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3.2立体几何中的向量方法,2个定义,l,方向向量,法向量,方向向量和法向量可得如下结论,l,m,lm,线线平行,方向向量和法向量可得如下结论,lm,线线平行,线线垂直,l m,l,m,方向向量和法向量可得如下结论,lm,线线平行,线线垂直,l m,线面平行,l,l,方向向量和法向量可得如下结论,lm,线线平行,线线垂直,l m,线面平行,l,线面垂直,l,l,方向向量和法向量可得如下结论,lm,线线平行,线线垂直,l m,线面平行,l,线面垂直,l,面面平行,方向向量和法向量可得如下结论,lm,线线平行,线线垂直,l m,线面平行,l,线面垂直,l,面面平行,面面垂直,方向向量和法向量可得如下结论,lm,线线平行,线线垂直,l m,线面平行,l,线面垂直,l,面面平行,面面垂直,线线夹角,或,方向向量和法向量可得如下结论,lm,线线平行,线线垂直,l m,线面平行,l,线面垂直,l,面面平行,面面垂直,线线夹角,或,线面夹角,方向向量和法向量可得如下结论,lm,线线平行,线线垂直,l m,线面平行,l,线面垂直,l,面面平行,面面垂直,线线夹角,或,线面夹角,二 面 角,把立体几何问题转化为向量问题;,把运算结果“翻译”成相应的几何意义。,进行向量运算;,用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”,例1:如图3.2-3:一个结晶体的形状为平行六面体,其中,以顶点A为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60,那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系?,A1,B1,C1,D1,A,B,C,D,图3.2-3,解:如图,设,化为向量问题,由向量加法法则,,进行向量运算,所以,结合几何意义回答问题,这个晶体的对角线 的长是棱长的 倍。,思考:,(1)本题中平行六面体的对角线BD1的长与棱长有什么关系?,解:如图,设,化为向量问题,由向量加法法则,,进行向量运算,所以,结合几何意义回答问题,这个晶体的对角线 的长是棱长的 倍。,例2:如图3.2-4,甲站在水库底面上的点A处,乙站在水坝斜面上的点B处。从A,B到直线 (库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为 和 ,CD的长为 , AB的长为 .求库底与水坝所成二面角的余弦值。,解:如图,,化为向量问题,根据向量的加法法则,进行向量运算,于是,得,设向量 与 的夹角为 , 就是库底与水坝所成的二面角。,因此,图3.2-4,所以,结合几何意义回答问题,例4:如图3.2-7,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱 PD 底面ABCD,PD=DC,点E是PC的中点,作EF PB交PB于点F. (1)求证:PA 平面EDB. (2)求证:PB 平面EFD. (3)求二面角C-PB-D的大小.,A,P,解:(1)如图,建系,连接AC,EG,可得A、P、E、G坐标,,G,(2)如图,可得,, 的坐标,并且,所以PB DE 由已知PB EF ,从而得证,(3)由于PB 平面EFD,则DF PB ,EF PB,,从而 就是二面角C-PB-D的平面角,设F(x,y,z),则 , 则(x,y,z-1)=k(1,1,-1),即x=k,y=k,z=1-k,又由 ,即(1,1,-1)(x,y,z)=(1
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