高中数学第二章数列2.3等差数列的前n项和第2课时学案新人教A版必修5.docx

2.3等差数列的前n项和(第2课时)学习目标进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式,了解等差数列的一些性质,并会用它们解决一些相关问题,提高应用意识.合作学习一、设计问题,创设情境复习引入1.通项公式:2.求和公式:3.两个公式中含有五个量,分别是,把公式看成方程,能解决几个量?4.Sn是关于n的二次函数,二次函数存在最值问题,如何求最值?5.Sn与an的关系:Sn=a1+a2+a3+an-1+an,如何求数列an的通项公式?二、信息交流,揭示规律6.两个公式中含有五个量,分别是Sn,an,n,d,a1,两个公式对应两个方程,因此已知其中的三个量,就可以求其他的两个量,即“知三求二”.an=a1+(n-1)d,Sn=na1+d.7.Sn是关于n的二次函数,二次函数可以求最值,归纳为求二次函数的最值问题,不过要注意自变量n是正整数;还可以从研究数列的单调性及项的正负进而研究前n项和Sn的最值,方法更具有一般性.Sn=,有最大值;有最小值.8.Sn与an的关系:Sn=a1+a2+a3+an-1+an如何求数列an的通项公式?Sn-1=a1+a2+a3+an-1(n2)只要两式相减就会得到an=Sn-Sn-1(n2),只不过这个表达式中不含有a1,需要单独考虑a1是否符合an=Sn-Sn-1.类似于分段函数.an=,最后验证是否可以用一个式子来表示.三、运用规律,解决问题9.已知一个等差数列an的前10项的和是310,前20项的和是1220,由此可以确定求其前n项和的公式吗?10.已知等差数列5,4,3,的前n项和为Sn,求使得Sn最大的序号n的值.11.已知数列an的前n项和为Sn=n2+n,求这个数列的通项公式.这个数列是不是等差数列?四、变式训练,深化提高12.已知an是一个等差数列,且a2=1,a5=-5.(1)求an的通项公式an;(2)求an前n项和Sn的最大值.13.已知数列an的前n项和为Sn=n2+n+1,求这个数列的通项公式,这个数列是不是等差数列?五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境1.an=a1+(n-1)d2.Sn=na1+d3.Sn,an,n,d,a1二、信息交流,揭示规律7.n2+n=8.an=三、运用规律,解决问题9.分析:将已知条件代入等差数列前n项和的公式后,可得到两个关于a1与d的二元一次方程,然后确定a1与d,从而得到所求前n项和的公式.解:由题意知S10=310,S20=1220,将它们代入公式Sn=na1+d,得到解这个关于a1与d的方程组,得到a1=4,d=6,所以Sn=4n+6=3n2+n这就是说,已知S10与S20可以确定这个数列的前n项和的公式,这个公式是Sn=3n2+n.10.解:方法一:令公差为d,则d=a2-a1=a3-a2=3-4=-,所以Sn=-.又nN*,所以当n=7或者n=8时,Sn取最大值.方法二:d=a2-a1=a3-a2=3-4=-,其通项公式为an=5+(n-1)=-n+.因为a1=50,d=-0,所以数列an的前n项和有最大值.即有解得即7n8,又nN*,所以当n=7或者n=8时,Sn取最大值.11.解:由题意知,当n=1时,a1=S1=,当n2时,Sn=n2+n,Sn-1=(n-1)2+(n-1),由-得an=Sn-Sn-1=2n-,又当n=1时,21-=a1,所以当n=1时,a1也满足an=2n-,则数列an的通项公式为an=2n-(n1,nN).这个数列是等差数列,an-an-1=2(这是一个与n无关的常数).四、变式训练,深化提高12.解:(1)设an的公差为d,由已知条件,解出a1=3,d=-2,所以an=a1+(n-1)d=-2n+5.(2)Sn=na1+d=-n2+4n=4-(n-2)2,所以当n=2时,Sn取到最大值4.13.解:由题意知,当n=1时,a1=S1=,当n2时,Sn=n2+n+1,Sn-1=(n-1)2+(n-1)+1,由-得an=Sn-Sn-1=2n-,又当