逻辑函数的化简方法(1.3).ppt

1：最简“与或”式 所谓最简“与或”式是指逻辑函数表达式中与项的个数最少， 而且每个与项中相乘的变量的个数也最少的“与或”表达式。 如： 是最简“与或”式。 2：最简“与非与非 ”式 所谓最简“与非与非”式是指逻辑函数表达式中非号的个数 最少，而且每个非号下面相乘的变量的个数也最少的“与非与非”表达式。 注意；单个变量上面的非号不算，因为可以将其当成反变量。 方法：在逻辑函数的最简“与或”式的基础上；两次取反；再利用摩根定律去掉最下面的一个非号，便可得到该逻辑函数的最简“与非与非”式。 如： 是最简“与非与非”式。,二：逻辑函数的最简表达式,所谓最简“或与”式是指逻辑函数表达式中或项的个数最少， 而且每个或项中相加的变量的个数也最少的“或与”表达式。 方法：在逻辑函数反函数的最简“与或”式的基础上；利用反演规则，可以直接写出该逻辑函数的最简“或与”式。 如： 是最简“或与”式。 4：最简“或非或非 ”式 所谓最简“或非或非”式是指逻辑函数表达式中非号的个 数最少，而且每个非号下面相加的变量的个数也最少的“或非 或非”表达式。 方法：在逻辑函数最简“或与”式的基础上；两次取反；再利用摩根定律去掉最下面的非号；便可得到该逻辑函数的最简“或非或非”式。,3：最简“或与”式,如： 是最简“或非或非”式。 5：最简“与或非”式 所谓最简“与或非”式是指逻辑函数表达式中在非号下面相 加的与项的个数最少，而且每个与项中相乘的变量的个数也最少 的“与或非”表达式。 方法： 在逻辑函数反函数的最简“与或”式的基础上；利用反演规 则，可以直接写出该逻辑函数的最简“与或非”式。 如： 是最简“与或非”式。 从上面各种最简式的介绍中，不难发现，只要得到了逻辑函数 的最简“与或”式，再利用摩根定律就可以得到逻辑函数的其它几 种类型的最简式。,1. 2. 2 逻辑函数的公式化简法,一、并项法:,例 1. 2. 8,例,方法2：,二、吸收法：,例 1. 2. 8,练习,例 ,三、消去法：,例,例 ,练习方法2：,3：配项法 利用逻辑代数的定律或常见公式，给某个逻辑函数表达式增加适当的多余项，进而消去原来函数中的某些项，从而达到化简逻辑函数的目的。 例1.2.10：化简逻辑函数 解：方法1： 方法2：,综合练习：,一、标准与或表达式,1. 2 逻辑函数的化简方法,1. 2. 1 逻辑函数的标准与或式和最简式,标准与或式,标准与或式就是最小项之和的形式,1. 最小项的概念：,包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或 反变量的形式出现一次。,( 2 变量共有 4 个最小项),( 4 变量共有 16 个最小项),( n 变量共有 2n 个最小项),( 3 变量共有 8 个最小项),对应规律：1 原变量 0 反变量,2. 最小项的性质：,(1) 任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为 1 ；,A B C 0 0 1,A B C 1 0 1,(2) 任意两个最小项的乘积为 0 ；,(3) 全体最小项之和为 1 。,3. 最小项的编号：,把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之 相应的十进制数，就是该最小项的编号，用 mi 表示。,对应规律：原变量 1 反变量 0,0 0 0,0 0 1,0 1 0,0 1 1,1 0 0,1 0 1,1 1 0,1 1 1,0,1,2,3,4,5,6,7,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,4. 最小项是组成逻辑函数的基本单元,任何逻辑函数都是由其变量的若干个最小项构成，都可以表示成为最小项之和的形式。,例 写出下列函数的标准与或式：,解,或,m6,m7,m1,m3,例 写出下列函数的标准与或式：,m7,m6,m5,m4,m1,m0,m8,m0,与前面m0相重,1.2.3 逻辑函数的卡诺图,卡诺图是真值表的变形形式，它是用方格图来表示逻辑函的。 逻辑函数可以表示成最小项之和的形式，而在卡诺图中，每一个小 方格就代表了逻辑函数的一个最小项。 一：卡诺图 将 个输入变量的全部最小项 各用一个小方格来表示， 并使逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，这样所得 到的图形就叫做 输入变量的卡诺图。 1：卡诺图的构成 ：变量卡诺图一般都画成矩形或正方形； ：如果输入变量为 个，因为 个输入变量有 个最小项而在 卡诺图中每一个最小项都要用一个小方格来表示，这样 变量的卡 诺图中应有 个小方格。,：逻辑相邻 如果两个最小项中除一个变量不同（相反）外，而其余的变量 都相同，那么这两个最小项在逻辑上是相邻的。 ：几何相邻 几何相邻包括以下三种情况： 一是相接紧挨着； 二是相对任意一行或任意一列的两头； 三是相重卡诺图对折起来位置是重合的。 这样，由于在卡诺图中，凡是几何相邻的小方格所对应的最小 项在逻辑上也是相邻的，因此可放在一起进行合并化简。 ：在卡诺图中，最小项的每一个小方格的位置，是由行、列两组 变量共同确定的；而且变量值为0表示反变量，变量值为1表示原变 量。 在卡诺图中，由于任何几何相邻的小方格所对应的最小项在逻 辑上也是相邻的，因此行、列两组变量的取值顺序要按照循环码 （格雷码）排列。,2：常用的变量卡诺图 ：两变量卡诺图如图2.5.11所示。 ：三变量卡诺图如图2.5.12所示。 ：四变量卡诺图如图2.5.13所示。 图 1.2.1(d) 图1.2.2（a) 图1.2.2(b),二：逻辑函数的卡诺图 1：真值表 卡诺图 真值表中的每一行都对应了卡诺图中的一个小方格，将逻辑函 数真值表中每一行的函数值填到对应的卡诺图小方格中，便可得到 该逻辑函数的卡诺图。 例1：已知逻辑函数的真值表如下，求其卡诺图。,2：标准“与或”式 卡诺图 如果已知逻辑函数的标准“与或”式，可将该逻辑函数的标准 “与或”式中所包含的最小项对应的卡诺图小方格中填1；而其余 的小方格填0，便可得到该逻辑函数的卡诺图。 例2：求逻辑函数 的卡诺图。,3：一般“与或”式 卡诺图 如果已知逻辑函数的一般“与或”式，通常先将该表达式转换 为标准“与或”形式，再填卡诺图即可。 例2.5.3：求逻辑函数 的卡诺图。,4. 卡诺图中最小项合并规律：,(1) 两个相邻最小项合并可以消去一个因子,0,4,3,2,1,9,4,6,(2) 四个相邻最小项合并可以消去两个因子,0,4,12,8,3,2,10,11,5,7,13,15,BD,0,2,8,10,(3) 八个相邻最小项合并可以消去三个因子,0,4,12,8,3,2,10,11,5,7,13,15,B,0,2,8,10,1,5,13,9,4,6,12,14,2n 个相邻最小项合并可以消去 n 个因子,总结：,1：注意事项 ：合并最小项时，圈子越大越好（即： 值应尽可能的大），这 样圈中所包含的最小项就越多，消去的变量就越多，保留的变量就 越少，因而得到的“与”项也就越简单； ：合并最小项时，圈子的个数应尽可能的少，这是因为圈子的个 数越少，化简后得到的“与”项就越少，表达式也就越简单； ：合并最小项时，任何一个填“1”的最小项都可以被重复使用 ，但是每一个圈子中至少应包含一个新的最小项是其他圈中所没有 的，否则得到的“与”项就是冗余项； ：必须要把组成逻辑函数的最小项全部圈完为止，特别要注意孤 立的、没有相邻的单独小方格应保留其对应的最小项； ：逻辑函数的最简“与或”式不是唯一的。,三、逻辑函数的卡诺图,例：试利用卡诺图化简下列函数 （函数值为0对应的最小项可不画出）,2：,1：,练习：,2.,四：逻辑函数反函数的卡诺图化简 在逻辑函数 的卡诺图中，合并那些填“0”的最小项，便可 以得到逻辑函数反函数 的最简“与或”式。 例2：求逻辑函数 反函数的 最简“或与”式。,1. 2. 4 具有约束的逻辑函数的化简,一、 约束的概念和约束条件,(1) 约束：,输入变量取值所受的限制,例如，逻辑变量 A、B、C，分别表示电梯的 升、降、停 命令。,A = 1 表示升，B = 1 表示降，C = 1 表示停。,ABC 的可能取值,不可能取值,001,010,100,000,011,101,110,111,1. 约束、约束项、约束条件,例1.2.15 三八妇女节，某单位包了一场电影，票只发给在 本单位工作的女同志,以示庆贺。是分析该逻辑问题。,(3) 约束条件：,(2) 在逻辑表达式中，用等于 0 的条件等式表示。,000,011,101,110,111,由约束项相加所构成的值为 0 的 逻辑表达式。,约束项：,约束条件：,或,2. 约束条件的表示方法,(1) 在真值表和卡诺图上用叉号()表示。,例如，上例中 ABC 的不可能取值为,(2) 约束项：,不会出现的变量取值所对应的最小项。,二、 具有约束的逻辑函数的化简,例 化简逻辑函数,化简步骤:,(1) 画函数的卡诺图，顺序 为：,先填 1,0可省略,(2) 合并最小项，画圈时 既可以当 1 ，又可以当 0,(3) 写出最简与或表达式,解,例 化简逻辑函数,约束条件,解,(1) 画函数的卡诺图,(2) 合并最小项,(3) 写出最简与或表达式,AB,CDE,m0,m1,m2,m3,m8,m9,m10,m11,m24,m25,m26,m27,m16,m17,m18,m19,m6,m7,m4,m5,m14,m15,m12,m13,m30,m31,m28,m29,m22,m23,m20,m21,补：五变量卡诺图的化简,说明：当变量个数超过六个以上时，无法使用图形法进行化简。,以此轴为对称轴（对折后位置重合）,1.3 逻辑函数的表示方法及相互之间的转换,根据逻辑函数的不同特点，可以用真值表、逻辑函数表达式 、卡诺图、逻辑电路图和波形图五种方法来表示逻辑函数。 一：真值表 用来描述逻辑函数中输入变量各种可能的取值组合与函数输 出值对应关系的表格，叫做真值表。 在真值表中，左边是输入变量各种可能的取值组合，而右边 是每一种取值组合所对应的函数结果。 由于每一个输入变量有0、1两种取值，这样 个输入变量就 有 种可能的取值组合。 例1：列出下列逻辑函数的真值表 1： 2：,1：真值表如下 2：真值表如下,二：逻辑函数表达式 用“与” 、“或”和“非”等逻辑运算符号连接逻辑函数中 各个输入变量来表示确定逻辑关系有意义的代数式，叫做逻辑函数 表达式。 1：标准“与或”式 在一个逻辑函数的真值表中，选择那些使函数输出值为1的输 入变量的取值组合；每一个使函数输出值为1的输入变量的取值组 合都可以写成一个与项；其中变量值为1的写成原变量，变量值为 0的写成反变量，再将这些与项加起来，就可以得到该逻辑函数的 标准“与或”式。 任何一个逻辑函数的表达式都不是唯一的，但是都可以表示成 若干个最小项之和的形式即所谓的标准与或式，而且这种 形式是唯一的。 例2：写出下列真值表所表示的逻辑函数,1： 2：,三：逻辑图 (或逻辑电路图） 1：定义 逻辑电路图是由表示逻辑运算门电路的逻辑符号及它们之间的 连接、组合而构成的图形，简称为逻辑图。 2：函数表达式 逻辑图 由逻辑函数表达式可以画出其相应的逻辑电路图。 例3：1.画出逻辑函数 的逻辑图。,2：画出逻辑函数 的逻辑图。 3：练习画出逻辑函数 的逻辑图。,3：逻辑图 函数表达式 由逻辑图也可以写出其相应的函数表达式。 例4：1.写出下面逻辑图所示逻辑函数的表达式。,2.写出下面逻辑图所示逻辑函数的表达式。,3.练习：写出下面逻辑图所示逻辑函数的表达式。,返回,五、波形图,输入变量和对应的输出变量随时间变化的波形,A,B,Y,优点：,形象直观地表示了变量取值与函数值在时间上 的对应关系。,缺点：,难以用公式和定理进行运算和变换，当变量个 数增多时，画图较麻烦。,最简或与式,最简与或非式,二、逻辑函数的最简表达式及相互转换,最简与或式,最简 与非-与非式,最简或与非式,最简或非-或非式,最简或非-或式,核心,四、配项消项法：,或,或,例,例 1. 2. 11,冗余项,1. 2. 3 逻辑函数的图形化简法,一、逻辑变量的卡诺图(Karnaugh maps),卡诺图：,1. 二变量 的卡诺图,最小项方格图(按循环码排列),(四个最小项),A,B,2. 变量卡诺图的画法,三变量 的卡诺图：,八个最小项,A,BC,0,1,00,01,卡诺图的实质：,紧挨着,行或列的两头,对折起来位置重合,逻辑相邻：,两个最小项只有一个变量不同,逻辑相邻的两个最小项可以合并成一项，并消去一个因子。如：,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,五变量 的卡诺图：,四变量 的卡诺图：,十六个最小项,AB,CD,00,01,11,10,00,01,11,10,当变量个数超过六个以上时，无法使用图形法进行化简。,AB,CDE,以此轴为对称轴（对折后位置重合）,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m12,m13,m14,m15,m8,m9,m10,m11,m0,m1,m2,m3,m8,m9,m10,m11,m24,m25,m26,m27,m16,m17,m18,m19,m6,m7,m4,m5,m14,m15,m12,m13,m30,m31,m28,m29,m22,m23,m20,m21,三十二个最小项,3. 卡诺图的特点：,用几何相邻表示逻辑相邻,(1) 几何相邻：,相接 紧挨着,相对 行或列的两头,相重 对折起来位置重合,(2) 逻辑相邻：,例如,两个最小项只有一个变量不同,化简方法：,卡诺图的缺点：,函数的变量个数不宜超过 6 个。,逻辑相邻的两个最小项可以合并成一项，并消去一个因子。,二、逻辑函数的卡诺图表示法,1. 根据变量个数画出相应的卡诺图；,2. 将函数化为最小项之和的形式；,3. 在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入 1 ， 其余位置填 0 或不填。,例,1,1,1,1,0,0,0,0,三、 用卡诺图化简逻辑函数,化简步骤:,(1) 画函数的卡诺图,(2) 合并最小项： 画包围圈,(3) 写出最简与或表达式,例 1. 2. 20,1,1,1,1,1,1,1,1,解,画包围圈的原则：,(1) 先圈孤立项，再圈仅有一种合并方式的最小项。,(2) 圈越大越好，但圈的个数 越少越好。,(3) 最小项可重复被圈，但每 个圈中至少有一个新的最小项。,(4) 必需把组成函数的全部最小项圈完，并做认真 比较、检查才能写出最简与或式。,不正确的画圈,例,解,(1) 画函数的卡诺图,1,1,1,1,1,1,1,1,(2) 合并最小项： 画包围圈,(3) 写出最简与或表达式,多余的圈,注意：先圈孤立项,利用图形法化简函数,利用图形法化简函数,例,解,(1) 画函数的卡诺图,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,(2) 合并最小项： 画包围圈,(3) 写出最简与或 表达式,例,用图形法求反函数的最简与或表达式,解,(1) 画函数的卡诺图,1,1,1,1,0,0,0,0,(2) 合并函数值为 0 的最小项,(3) 写出 Y