. 气象记录表明，某地在11月份的30天中，平均有3天下雪，试问明年11月份至多有3天下雪的概率。,解：从11月份中任取一天，只有两种结果，下雪为1，不下雪为0，p0.1，用X表示11月份下雪的天数， 则XB(30,0.1)，可近似看作为X P(3) P(X3)P(X=0)P(X=1)P(X=2)P(X=3) (30/0! 31/1! 32/2!33/3!)e-313e-3 0.6473,随机变量的分布函数 一、分布函数的概念.,定义 设X是随机变量，对任意实数x，事件Xx 的概率 PXx 称为随机变量X的分布函数。 记为F(x)， F(x)P Xx. 易知，对任意实数a, b (ab), P aXbPXbPXa F(b)F(a).,二、分布函数的性质,1、单调不减性：若x1x2, 则F(x1)F(x2); 2、归一 性：对任意实数x，0F(x)1，且,3、右连续性：对任意实数x，,对离散型随机变量 XPX= xkpk, k1, 2, 其分布函数为,例2: 设随机变量X的概率质量（密度）函数为: X 0 1 2 P 求X的分布函数F(x), 并求 解:由概率的有限可加性可得:,例2 小球一定落在一半径为2的圆盘上，且其概率与该圆盘的面积成正比。以X表示质点与圆心的距离，试求随机变量X的分布函数。 解:,x0, Xx 为不可能事件 Fx=PX0=0,(2) 0 x2, P0 Xx=kx2 ; k为常数 令x=2, P0 X2=k22 =1 k=1/4, F（x）=PX0+ P0 X 2=x2 /4,由该例, 若令： 则可得: 即，F(x)是非负函数 f(x) 在 (-, x) 上的积分。,非负、,若 x 2，即 Xx 是必然事件，于是 Fx=PX x=1 故,Homework,1-1621,（三）连续型随机变量的概率密度函数,定义: 若对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负的函数 f(x)，使得对于任意实数 x 有 则称X为连续随机变量，其中f(x)称为X的概率密度函数。 连续随机变量概率密度函数 f(x) 的性质:,有关概率密度函数 f(x) 的性质的说明: 性质(1)，(2)指明了概率密度函数的重要性质， (2)是求概率密度函数中未知参数的重要依据。 性质(3) ：求随机变量落在某个区间上的概率 性质(4)： 已知分布函数 概率密度函数的重要方法。,三个重要的连续型随机变量的概率密度函数,1. 均匀分布,2.指数分布,1,3. 正态(高斯)分布,记做：XN(,2)F(x-)/),标准正态分布,正态分布的性质:,例3 随机变量x为N（1000，50）分布